殷 聞, 靳曉雄, 仝 光,2

(1.同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院,上海201804;2.上海電機(jī)學(xué)院汽車(chē)學(xué)院,上海200245)

兩種常用橡膠本構(gòu)模型的有限元分析及其仿真

殷 聞1, 靳曉雄1, 仝 光1,2

(1.同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院,上海201804;2.上海電機(jī)學(xué)院汽車(chē)學(xué)院,上海200245)

在分析了3類常用橡膠材料本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上,對(duì)兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型和3次Yeoh模型的材料參數(shù)進(jìn)行了數(shù)學(xué)計(jì)算。采用MSC.Marc非線性有限元分析軟件對(duì)三維啞鈴狀試樣進(jìn)行不同載荷水平下的單軸拉伸試驗(yàn)仿真,驗(yàn)證模型的適用性,為進(jìn)一步研究打下理論基礎(chǔ)。

橡膠材料;本構(gòu)模型;應(yīng)變能函數(shù);非線性有限元

Abstract：Based on an overview of three rubber constitutive models,we calculate material parameters of the Mooney-Rivlin model and the third order Yeoh model.We carry out simulation of a 3D-dumbbell specimen uniaxial tensile test under different load levels using MSC.Marc,which is software for nonlinear finite element analysis,and analyze the two models'stress.The results verify applicability of these models and provide a theoretical foundation for further research.

Key words:rubber material;constitutive model;strain energy function;nonlinear finite element

橡膠作為一種超彈性材料,表現(xiàn)出與金屬材料截然不同的物理化學(xué)性能。其在工程中應(yīng)用廣泛,主要用來(lái)減振、密封等。與金屬材料相比,橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表現(xiàn)出明顯的非線性,使得對(duì)橡膠力學(xué)行為的描述變得復(fù)雜。因此,合理地選擇橡膠材料的本構(gòu)模型就變得十分重要。本文在概述多種本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上,選擇兩種常用的本構(gòu)模型,即兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型和3次Yeoh模型對(duì)橡膠材料進(jìn)行有限元計(jì)算,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 橡膠材料的本構(gòu)模型概述

常用的橡膠材料本構(gòu)模型主要分為3類:①基于分子統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的本構(gòu)模型;②以應(yīng)變不變量表示的應(yīng)變能密度函數(shù);③以主伸長(zhǎng)率表示的應(yīng)變能函數(shù)。

1.1 基于分子統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的本構(gòu)模型

分子統(tǒng)計(jì)學(xué)理論把橡膠彈性體看成是一個(gè)由任意取向的柔性長(zhǎng)鏈分子通過(guò)交聯(lián)點(diǎn)組成的分子鏈網(wǎng)絡(luò),分子鏈末端距的徑向分布符合高斯函數(shù)。該理論認(rèn)為,橡膠材料的應(yīng)力應(yīng)變行為主要取決于構(gòu)象熵。研究表明:當(dāng)沒(méi)有外力作用時(shí),分子鏈的構(gòu)象熵趨于最大值;而當(dāng)有外力作用時(shí),由于分子鏈內(nèi)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),使得構(gòu)象數(shù)發(fā)生變化,從而導(dǎo)致構(gòu)象熵也發(fā)生變化。這種構(gòu)象熵的變化使得橡膠材料具有了高彈性[1]。若分子鏈由 n個(gè)長(zhǎng)為l的鏈節(jié)組成,鏈節(jié)末端距向量為 r0,若,則可采用 Gauss統(tǒng)計(jì)理論來(lái)建立本構(gòu)模型[2]。常用的分子統(tǒng)計(jì)學(xué)模型包括 Neo-Hookean模型,Kuhn-Grun模型以及 Arruda-Boyce模型。

1.2 以應(yīng)變不變量表示的應(yīng)變能密度函數(shù)

工程上處理橡膠彈性問(wèn)題時(shí),大都認(rèn)為橡膠材料是各項(xiàng)同性的,故橡膠材料的變形可以看成是均勻變形。應(yīng)變能密度函數(shù)可以表示成主伸長(zhǎng)率λi,或者是Cauchy-Green應(yīng)變張量不變量 I1,I2和 I3的函數(shù)。又因?yàn)閺椥泽w一般近似認(rèn)為是不可壓縮的,即體積比 J=1,故 I3常取為1.0[3]。應(yīng)變能密度函數(shù)在工程上,特別是超彈性體的變形研究中應(yīng)用廣泛。其中,Mooney于1951年提出了以 I1,I2為變量的應(yīng)變能表達(dá)式

