孔 峰, 朱泰英

(上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部,上海200240)

有限元在自然電位測井中的應(yīng)用

孔 峰, 朱泰英

(上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部,上海200240)

針對(duì)自然電位(SP)測井的正問題,研究了有限元方法在求解數(shù)值解中的應(yīng)用。通過構(gòu)造新函數(shù)的方法,將一個(gè)不能使用有限元計(jì)算的問題化為一個(gè)可用標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法來求解的問題,并對(duì)非齊次項(xiàng)進(jìn)行了分析,選取了適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù),提高了計(jì)算精度。

自然電位;測井;有限元

Abstract：We study application of finite element method to obtain numerical solution to the problem of spontaneous potential well-logging.By constructing a new function,we convert the problem to a new form that can be solved by the standard finite element method,and analyze an inhomogeneous term and choose an appropriate constructor to improve accuracy.

Key words:spontaneous potential(SP);well-logging;finite element method(FEM)

自然電位(Spontaneous Potential,SP)測井是一種被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代石油勘探中的測井方法。SP測井所用的測量工具包括一個(gè)放在井眼中的可移動(dòng)電極和一個(gè)放在地面泥漿槽中的參考電極。通過變換可移動(dòng)電極的位置,繪制出井軸上的自然電位曲線圖,不同的電位曲線反映出不同的地層信息。為了制作相應(yīng)的測井解釋圖表,通常假設(shè)地層信息中各子區(qū)域的電阻率以及交界面上的電勢跳躍都是已知的。井軸上的自然電位u=u(r,z)滿足在交界面上有跳躍的橢圓邊界值問題。在結(jié)合點(diǎn) A和B處(見圖1),自然電位的跳躍不滿足相容性條件,這就找不到一個(gè)分片 H1的解,也就不能直接用標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法求解[1]。本文通過構(gòu)造新函數(shù)的方法將由不滿足相容性條件導(dǎo)致的奇性化到了方程的右端,從而可以利用標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法求解。

1 問題陳述

1.1 數(shù)學(xué)模型

通常假設(shè)地層是關(guān)于井軸和中心平面對(duì)稱的[2],在平面(r,z)的區(qū)域中考慮問題,其中 R,Z是適當(dāng)大的數(shù)。假設(shè)電阻率 Re是分片常數(shù)[3](見圖1),則

式中,Ωm為被泥漿充滿的井陘;Ωs為圍巖;Ωx0為侵入帶;Ωt為目標(biāo)層。

圖1 井軸橫切面示意圖Fig.1 Axial cross-section of the well

因?yàn)棣竧由滲透性的砂層組成,泥漿濾液會(huì)侵入到這個(gè)多孔的區(qū)域并改變區(qū)域Ωx0的電阻率,所以Ωx0通常叫做侵入帶[4]。

在實(shí)際問題中,區(qū)域半徑 r→+∞,而一般只用一個(gè)有限的R來近似。這種近似的合理性在文獻(xiàn)[5]中得到了證明:當(dāng) R-Dx0/2≥Z,R>2Dx0時(shí),近似值和實(shí)際值的相對(duì)誤差量級(jí)為o(10-4)～o(10-8),并且在均勻地層中取R和Z大小相等較合適。

在正問題中,自然電位函數(shù) u(r,z)在Ωi(i=1,2,3,4)中滿足如下的擬調(diào)和方程[1]:

在各個(gè)邊界和交界面γi(i=1,2,…,5)上滿足如下的邊界條件:

式中,Ei為γi上的電位差。

1.2 問題化簡

作

并作變換[6]

則v滿足一個(gè)新的邊界值問題:

新聞傳播學(xué)、戲劇影視學(xué)兩個(gè)學(xué)科都具有中國傳媒大學(xué)的獨(dú)到優(yōu)勢和特色。首先體現(xiàn)在“綜合”。新聞傳播學(xué)起步于廣電，隨著中國整個(gè)媒體行業(yè)的快速發(fā)展，從廣電延伸到電子媒體，再從電子媒體延伸到視聽新媒體、融媒體。戲劇影視學(xué)也大致如此，起步是電視藝術(shù)，電視藝術(shù)后來延伸到視覺藝術(shù)，又延伸到影視行業(yè)，最后將戲劇和戲曲也納入其中。第二個(gè)特點(diǎn)就是“交叉”。新聞傳播學(xué)、戲劇與影視學(xué)不僅載體、平臺(tái)有交叉，藝術(shù)、技術(shù)也有交叉。特別是這幾年大數(shù)據(jù)、智能媒體的興起，使它們的覆蓋領(lǐng)域更加寬泛。交叉、融合肯定是未來方向，需要開啟新聞傳播學(xué)、戲劇影視學(xué)的新視野和新維度，促進(jìn)學(xué)科建設(shè)與發(fā)展的良性循環(huán)。

式中,F1=F2=F5=0;F3=E3-E1-E5;F4=E4-E1-E2-E5。

新問題v在Γ1上滿足一個(gè)零邊界條件,在垂直交界面是連續(xù)的。如果在點(diǎn) A和B處的自然電勢差的代數(shù)和為0,即

就有 F3=ΔA=0,F4=ΔA+ΔB=0,于是 v≡0。故u0就是初始問題式(2)～式(5)的分片光滑的解[7]。在這種情況下,自然電勢差被稱為是相容的。然而在實(shí)際問題中,通常所遇到的問題都是相容性條件不滿足的情形。在這種情況下,不可能得到一個(gè)分片 H1的弱解。但是,對(duì)于任意的 p(1≤p<2)可以得到一個(gè)分片W(1,p)的解[8]。

