張淳民 劉 寧 吳福全

1)(西安交通大學(xué)理學(xué)院,非平衡物質(zhì)結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

2)(曲阜師范大學(xué)激光研究所,曲阜 273165)

偏振干涉成像光譜儀中格蘭-泰勒棱鏡全視場角透過率的分析與計算＊

張淳民1)?劉 寧1)吳福全2)

1)(西安交通大學(xué)理學(xué)院,非平衡物質(zhì)結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

2)(曲阜師范大學(xué)激光研究所,曲阜 273165)

(2009年1月18日收到;2009年6月19日收到修改稿)

論述了自行設(shè)計研制的偏振干涉成像光譜儀的工作原理,分析了其核心部件格蘭-泰勒棱鏡的分光機(jī)理;運(yùn)用光線追跡方法,推導(dǎo)出了格蘭-泰勒棱鏡全視場角透過率計算公式;通過計算機(jī)模擬分析了入射面、入射角和空氣隙厚度對該棱鏡透過率的影響,并利用方解石Sellmeier色散方程,給出了該棱鏡在儀器系統(tǒng)要求的光譜范圍內(nèi)透過率與波長的關(guān)系曲線;實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果與理論計算公式相符,驗(yàn)證了理論公式的正確性.

偏振干涉成像光譜儀,格蘭-泰勒棱鏡,透過率,多光束干涉

PACC:4225B,4280G,0765

1.引言

1996年,美國華盛頓大學(xué)研制了基于Wollaston棱鏡角剪切的數(shù)字陣列掃描干涉成像光譜儀(DASI),它是一種靜態(tài)的空間調(diào)制型干涉成像光譜儀,其缺點(diǎn)是含有由空間分辨率決定的狹縫,從而對遠(yuǎn)距離目標(biāo)和微弱信號的探測受到限制.2000年以來,張淳民、相里斌、趙葆常等[1—20]提出了時空混合的新型偏振干涉成像光譜技術(shù),并研制了基于Savart偏光鏡的穩(wěn)態(tài)偏振干涉成像光譜儀(SPIIS)和穩(wěn)態(tài)大視場偏振干涉成像光譜儀(SLPIIS).由于以視場光闌取代了入射狹縫,從而具有超小型、高穩(wěn)態(tài)、高通量、大視場和高分辨率等顯著特點(diǎn).

格蘭-泰勒棱鏡是該偏振干涉成像光譜儀中的重要偏光器件,它采用冰洲石晶體設(shè)計而成,由于冰洲石晶體的光學(xué)性能好、光譜透射范圍廣、雙折射率大,且棱鏡采用空氣隙膠合,所以它的消光比優(yōu)于10-5,使用光譜范圍為300—2500 nm[21],是獲得偏振光不可缺少的重要偏光器件.曲阜師范大學(xué)激光研究所對格蘭-泰勒棱鏡的理論和制造工藝有較為深入的研究,但對于其透過率的分析大都局限于主截面內(nèi)[22].文獻(xiàn)[23]運(yùn)用空間幾何的方法討論了全視場角下棱鏡的透過率,但并沒有給出全視場角下棱鏡透過率精確的計算公式.本文采用光線追跡的方法推導(dǎo)了全視場角下(任意入射面、任意入射角)棱鏡的透過率精確計算公式,運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行了詳細(xì)的分析,并將主截面內(nèi)實(shí)驗(yàn)測得數(shù)據(jù)與理論計算所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比,驗(yàn)證了理論計算公式的正確性.該研究對偏振干涉成像光譜儀的研制具有指導(dǎo)意義.