式中,Cij為材料常數(shù)。

當(dāng)取前兩項(xiàng)時(shí),應(yīng)變能表達(dá)式為式(2)即為兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型,工程上常用該模型來(lái)研究彈性體的變形,它能較好地模擬橡膠材料的中小變形行為。在此基礎(chǔ)上,眾多學(xué)者根據(jù)自己研究對(duì)象的不同,提出了適合各自研究對(duì)象的高階 Rivlin應(yīng)變能函數(shù)。其中,Yeoh提出了一個(gè)僅以 I1為變量的3次應(yīng)變能函數(shù):

式中,C10,C20和 C30為與溫度有關(guān)的材料參數(shù)。

Yeoh模型能描述隨變形而變化的剪切模型的填料橡膠,而且由某種簡(jiǎn)單變形實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出的參數(shù)可以用來(lái)預(yù)測(cè)其他變形方式的力學(xué)行為,描述的變形范圍也較寬,一般適合于模擬大變形,但是它不能很好的解釋等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)。

1.3 以主伸長(zhǎng)率表示的應(yīng)變能函數(shù)

在有限元分析中,Ogden模型是較常用的以主伸長(zhǎng)率表示的應(yīng)變能函數(shù)。其應(yīng)變能函數(shù)的表達(dá)式為

式中,μn,αn為與變形無(wú)關(guān)的材料常數(shù)。

事實(shí)上,Ogden模型與 Mooney-Rivlin模型并沒(méi)有本質(zhì)上的不同。在有限元分析中,選擇哪一個(gè)模型僅僅在于系數(shù)擬合是否方便。

2 本構(gòu)模型材料參數(shù)的數(shù)學(xué)計(jì)算

橡膠本構(gòu)模型的材料參數(shù)對(duì)有限元的計(jì)算結(jié)果影響很大,即使對(duì)于同一個(gè)本構(gòu)模型,選擇不同的材料參數(shù)也會(huì)得到不同的計(jì)算結(jié)果。以下介紹兩種工程中常用的橡膠本構(gòu)模型材料參數(shù)的計(jì)算方法。

2.1 兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型

橡膠類材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可由應(yīng)變能密度函數(shù)得到,其一般形式為[4]

式中,P為一個(gè)未知的壓力,反映了橡膠是不可壓縮及對(duì)壓力不敏感的事實(shí)。

在單軸拉伸試驗(yàn)狀態(tài)下,拉伸比定義為λ22=λ23=1/λ1,并假定 t2=t3=0。則在拉伸過(guò)程中,材料體積保持不變,滿足不可壓縮條件。將上述關(guān)系式代入相應(yīng)于t2和t3的式(5),可求得

將式(6)代入t1的表達(dá)式,可得單軸拉伸試驗(yàn)中柯西應(yīng)力的表達(dá)式為

將兩參數(shù)Mooney-Rivlin應(yīng)變能密度函數(shù)W代入式(7),有

根據(jù)橡膠材料的單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)得的形變和應(yīng)力數(shù)據(jù)[5],令,則C01,C10為由數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合而成的直線 y=C01x+C10的斜率和截距。由上述方法可以擬合得到兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型的材料參數(shù) C10和 C01。其值分別為1.2和-0.33。

2.2 3次Yeoh模型

將3次 Yeoh應(yīng)變能密度函數(shù) W代入式(7),有

令x=2(I1-3),,則式(9)可化為y=C10+C20x+0.75C30x2。

故 C10,C20和0.75C30為拋物線一般式的3個(gè)系數(shù)。由橡膠材料的形變和應(yīng)力數(shù)據(jù),通過(guò)MATLAB編程可以得到 C10=0.897 8,C20=-0.057 8,C30= -0.053 3。

