李韶偉

（臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

不對(duì)稱血管分支模型

李韶偉

（臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

探討不對(duì)稱的血管分支問題，建立關(guān)于分支血管半徑和分叉角度的一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，利用該模型可驗(yàn)證現(xiàn)有相關(guān)結(jié)論。

血管分支；數(shù)學(xué)模型

1 引言

血液循環(huán)系統(tǒng)為動(dòng)物機(jī)體輸送能量。血液在血管中流動(dòng)，除了要為血管壁提供能量，還要克服流動(dòng)阻力。從生物進(jìn)化的角度，動(dòng)物血管系統(tǒng)的幾何形狀應(yīng)達(dá)到最低耗能原則，我們探討粗細(xì)血管的分支模型來滿足此原則。文獻(xiàn)［1-3］依據(jù)對(duì)稱的幾何結(jié)構(gòu)建立模型，并且得到了很好的結(jié)論，但依據(jù)解剖學(xué)的相關(guān)文獻(xiàn)［4，5］這種幾何對(duì)稱的假設(shè)一般不成立，因此，我們有必要探討不對(duì)稱的血管分支結(jié)構(gòu)模型。

2 模型假設(shè)

2.1 幾何假設(shè)

如圖所示，一條粗血管在分支處分成兩條細(xì)血管，分叉點(diǎn)附近三條血管共面（這符合生理實(shí)際和最優(yōu)化原則）；

圖1 血管分支示意圖Fig1.Vascular Branches schematic drawing

2.2 物理假設(shè)

將血液在血管中的流動(dòng)視為粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)；

2.3 生物學(xué)假設(shè)

血液對(duì)血管壁提供營養(yǎng)的能量隨血管壁表面積

及血管壁的體積的增加而增加；血管壁的厚度與血管半徑成正比。由假設(shè)1），設(shè)單位時(shí)間血液在粗細(xì)血管中的流量分別為q，q1和q2，則有

由假設(shè)2）和Poiseuille定律可得，克服阻力而消耗的能量E1為

一般地，依據(jù)假設(shè)3）和現(xiàn)有的結(jié)論［1］，可設(shè)供給單位長血管壁營養(yǎng)所消耗的能量為brα（1≤α≤2，b為比例系數(shù)）.則供給血管壁營養(yǎng)所消耗的能量E2為：

血液從點(diǎn)A流到點(diǎn)B與B′的過程共消耗的能量E為

由圖1中的幾何關(guān)系可得：

和

把（5）、（6）式代入（4）式，可得E為關(guān)于變量r，r1，r2，θ1，θ2的函數(shù)，即

3 模型求解

按函數(shù)最優(yōu)原則，求E（r，r1，r2，θ1，θ2）的最小值點(diǎn).

4 分析檢驗(yàn)

特殊地，當(dāng)r1＝r2時(shí)，從（9）、（10）式，可得到幾何對(duì)稱假設(shè)下的結(jié)論［1-3］

若在（12）式分別取α=1與α=2，則可得r1/r與θ的大致范圍

結(jié)果與實(shí)際情況基本相符。

故狗的血管數(shù)大約有225～230，如取α=1.5，則有227.5≈1.9億.

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）［M］.高等教育出版社，2003.

［2］馮元楨.生物動(dòng)力學(xué)-血液循環(huán)［M］.湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1986.

［3］楊群益.最優(yōu)血管分支構(gòu)造［J］.青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002.（1）：68-70.

［4］陳金源，姚班，張玉和.血管分支數(shù)學(xué)模型的解剖學(xué)考證及分析［J］.解剖學(xué)雜志，1994，17（3）：228-230.

［5］谷方，趙琛，龔少蘭.腹主動(dòng)脈及其主要分支的解剖學(xué)測(cè)量［J］.青島大學(xué)醫(yī)學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，37（2）：99-100.

An Unsymmetrical Model on the Vascular Branches

LI Shao-wei
(School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China)

This paper discusses an unsymmetrical Vascular Branches problem, makes a relational model about the radius of vascular branches and the branch angles，then proves existing conclusions.

Vascular Branches;Mathematical Model

O175.2

A

1672-3708（2010）06-0001-03

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2010-11-05

李韶偉（1979- ），男，浙江仙居人，講師，博士生，主要從事偏微分方程方面的研究。