2.偏振干涉成像光譜儀原理與偏光鏡格蘭-泰勒棱鏡分光機(jī)理

圖1是偏振干涉成像光譜儀的原理圖,它的核心部分是偏振干涉儀,其主要由Savart偏光鏡、起偏器P1和檢偏器P2組成,其主要作用是進(jìn)行橫向剪切.從光源s發(fā)出的一束光,經(jīng)P1后變?yōu)檠豍1偏振化方向振動的一束線偏振光,經(jīng)Savart偏光鏡后被剪切成兩束振動面相互垂直的線偏振光,通過檢偏器變成振動方向完全一致的二束線偏振光,經(jīng)成像鏡后在探測器上相遇,形成干涉圖樣.對干涉圖采集并經(jīng)傅氏變換,即可得到光源的光譜分布,經(jīng)系統(tǒng)處理,即可得到光源的像.

圖1 偏振干涉成像光譜儀的原理圖

偏振干涉成像光譜儀中使用格蘭-泰勒棱鏡作為起偏器和檢偏器.其結(jié)構(gòu)如圖2所示,它由兩塊直角形方解石組成,兩切割面間隔有等厚的空氣隙,兩塊方解石晶體的光軸如箭頭所示,都平行于入射端面和出射端面,S是棱鏡的結(jié)構(gòu)角.一束自然光經(jīng)過端面1入射到格蘭-泰勒棱鏡后,由于e光和o光的折射率不同,在晶體切割面2處o光發(fā)生全反射,e光保持原來的入射方向,從端面4射出.最終出射格蘭-泰勒棱鏡的光為偏振方向平行于紙面的線偏振光.由于格蘭-泰勒棱鏡的起偏方向在紙平面方向,故作為起偏器和檢偏器用于偏振干涉成像光譜儀中,將兩個格蘭-泰勒棱鏡沿光學(xué)系統(tǒng)光軸同時旋轉(zhuǎn)45°放置,如圖3所示.

圖2 格蘭-泰勒棱鏡結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 格蘭-泰勒棱鏡在偏振干涉成像光譜儀中應(yīng)用示意圖

3.格蘭-泰勒棱鏡全視場角透過率的分析與計算

3.1.格蘭-泰勒棱鏡中的光路計算

光線入射到格蘭-泰勒棱鏡只有e光透過,因此只討論e光在棱鏡中的傳播規(guī)律.如圖4所示,以入射端面1的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,z軸為晶體的光軸方向,x軸為棱鏡界面的法線方向.光線從空氣中以任意入射角i入射棱鏡中,波矢k的折射角為θe且與晶體光軸的夾角為θ.xoz面為主截面,入射面和棱鏡主截面之間的夾角為ω.由幾何關(guān)系可以得到e光波矢為[24]

并且

其中n′e為e光波矢的折射率

這里no,ne為晶體的主折射率.

聯(lián)立(2)—(4)式可得

圖4 e光在格蘭-泰勒棱鏡中傳播示意圖

在單軸晶體中光線s往往與波矢方向存在一定的離散角,設(shè)光線與光軸之間的夾角為ξ,則

已知棱鏡的光軸方向?yàn)閣=(0,0,1),它與e光波矢、光線方向滿足關(guān)系式

又有s·w=cosξ,s =1,k·w=coθs,因此光線方向?yàn)?/p>

其中

通過(1),(6)和(9)式可得出e光波矢和光線入射端面1到切割面2的傳播方向.下面討論e光波矢從切割面2到切割面3的傳播過程.設(shè)波矢在界面2上的入射角為i′,在空氣隙中的折射角為θ′.由幾何關(guān)系可知n為界面2的法線方向,n=(cosS,0,sinS),所以

波矢在入射面內(nèi)滿足折射定律

代入(5)和(12)式可得波矢(光線)在空氣隙內(nèi)的傳播方向,即

由于空氣隙等厚的特性,e光在第二塊晶體中的傳播方向和在第一塊晶體中的情況一致,故不另加討論.

綜上所述,通過(1),(6),(9),(12)和(14)式可以精確地確定任意入射面入射角e光波矢和光線在格蘭-泰勒棱鏡中的傳播規(guī)律.