3 基于MSC.Marc的有限元仿真

3.1 模型的幾何特征及約束條件

為了驗(yàn)證兩種本構(gòu)模型的適用條件及范圍,本文通過(guò)建立一個(gè)三維啞鈴狀試樣模型來(lái)模擬單軸拉伸的過(guò)程。假設(shè)模型在拉伸過(guò)程中體積保持不變,滿足不可壓縮條件。模型剖面結(jié)構(gòu)尺寸如圖1所示[6]。

圖1 三維啞鈴狀試樣剖面結(jié)構(gòu)尺寸Fig.1 Sectional dimension of dumbbell spcimen

單元類型采用 Herrmann84號(hào)單元,單元總數(shù)為14 848個(gè)。為了保證在有限元分析過(guò)程中不會(huì)因?yàn)閱卧兌鴮?dǎo)致運(yùn)算終止,在 Hypermesh中設(shè)置單元密度為1.0[7]。將啞鈴狀試樣兩端約1/5的節(jié)點(diǎn)除 x方向位移外的其余5個(gè)自由度全部約束,并約束一個(gè)端面上 x方向的位移,同時(shí)在另一個(gè)端面上施加固定載荷。

圖2 載荷水平為23 N時(shí)兩模型Von Mises應(yīng)力云圖Fig.2 Von Mises stress contours of the two models

3.2 有限元仿真結(jié)果

本文采用MSC.Marc非線性有限元分析軟件對(duì)三維啞鈴狀試樣進(jìn)行不同載荷水平下單軸拉伸試驗(yàn)的仿真[8]。橡膠材料的本構(gòu)模型分別選用兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型和3次 Yeoh模型,材料參數(shù)由前文所述的方法得到。在不同載荷水平下,仿真得到對(duì)應(yīng)于兩種本構(gòu)模型的三維啞鈴狀試樣的Von Mises應(yīng)力云圖和位移云圖。圖2和圖3所示為載荷水平為23 N時(shí)的仿真的結(jié)果。

由圖2可見(jiàn),最大應(yīng)力值出現(xiàn)在試樣受拉端的截面尺寸變化處,此處雖然做了倒角處理,但由于曲率的變化,仍然會(huì)有應(yīng)力集中的現(xiàn)象存在。

圖4和圖5是各載荷水平下的Von Mises應(yīng)力曲線和位移曲線。由圖4和圖5可見(jiàn),當(dāng)載荷較小時(shí),由于橡膠材料的力學(xué)響應(yīng)較小,相應(yīng)地,由兩種本構(gòu)模型計(jì)算得到的應(yīng)力和位移其差值也較小。而隨著載荷的增加,兩種本構(gòu)模型對(duì)應(yīng)的應(yīng)力差值和位移差值逐漸變大。當(dāng)載荷超過(guò)23 N時(shí),應(yīng)力差值和位移差值均超過(guò) 10%,且 3次

Yeoh模型的位移比兩參數(shù) Mooney-Rivlin模型的位移增加得更快。

圖3 載荷水平為23 N時(shí)兩模型位移云圖Fig.3 Displacement contour of the two models

圖4 不同載荷水平下的 Von Mises應(yīng)力曲線Fig.4 Von Mises stress curve under different load levels

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)數(shù)值分析的方法,對(duì)兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型和3次 Yeoh模型的材料參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算。在不同載荷水平下對(duì)三維啞鈴狀試樣進(jìn)行了單軸拉伸試驗(yàn)仿真。驗(yàn)證了兩種模型的適用性。由前述分析可見(jiàn),相對(duì)于3次 Yeoh模型來(lái)說(shuō),兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型能更好的模擬橡膠的中小變形行為。

圖5 不同載荷水平下的位移曲線Fig.5 Displacement curve under different load levels

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Finite Element Analysis of Rubber Constitutive Models and Simulation

YIN Wen1, J IN Xiaoxiong1, TON G Guang1,2
(1.Automotive Institute,Tongji University,Shanghai 201804,China;2.School of Automobile,Shanghai Dianji University,Shanghai 200245,China)

TB 115

A

2095-0020(2010)04-0215-04

2010-06-21

殷 聞(1985-),男,碩士生,專業(yè)方向?yàn)槠?chē)振動(dòng)與噪聲,E-mail:markyin2008@163.com