布仁滿都拉，趙迎春

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

線性化二粒子Boltzmann方程組的特征值問題

布仁滿都拉1，趙迎春2

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

首先推出了二粒子～Boltzmann方程組的線性化方程組，其次利用線性化Boltzmann方程組的積分算子的特征值，特征函數(shù)求出了線性化二粒子～Boltzmann方程組積分算子的特征值，特征函數(shù).

線性化二粒子～Boltzmann方程組；特征值；特征函數(shù)

1 預(yù)備知識(shí)

稱g,h為二點(diǎn)相關(guān)函數(shù)和三點(diǎn)相關(guān)函數(shù)，表示分子偏離分子混亂的程度.對(duì)于穩(wěn)定的層流，這些項(xiàng)可以忽略，但對(duì)于非穩(wěn)定流這些項(xiàng)將十分重要.在本文中我們將三點(diǎn)混亂水平上討論問題，即假定h=0,此時(shí)Boltzmann方程系[5,6]的最初兩個(gè)方程可以獨(dú)立求解.寫出這兩個(gè)方程如下（稱為二粒子Boltzman方程組）：

以上方程中z-(x,V)表示六維相空間的點(diǎn)，x,V分別為粒子的的位置和速度，帶撇的變量表示分子碰撞后的值.J表示碰撞積分算子：

將(1.3)代入(1.1),(1.2),經(jīng)過簡(jiǎn)化得

這說明了f(0),g1(0)是(1.4),(1.5)的局部平衡解，進(jìn)一步可知，f(0)(z,t),f(0)(z,t)f(0)(z,t)是(1.1),(1.2)的局部平衡解.

2 線性化二粒子～Boltzmann 方程組的積分算子的特征值，特征函數(shù)

假設(shè)

且f和g與位置x無關(guān),f(0)的參數(shù)與時(shí)間和位置無關(guān).將(2.1)代入(1.4)和(1.5)并且忽略二階無窮小量，得

稱(2.2)，(2.3)為線性化的二粒子Boltzmann方程組.

下面我們研究特征值問題

這里我們?cè)试Sh1,h2是廣義函數(shù)[4],否則當(dāng)λ≠0時(shí)可能沒有非零解.

(2.5)+(2.6)，(2.5)-(2.6)得：

若 λ=0,則當(dāng) h,φ 取相同的碰撞不變量(ψ=a+b.V+cv2.其中a,c是常數(shù)，b是常矢量)時(shí),(2.5),(2.6)成立.由(2.7)可得 λ=0是L的特征值，h+φ是對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).若λ≠0，則由（2.7）可知 h=φ.關(guān)系式（2.7）知是L的特征值，h+φ是對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).

2.設(shè)λ是L的特征值，h是與λ對(duì)應(yīng)的特征函，則

這里 h=φ.(2.8),(2.9)說明了 2 λ 是L軈的特征值，(h,h)是與 λ對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).

由 1,2可知{L軈的全部特征值}={2 λ|λ 是 L的特征值}.根據(jù)上面的討論可知,由L的特征值和特征函數(shù)能得出L軈的特征值和特征函數(shù).因此只討論L的特征值和特征函數(shù)即可.

(1)設(shè)氣體分子是Maxwell's分子.

由于L的特征值和特征函數(shù)[4]為

其中 Ylm(θ,φ)是球諧函數(shù)，Lnα(z)是連帶的拉蓋爾多項(xiàng)式[4].因此的特征值}={2 λnl|λnl是 L的特征值}，與λ軈nl對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為(gnlj,gnlj)

(2)由[2],[4]可知，對(duì)剛球模型，小角度截?cái)嗟膬绱未笥?的冪次反比律作用力模型，小角度截?cái)嗟腗ax well分子模型,有Lh=Kh-v(c)h.

其中K是積分算子，且緊算子[2],[4],[10],v(c)是乘法算子.對(duì)剛球模型，小角度截?cái)嗟膬绱未笥?的冪次反比律作用力模型,當(dāng)c從零到正無窮時(shí)v(c)從最小值v(0)單調(diào)增加到正無窮.對(duì)小角度截?cái)嗟膬绱涡∮?的冪次反比律作用力模型，當(dāng)c從零到真無窮時(shí)v(c)從vi(0)單調(diào)遞減到零.對(duì)小角度截?cái)嗟腗ax well分子模型，v(c)是常數(shù).在[2],[4]中，利用Weyl定理證明了λ=-v(c)是Li的連續(xù)譜.還已知L存在無窮多個(gè)離散的特征值[4]，集中于v(0).對(duì)剛球模型，小角度截?cái)嗟膬绱未笥?的冪次反比律作用力模型，L的離散的特征值位于區(qū)間(-v(0),0]內(nèi).對(duì)小角度截?cái)嗟膬绱涡∮?的冪次反比律作用力模型，L的離散的特征值位于(-∞,-v(0)).對(duì)小角度截?cái)嗟腗ax well分子模型，L的離散的特征值位于[-v(0),0].所以有如下譜分布:

設(shè)v0=2 v(0)

〔1〕S.chapman and T.G.Cowling.The MathematicalTheory of the Non-Uniformgases,Cambridge Univercity Press(1953).

〔2〕H.Grad,Asymptotic Theory of the Boltzmann Equation,ll.Phys.Fluid,6:147-181,1963.

〔3〕H.Grad,Principles of the Kinetic theory of Gases,in Handbuch der Physik,vol.12.S.Flugg-e.Ed.(Springer-Ver lag,Berlin,1958)pp.205-294.

〔4〕C.Cercignani,The Boltzmann Equation and Applications,Scottish Academic Press,Edinburgh(1975).

〔5〕陳建寧～$Boltzmann$方程的兩個(gè)解的平均作為二粒子～$Boltzmann$方程系的解.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1990（3）：259-272.

〔6〕Tian-quan Chen,Hilbert-Enskog-Chapman Expansion in the Turbulent Kinetic Theory of Gases,l,Journal of statisticalphysics,Vol 25,No,3,1981.

〔7〕K.Sagara,S.Tsug$acute{e}$,A bimodal Maxwellian distribution as the equilibrium solution of the two-particle regime,Phys.Fluids,vol.25,No.11,November 1982.

〔8〕S.Tsug$acute{e}$,Apporoach to the origin of turbulence on the basis of two-point kinetic theory,Phys.Fluids,vol.17,No.1,November 1974.

〔9〕S.Tsug$acute{e}$,K.Sagara,Kinetic theory of turbulent compressible flows and comparison with classical theory,Phys.Fluids,vol.19,No.10,November 1976.

〔10〕Robert T.Glassey,The Cauchy Problem IN Kinetic Theory,Publisher:Society for Industrial Mathematics,1987.

O 175.3

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1673-260X（2010）12-0023-02