3.2.全視場角透過率公式的推導(dǎo)

由上可知,e光波矢和光線往往不在同一個平面內(nèi),二者存在一定的離散角,故格蘭-泰勒棱鏡在端面1和端面4的透射系數(shù)一般需要運(yùn)用電磁場理論來進(jìn)行求解,其過程相當(dāng)繁瑣[25].但在格蘭-泰勒棱鏡的實(shí)際應(yīng)用中,其視場角一般不會超過3.5°,e光波矢和光線之間的離散角α是非常小的.例如,在ω=45°的入射面內(nèi)以3.5°入射,由(6)和(11)式可得出離散角α僅為0.3°.所以,在這樣的小角度入射且棱鏡厚度很小的情況下(約為25 mm),可以近似認(rèn)為e光的波矢和光線的方向一致.因此,可以運(yùn)用菲涅耳公式來計算端面1和端面4的反射系數(shù)

若不考慮界面對光的吸收,則e光在端面1和端面4的透過率為

e光在空氣隙處的傳播情況比較復(fù)雜,將在空氣隙兩表面上發(fā)生振蕩反射,產(chǎn)生多光束干涉,如圖5所示.

圖5 空氣隙之間的多光束干涉

根據(jù)多光束干涉理論可知e光在空氣隙處的透過率為[25]

式中Δφ為光波在兩界面內(nèi)傳播引起的相鄰相干光束的位相差,由幾何關(guān)系和折射定律可得

ρ為空氣隙內(nèi)表面的反射率,由下式給出:

聯(lián)立(16)和(17)式可得到棱鏡任意入射面和入射角e光的透過率Te,

其中,n′e,θe,i′,θ′和ρ分別由(5),(6),(12),(14)和(19)式可得.

考慮以下兩種特殊情況:

1)光線在主截面內(nèi)入射的情況,即ω=0°.由(5),(6),(12)和(14)式可得

代入(20)式可得主截面內(nèi)棱鏡的透過率表達(dá)式.

2)光線正入射時的情況,即i=0°,ω=0°.由(5),(6),(12),(14)和(20)式可得正入射棱鏡的透過率

4.格蘭-泰勒棱鏡全視場角透過率的計算機(jī)模擬

圖6 格蘭-泰勒棱鏡透過率隨入射角度和空氣隙厚度變化的三維圖 (a)ω=0°,(b)ω=30°,(c)ω=60°,(d)ω=90°

由(20)式可知,格蘭-泰勒棱鏡的透過率是關(guān)于ω,i,d,S和λ的函數(shù).在進(jìn)行計算機(jī)數(shù)值計算之前,應(yīng)該對這些量進(jìn)行約定.如圖2所示,考慮到棱鏡的對稱性,只需分析ω在0°—90°的范圍.對于入射角度的符號規(guī)定如下:下光線(以xoy面為基準(zhǔn)從上到下的入射光線)取正值,上光線(以xoy面為基準(zhǔn)從下到上的入射光線)為負(fù)值.按照系統(tǒng)的要求,格蘭-泰勒棱鏡的最大入射角為3.5°,結(jié)構(gòu)角S= 39.6°.設(shè)定λ=632.8 nm,d的變化范圍設(shè)為1000—36000 nm.運(yùn)用Matlab軟件,根據(jù)(20)式得到透過率Te隨入射角度i和空氣隙厚度d變化的三維圖(見圖6),四個分圖分別是入射面和棱鏡主截面之間的夾角ω為0°,30°,60°和90°時的情況.以下將對其進(jìn)行詳細(xì)分析.

