樓智美

(紹興文理學(xué)院物理系,紹興 312000)

二階非線性耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)守恒量的擴(kuò)展Prelle-S inger求法與對(duì)稱(chēng)性研究

樓智美?

(紹興文理學(xué)院物理系,紹興 312000)

(2009年3月13日收到;2009年6月23日收到修改稿)

將擴(kuò)展Prelle-Singer法(擴(kuò)展P-S法)用于求¨x=φ1(x,y),¨y=φ2(x,y)類(lèi)型的二階非線性耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的守恒量,得到了積分乘子滿足的微分方程與守恒量的一般形式,并討論所得守恒量的Noether對(duì)稱(chēng)性與Lie對(duì)稱(chēng)性.最后用擴(kuò)展P-S法求得了四次非諧振子系統(tǒng)的兩個(gè)守恒量,并討論了系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性.

擴(kuò)展Prelle-Singer法,二階非線性耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),守恒量,對(duì)稱(chēng)性

PACC:0320,0230

1.引言

已知力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可以通過(guò)Lagrange方程求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,且系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程往往是二階非線性耦合方程,如中心力場(chǎng)問(wèn)題、非中心力場(chǎng)問(wèn)題和耦合諧振子等問(wèn)題.尋求力學(xué)系統(tǒng)的守恒量一直是力學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)研究者關(guān)注的問(wèn)題,長(zhǎng)期以來(lái),尋找力學(xué)系統(tǒng)的守恒量有多種方法,如Noether對(duì)稱(chēng)性法[1—5]、Lie對(duì)稱(chēng)性法[5—7]、Mei對(duì)稱(chēng)性法[8—10]、Er makov方法[11—13]、Poisson括號(hào)法[14—17]、直接積分法[18—22].用Noether對(duì)稱(chēng)性法、Lie對(duì)稱(chēng)性法和Mei對(duì)稱(chēng)性法求守恒量都要用到群的無(wú)限小變換,理論性強(qiáng)且比較抽象. Ermakov方法只能求能表示成Ermakov形式系統(tǒng)的守恒量.Poisson括號(hào)法只能求線性耦合系統(tǒng)的守恒量.直接積分法用到1-形式微分式比較多,且不相互獨(dú)立,導(dǎo)致用到的積分乘子也比較多(比擴(kuò)展P-S法多2個(gè)積分乘子).近幾年,數(shù)學(xué)家致力于研究用Prelle-Singer法(P-S法)求微分方程的第一積分(守恒量)[23—29].1983年,Prelle和Singer[23]提出了一種根據(jù)組成解的基本函數(shù)求得一階微分方程解的有效方法(簡(jiǎn)稱(chēng)P-S法),其優(yōu)點(diǎn)是只要一階微分方程存在基本函數(shù)組成的解,則P-S法一定能找到其解和第一積分.P-S法求第一積分的基本思路是先假設(shè)系統(tǒng)存在第一積分I(守恒量),然后用幾個(gè)積分乘子R,S(未知函數(shù))去乘以恒為零的1-形式微分式,通過(guò)比較系數(shù)法求得積分乘子R,S,從而求得第一積分(守恒量).Guha等[24]將P-S法進(jìn)行擴(kuò)展(擴(kuò)展P-S法)并應(yīng)用于求解二階及二階以上的相互耦合的微分方程組的第一積分.而力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的多為二階非線性耦合的微分方程,因此,擴(kuò)展P-S法可以用于求力學(xué)系統(tǒng)的守恒量.擴(kuò)展P-S法理論簡(jiǎn)潔直觀,便于掌握,便于應(yīng)用.

許多力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫(xiě)成¨x= φ1(x,y),¨y=φ2(x,y)(不含廣義速度˙x,˙y).本文將擴(kuò)展P-S法應(yīng)用于求二階非線性耦合微分方程的守恒量,得到積分乘子滿足的微分方程與守恒量的一般形式,并討論所得守恒量的Noether對(duì)稱(chēng)性與Lie對(duì)稱(chēng)性.最后以四次非諧振子系統(tǒng)為例,用擴(kuò)展P-S法求其守恒量,得到了能量積分以外的守恒量,并討論了系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性.

2.用擴(kuò)展P-S法求守恒量的基本理論

在平面直角坐標(biāo)系下,設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

其中m為力學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)量,V(x,y)為系統(tǒng)的勢(shì)能.