2 問題分析

在相容性條件不滿足的情況下,正問題沒有一個(gè)分片 H1的弱解,不能直接用有限元方法求解。對(duì)交界面的點(diǎn)A和B進(jìn)行分析,邊界結(jié)合點(diǎn)處電位差的不相容性導(dǎo)致了正問題的奇性。構(gòu)造函數(shù)

式中,ai,bi(i=1,2,3)為待定系數(shù);θA為A點(diǎn)處的極角;ρA為A點(diǎn)處的極徑。f(ρA)∈C∞且滿足

式中,a0為一個(gè)充分小的正常數(shù),它滿足2a0≤min(|OD|,|AB|,|A C|,|A D|)。選取適當(dāng)?shù)?ai與bi,使 vA滿足

類似地構(gòu)造 vB。

式中,h(r,z)=L(vA)+L(vB);s為弧長;Gi(s)為電勢跳躍。

Gi(s)是Lipschitz連續(xù)并且滿足相容性條件的,從而可以用標(biāo)準(zhǔn)有限元方法求出它的數(shù)值解。

3 有限元方法

3.1 數(shù)值結(jié)果

為了檢驗(yàn)上面的數(shù)值方法,對(duì)一種比較經(jīng)典的情形進(jìn)行了計(jì)算。假設(shè)地層是均勻的,并且是無限延伸的,即 Rm=Rx0=Rt=Rs,此時(shí)井軸上的電位值具有“精確解”的表達(dá)式[6]為

對(duì)于H=4 m,D0=0.25 m,Dx0=1.3 m,E1=20 mV,E2=130 mV,E3=130 mV,E4=130 mV,E5=10 mV的情形分別用差分法和有限元素法進(jìn)行計(jì)算,并比較結(jié)果。圖2是用有限元素法得到的自然電位曲線圖與“精確解”的比較,表1是在不同的方法下得到的自然電位值與“精確值”的比較[9],z為深度。

圖2 自然電位曲線比較圖Fig.2 Spontaneous potential curve

3.2 有限元方法的改進(jìn)

有限元的一般方程為

式中,S為一個(gè)稀疏矩陣;X為每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的電位值所構(gòu)成的向量;J為每個(gè)節(jié)點(diǎn)處電位積分值。

網(wǎng)格剖分直接決定著式(22)左端項(xiàng),不同的網(wǎng)格剖分對(duì)應(yīng)著不同的稀疏矩陣。測井正問題所對(duì)應(yīng)的稀疏矩陣是一個(gè)帶狀矩陣[7],不同的網(wǎng)格剖分只影響少數(shù)邊界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的元素,不影響矩陣的帶寬和性質(zhì),從而不影響計(jì)算的精度[10]。而對(duì)于式(22)右端積分項(xiàng),需要構(gòu)造光滑函數(shù) f(ρA)和 g(ρB),并在較小的直角三角形區(qū)域上進(jìn)行積分,不同的 f(ρA)和 g(ρB)對(duì)應(yīng)著不同的右端項(xiàng)。由稀疏矩陣的性質(zhì)知,f(ρA)和 g(ρB)的選取直接影響著計(jì)算精度。根據(jù)式(13),實(shí)際計(jì)算時(shí)只用到 f(ρA)和 g(ρB)的一階和二階導(dǎo)數(shù),故可以用二次或者更高次的多項(xiàng)式來近似表示它們[9]。對(duì)于多項(xiàng)式的次數(shù)m取不同值時(shí),電位計(jì)算值與“精確解”的相對(duì)誤差ε結(jié)果列于表2中。

由表2可知,當(dāng)多項(xiàng)式取 m=4時(shí),計(jì)算精度最高。

表1 井軸上自然電位值的比較Tab.1 Spontaneous potential on the well axis

表2 m取不同值時(shí)電位計(jì)算值與“精確解”的相對(duì)誤差Tab.2 Relative error for different m

4 結(jié) 語

具有跳躍邊界條件的擬調(diào)和方程在不同邊界的交界點(diǎn)處,跳躍條件是不相容的,導(dǎo)致此類方程不能直接用有限元方法求解。本文通過構(gòu)造一個(gè)在交界點(diǎn)處具有奇性的新函數(shù)將原方程化為一個(gè)非齊次方程,從而可利用標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法求解。這種將邊界條件的奇性化到方程中去的方法可以推廣到調(diào)和方程等其他具有相同性質(zhì)的方程中去,具有廣泛的適用性。

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Application of FEM in Spontaneous Potential Well-logging

KON G Feng, Z HU Taiying
(Department of Mathematics and Physics,Shanghai Dianji University,Shanghai 200240,China)

O 241.82;TD 173

A

2095-0020(2010)04-0232-04

2010-06-13

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871130)

孔 峰(1985-),男,助教,專業(yè)方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué),E-mail:kongf@sdju.edu.cn