4.1.入射面對棱鏡透過率的影響

比較圖6的四幅分圖可看出,不同入射面內(nèi)格蘭-泰勒棱鏡的透過率之間的差別非常大.圖7對其中三個入射面的透過率隨入射角變化曲線進(jìn)行了比較,從曲線振蕩的幅值和周期可以看出,ω越大透過率振蕩的周期越大,而其振蕩幅值越小.并通過計算可知,ω=0°,60°和90°的三個入射面的透過率平均值分別為78.17%,81.94%和82.87%.因此,主截面(ω=0°)內(nèi)透過率隨入射角的振蕩最為劇烈且其透過率最低,而在垂直主截面(ω= 90°)內(nèi)的透過率隨入射角的振蕩最為平穩(wěn)且其透過率最高,其他入射情況介于二者之間.所以,主截面內(nèi)光線透過率過低成為限制器件整體的透過率的主要瓶頸,這也是常常在主截面內(nèi)討論格蘭-泰勒棱鏡透過率的原因所在.

圖7 不同入射面的透過率隨入射角變化曲線的比較

4.2.入射角對棱鏡透過率的影響

圖8是主截面內(nèi)(ω=0°),厚度d=30000 nm時整個孔徑角范圍空氣隙透過隨入射角的變化曲線.可以看出,棱鏡透過率是一個隨入射角增大呈急劇振蕩衰減趨勢的函數(shù).不同入射角對應(yīng)的透過率有很大的差異,透過率在某些角度能達(dá)到峰值的92.5%,而邊緣光線(入射角i=3.5°)e光透過率僅為19.6%.

圖8 主截面內(nèi)透過率與入射角的關(guān)系曲線

4.3.空氣隙厚度對棱鏡透過率的影響

圖9是在正入射(i=0°)時,透過率隨空氣隙厚度的變化曲線.可以看出,透過率隨空氣隙的厚度按余弦函數(shù)變化.計算可得,透過率隨空氣隙厚度在峰值的92.28%與谷值的74.5%之間余弦振蕩.可見空氣隙厚度對透過率的影響非常大,恰當(dāng)選擇空氣隙的厚度,可以使得棱鏡的透過率達(dá)到最大值.因此,選用適當(dāng)厚度的墊層來保證一定的空氣隙厚度,可實(shí)現(xiàn)對棱鏡的優(yōu)化設(shè)計.

圖9 正入射時透過率與空氣隙厚度的關(guān)系曲線

4.4.入射波長對棱鏡透過率的影響

儀器系統(tǒng)要求的光譜范圍為480—960 nm,如此寬的光譜范圍,方解石的色散必須考慮.方解石Sellmeier色散方程(λ/μm)為[26]

運(yùn)用(22)—(24)式,可以得出正入射時格蘭-泰勒棱鏡透過率與波長的關(guān)系曲線.圖10為d= 30μm時透過率隨波長的變化曲線.由圖10可看出,隨著波長的增大透過率呈現(xiàn)出上升趨勢,并具有明顯的波動特征.經(jīng)計算,在480—960 nm的光譜范圍內(nèi)正入射時棱鏡的透過率介于72.84%—92.54%之間,其平均值能達(dá)到83.04%.

圖10 正入射時透過率與波長的關(guān)系曲線

5.格蘭-泰勒棱鏡透過率實(shí)驗(yàn)測試

為了驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性,我們對格蘭-泰勒棱鏡在不同入射角下的透過率進(jìn)行了測試.圖11展示了該實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)幾個主要組成部分.

用計算機(jī)控制步進(jìn)電機(jī)帶動起偏器轉(zhuǎn)動,直到輸出光強(qiáng)最大停止轉(zhuǎn)動,用探測器測出此時經(jīng)過起偏器后的光強(qiáng)值I0.轉(zhuǎn)動測角儀的樣品臺,使入射光束位于主截面內(nèi)并以入射角i入射到待測棱鏡上,記錄下此時的輸出光強(qiáng)I,則該棱鏡在入射角i下的透過率Te=I/I0.通過旋轉(zhuǎn)測角儀可以得到不同入射角下棱鏡的透過率,從而得到入射角和棱鏡透過率的關(guān)系曲線.