則其運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

顯然,φ1˙x=φ1˙y=0,φ2˙x=φ2˙y=0,這里的下標(biāo)˙x,˙y表示φ1,φ2分別對(duì)˙x,˙y的偏導(dǎo)(本文下同).設(shè)此力學(xué)系統(tǒng)存在守恒量I=I(t,x,y,˙x,˙y),則

利用4個(gè)獨(dú)立且恒為0的1-形式微分式:dx-˙xdt, dy-˙ydt,d˙x-φ1dt,d˙y-φ2dt.用積分乘子R1= R1(t,x,y,˙x,˙y),R2=R2(t,x,y,˙x,˙y),S1=S1(t,x,y, ˙x,˙y),S2=S2(t,x,y,˙x,˙y)分別乘以上述1-形式微分式并求和,則

令(3)與(4)式相等,并比較式中dt,dx,dy,d˙x,d˙y的系數(shù),得

由可積條件

得

將(6c),(6d)式分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)一次,并利用(6a),(6b)式可得關(guān)于R1,R2的二階耦合變系數(shù)微分方程組

事實(shí)上,方程(7)不封閉,無(wú)法求得其通解,只能根據(jù)研究問(wèn)題的特征(是否為自治系統(tǒng)、Lagrange函數(shù)的形式等)先假設(shè)R1,R2的擬解,如自治系統(tǒng)一般可假設(shè)R1,R2不顯含時(shí)間t,形如

將R1,R2及R¨1,R¨2聯(lián)同(2)式代入(7)式,并比較等式兩邊速度項(xiàng)˙xm˙yn(m,n為非負(fù)整數(shù))的系數(shù),可得一組a1,b1,a2,b2關(guān)于x,y的偏微分方程組

先通過(guò)觀察(9)式并聯(lián)合(2)式,進(jìn)一步假設(shè)a1,b1,a2,b2是常數(shù)或是關(guān)于x2,y2,xy等簡(jiǎn)單項(xiàng)的擬解,將a1,b1,a2,b2的擬解代入(9)式就可解得幾組a1,b1,a2,b2的特殊解,將a1,b1,a2,b2代入(8)式就可解得幾組R1,R2的特殊解.然后分別將解得的R1,R2代入(6c),(6d)式便可解得S1,S2.則守恒量的一般表達(dá)式為

將求得的每組積分乘子R1,R2,S1,S2分別代入(10)式,并設(shè)法將S1(dx-˙xdt)+S2(dy-˙ydt)+R1(d˙xφ1dt)+R2(d˙y-φ2dt)配成全微分dI(t,x,y,˙x,˙y)的形式,就可直接得到守恒量.由于R1,R2,S1,S2的解可能有多組,因此相應(yīng)的守恒量也可能有多個(gè).而求守恒量的關(guān)鍵是求得R1,R2.本文的第4部分中以四次非諧振子為例說(shuō)明了P-S法求守恒量的過(guò)程,并得到了能量積分以外的守恒量.

3.系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)性與Lie對(duì)稱(chēng)性

引進(jìn)群的無(wú)限小變換

其無(wú)限小生成元向量為

(12)式的一次擴(kuò)展為

二次擴(kuò)展為

由Lagrange系統(tǒng)的Noether逆定理[1]知:如果已知Lagrange系統(tǒng)的α個(gè)線性獨(dú)立的第一積分(守恒量)(10)式,那么可由守恒量(10)式找到相應(yīng)的生成元使無(wú)限小變換(11)式為系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)變換(或Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換),即系統(tǒng)具有Noether對(duì)稱(chēng)性(或Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性).

對(duì)于給定的守恒量和Lagrange函數(shù),由下面的(15),(16)式可確定生成元能使無(wú)限小變換(11)式為系統(tǒng)的Noether對(duì)稱(chēng)變換,系統(tǒng)具有Noether對(duì)稱(chēng)性.

其中~hsk(s=1,2;k=1,2)為L(zhǎng)agrange函數(shù)的Hess矩陣的逆矩陣.