圖11 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖 1為半導(dǎo)體激光器,2為衰減器,3為標(biāo)準(zhǔn)起偏器,4為測角儀的樣品臺,5為待測棱鏡,6為探測器, 7為光功率計,8為計算機(jī),9為A/D轉(zhuǎn)換器,10為電機(jī)[27].標(biāo)準(zhǔn)起偏器在步進(jìn)電機(jī)的控制下旋轉(zhuǎn),電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)由計算機(jī)控制

待測格蘭-泰勒棱鏡樣品的結(jié)構(gòu)角S=39.6°,空氣隙厚度d=0.03 mm.測試數(shù)據(jù)如圖12所示,其中“＊”點(diǎn)表示不同入射角下的透過率測試數(shù)據(jù).并由(20)和(21)式,可得到透過率隨入射角變化的理論曲線(如圖12中實(shí)線所示).對比可知,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論值二者十分接近,經(jīng)計算,其平均相對誤差為7.3%;從理論曲線上可看出主截面內(nèi)棱鏡的透過率隨入射角度增大呈急劇振蕩衰減趨勢,而實(shí)驗(yàn)值也正好顯示了這一趨勢,由此驗(yàn)證了理論計算公式的正確性.

圖12 不同入射角下透過率實(shí)驗(yàn)和理論數(shù)據(jù)的對比

6.討論

下面對實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生誤差的原因及透過率曲線呈現(xiàn)出的急劇振蕩衰減趨勢的原因進(jìn)行討論.

1)產(chǎn)生誤差的兩個主要原因:一是在理論分析中,忽略了晶體材料對光的吸收作用,并近似認(rèn)為e光的波矢和光線方向一致,造成理論數(shù)值和實(shí)驗(yàn)數(shù)值存在一定的偏差.對于上述這一近似造成的偏差需做以下補(bǔ)充說明:通過電磁場理論,可嚴(yán)格推導(dǎo)出主截面內(nèi)棱鏡端面1和端面4的反射系數(shù)[28]

其中,α為e光波矢和光線之間的離散角,由(11)式給出.由于入射角i≤3.5°,計算可得α非常小.在一級近似條件下,cosα≈1,即α≈0(e光的波矢和光線方向一致),此時(25)式可用(15)式代替.這一近似引入的理論數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的偏差分布如圖13所示,可見其偏差值始終保持在10-3量級上.因此這一近似引入的誤差很小,說明此近似方法具有很好的可靠性.

圖13 近似方法引入的理論值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的偏差

產(chǎn)生誤差的另一個原因是由于主截面內(nèi)光的透過率隨入射角的變化非常敏感,在實(shí)驗(yàn)中樣品臺微小的角度誤差就會嚴(yán)重影響測得的結(jié)果.這方面是產(chǎn)生誤差的主要原因,在實(shí)驗(yàn)測試中應(yīng)予以重視.

2)小角度入射時,格蘭-泰勒棱鏡入射和出射端面反射系數(shù)基本保持不變,所以空氣隙處的透過率的變化趨勢決定整個棱鏡的透過率的變化趨勢.計算可得光線經(jīng)空氣隙時其入射角i′變化范圍為16.56°—41.98°,在這個范圍內(nèi)晶體切割面的透過系數(shù)隨入射角的增加急劇降低,從而導(dǎo)致棱鏡整體透過率隨入射角增大急劇衰減;同時由于空氣隙處的多光束干涉,入射角度的不同導(dǎo)致光透過空氣隙后可能干涉加強(qiáng)或干涉相消,故棱鏡的透過率隨入射角度的變化會出現(xiàn)振蕩特征.

7.結(jié)論

1)運(yùn)用光線追跡方法,結(jié)合菲涅耳公式和多光束干涉理論,給出的格蘭-泰勒棱鏡全視場角(任意入射面和入射角時)透過率的理論計算公式,與目前國內(nèi)外文獻(xiàn)報道的公式相比更加精確和具有普遍性.

2)通過對格蘭-泰勒棱鏡的透過率進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)測試,其結(jié)果與理論計算公式相符,驗(yàn)證了理論公式的正確性.

3)采用計算機(jī)模擬給出的入射面、入射角和空氣隙厚度與棱鏡透過率的關(guān)系曲線表明:與其他的入射面相比,主截面內(nèi)棱鏡的透過率隨入射角變化振蕩最為劇烈,且其透過率值最小,成為限制器件整體的透過率的主要瓶頸;棱鏡透過率是一個隨入射角增大而急劇衰減的振蕩函數(shù);棱鏡透過率隨空氣隙的厚度按余弦函數(shù)變化,在實(shí)際應(yīng)用中適當(dāng)選取空氣隙的厚度可實(shí)現(xiàn)對格蘭-泰勒棱鏡的優(yōu)化設(shè)計.

4)從正入射時格蘭-泰勒棱鏡在儀器系統(tǒng)要求的光譜范圍內(nèi)透過率與波長的關(guān)系看出,隨著入射波長的增大,格蘭-泰勒棱鏡透過率呈現(xiàn)出上升趨勢,并具有明顯的波動特征.同時計算得出在480—960 nm的光譜范圍內(nèi),格蘭-泰勒棱鏡的平均透過率可達(dá)到83.04%,對干涉成像光譜儀的研制提供了理論依據(jù)和實(shí)踐指導(dǎo).

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[28]Song Z,Liu L R,Zhou Y,Liu D A 2004Acta Opt.Sin.24 1701(in Chiness)[宋 哲、劉立人、周 煜、劉德安2004光學(xué)學(xué)報24 1701]

PACC:4225B,4280G,0765

Analysis and calculat ion of Glan-Taylor prism’s transm ittance at full angle of view in a polarization interference im aging spectrometer＊

Zhang Chun-Min1)?Liu Ning1)Wu Fu-Quan2)
1)(Key Laboratory forNon-equilibrium Condensed M atter and Quantum Engineering of M inistry of Education,School of Science, Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)
2)(Laser Research Institute,Qufu No rmal University,Qufu 273165,China)

18 January 2009;revised manuscript

19 June 2009)

The principle of the polarization interference imaging spectrometer(PIIS)developed in our laboratory is described. The principle of the beam splitting of Glan-Taylor prism which is one of the key components in the PIIS is analyzed.Using the ray-tracingmethod,we obtain the transmittance of Glan-Taylorprism at full angle of view.By computer simulation,we analyze the influence of the incidence plane,incidence angle and thickness of air gap on transmittance,and the dependence of the transmittance on wavelength is given in the spectral range which is required by the instrument system using Sellmeier dispersion equation.The transmittance of Grand-Taylor prism is tested in experiment,and the results are in good agreement with the theoretical results,so the correctness of the theory is verified.

polarization interference imaging spectrometer,Glan-Taylor prism,transmittance,multiple-beam interference

＊國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號:40537031)、國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(批準(zhǔn)號:2006AA12Z152)、國防基礎(chǔ)科學(xué)研究基金(批準(zhǔn)號:A1420080187)、國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:40875013,40375010,60278019)、陜西省科技攻關(guān)計劃(批準(zhǔn)號:2001K06-G12,2005K04-G18)和西安交通大學(xué)“985”二期電子信息平臺資助的課題.

?E-mail:zcm@mail.xjtu.edu.cn

＊Project supported by the Key Program of theNationalNatural Science Foundation of China(GrantNo.40537031),the NationalHigh Technology Research and Development Program of China(GrantNo.2006AA12Z152),the NationalDefense Basic Scientific Research Foundation of China (GrantNo.A1420080187),the NationalNatural Science Foundation of China(GrantNos.40875013,40375010,60278019),the Science and Technology Key Program of Shaanxi Province,China(GrantNos.2001K06-G12,2005K04-G18),and the Second Phase of the“985 Project”of the Electronic Information Platform of Xi’an JiaotongUniversity,China.

?E-mail:zcm@mail.xjtu.edu.cn