如果由下式確定τα,有

其中Gα=Gα(t,x,y,˙x,˙y)為規(guī)范函數(shù),且規(guī)范函數(shù)滿足Noether等式

根據(jù)Lie對(duì)稱(chēng)性理論[1],如果由(15),(16)式或(15),(17)式確定的生成元滿足下面的Lie對(duì)稱(chēng)性確定方程

則說(shuō)明與守恒量(10)式相應(yīng)的無(wú)限小變換(11)式是Lie對(duì)稱(chēng)變換,系統(tǒng)具有Lie對(duì)稱(chēng)性.

4.應(yīng)用舉例

以四次非諧振子為例說(shuō)明P-S法求守恒量的過(guò)程并討論系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性.設(shè)四次非諧振子的Lagrange函數(shù)為[18]

由Lagrange方程可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

將(21a),(21b)式代入(7a),(7b)式,得

由于系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)不顯含時(shí)間t,且φ1(x,y), φ2(x,y)只是關(guān)于x,y的多項(xiàng)式,故可假設(shè)R1,R2的擬解為

將(23)式代入(22a),(22b)式可解得二組特殊解(解法如第2節(jié)所述)

將(24)式分別代入(6c),(6d)式,得

將(24),(25)式分別代入(10)式,得兩守恒量

很明顯,I1代表系統(tǒng)的能量,I2代表系統(tǒng)的耦合能.四次非諧振子系統(tǒng)具有2個(gè)守恒量,因此此系統(tǒng)是一可積的系統(tǒng).

將(20),(26a)式分別代入(15),(16)式,可解得

說(shuō)明與守恒量I1相應(yīng)的無(wú)限小變換是Noether對(duì)稱(chēng)變換.

將(20),(26a)式分別代入(15),(17)與(18)式,可解得

說(shuō)明與守恒量I1相應(yīng)的無(wú)限小變換也是Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換.比較(27)與(28)式知,與守恒量I1相應(yīng)的無(wú)限小變換是Noether對(duì)稱(chēng)變換,一定也是Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換(規(guī)范函數(shù)為0).

將(26b)式代入(15)式可解得

將(20),(26b)和(29)式代入(16)式,得不到τ2的解析解,則說(shuō)明不存在Noether對(duì)稱(chēng)變換與守恒量I2相對(duì)應(yīng).

同時(shí)考慮(17),(18),(20)及(29式,可解得

說(shuō)明與守恒量I2相應(yīng)的無(wú)限小變換是Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換,而不是Noether對(duì)稱(chēng)變換,系統(tǒng)具有Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性.

下面討論系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng)性.將(27),(30)式分別代入Lie對(duì)稱(chēng)性的確定方程(19),并利用(21a),(21b)式,可以證明無(wú)限小生成元(27), (30)式均滿足確定方程(19),說(shuō)明與守恒量I1,I2相對(duì)應(yīng)的無(wú)限小變換為L(zhǎng)ie對(duì)稱(chēng)變換,系統(tǒng)具有Lie對(duì)稱(chēng)性.

由(27)式知,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(21)式對(duì)于無(wú)限小變換

是不變的.眾所周知,此變換是時(shí)間平移變換.

由(30)式知,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(21)對(duì)于無(wú)限小變換

是不變的.此變換表示時(shí)間不變,只有空間變換,且空間變換表現(xiàn)為x方向擴(kuò)張(或收縮)與y方向的速度分量˙y有關(guān),而y方向的擴(kuò)張(或收縮)與x方向的速度分量˙x有關(guān),即是一種與其垂直速度分量有關(guān)的空間變換,也就反映了系統(tǒng)的耦合性,從而導(dǎo)致耦合能量守恒.

5.結(jié)論

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PACC:0320,0230

The extended Prelle-Singermethod for the conserved quantities of second-ordinary nonlinear coupled dynam ics system s and their symmetries

Lou Zhi-Mei?

(Department of Physics,Shaoxing University,Shaoxing312000,China) (Received 13 March 2009;revised manuscript received 23 June 2009)

The extended Prelle-Singer method is used to find the conserved quantities of second-ordinary nonlinear coupled dynamics systems such as¨x=φ1(x,y),¨y=φ2(x,y),and the differential equations of integral factors and the general expression of conserved quantities are obtained.The Noether symmetry and Lie symmetry of the systems are also discussed.Finally,two conserved quantities of quartic anharminic oscillator are obtained by the extended Prelle-Singer method,and the symmetries of this system are discussed.

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?E-mail:louzhimei@zscas.edu.cn

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