王福謙

（長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011）

平行接地大導(dǎo)體板間線電荷的電場(chǎng)分布

王福謙

（長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011）

利用復(fù)數(shù)坐標(biāo)系z(mì)上的保角變換及鏡像法，計(jì)算兩平行接地大導(dǎo)體板間線電荷所形成電場(chǎng)的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)分布。

導(dǎo)體板；長(zhǎng)直線電荷；保角變換；鏡像法；電勢(shì)分布；場(chǎng)強(qiáng)分布

文獻(xiàn)[1]運(yùn)用保角變換法討論了兩平行接地大導(dǎo)體板間線電荷的電場(chǎng)分布，但因變換函數(shù)的局限性，僅計(jì)算出了線電荷到兩導(dǎo)體板距離相等時(shí)所形成電場(chǎng)的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的分布，而沒(méi)能給出線電荷位于導(dǎo)體板之間任意位置時(shí)電場(chǎng)分布的一般規(guī)律。本文將通過(guò)線性換、指數(shù)變換及余弦變換，利用鏡像法得出線電荷在該區(qū)域的電勢(shì)分布和場(chǎng)強(qiáng)分布，并繪制出其等勢(shì)線和電場(chǎng)線圖。

1 電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度

設(shè)在相距為a的兩相互平行無(wú)限大接地導(dǎo)體板之間，充以介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)，平行于兩導(dǎo)體板放置電荷線密度為λ的長(zhǎng)直線帶電體，該帶電體到一導(dǎo)體板的距離為b（b＜a），因垂直于長(zhǎng)直線帶電體的所有截面上的電場(chǎng)分布都相同，故可取任一截面為z平面來(lái)討論電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)在其上的分布，如圖1所示。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)可將z平面上0＜Imz＜π水平帶域變換為w平面的上半平面，并進(jìn)一步變換為單位圓，所以，為了使用保角變換法計(jì)算z平面上電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的分布，可先作如下的線性變換：

這樣，z平面上兩無(wú)限大導(dǎo)體板間的水平帶形域0＜Imz＜a就映射為z1平面上的水平帶形域0＜Imz＜π，如圖2所示。

圖1 變換前的水平帶形域0＜IMz＜a

圖2 變換后的水平帶形域0＜IMz＜π

圖3 變換后的上半平面一

圖4 變換后的上半平面二

再作變換z2=ez1，可將水平帶域0＜Imz＜π變?yōu)樯习肫矫鍵mz2＞0，如圖3所示，線電荷位于z2=e處。最后作變換ξ=z2-cos，又將上半平面一變換為上半平面二，且電荷位于虛軸上的ξ=i sin處，如圖4所示。綜上所述，總變換為：

式（2）為長(zhǎng)直線電荷在兩平行接地大導(dǎo)體板之間的電勢(shì)表達(dá)式。式中-∞＜x＜+∞，0≤y≤a。

由電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的微分關(guān)系E=-▽U，得：

式（3）為長(zhǎng)直線電荷在兩平行接地大導(dǎo)體板之間場(chǎng)強(qiáng)的矢量表達(dá)式。

2 等勢(shì)線與電場(chǎng)線函數(shù)

令式（2）中的 U（x，y）=C′，即令

為正常數(shù)，（C1為正常數(shù)），可得等勢(shì)線方程為

對(duì)于一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)，若把它看作某解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部），利用柯西-黎曼方程可求出相應(yīng)的虛部（或?qū)嵅浚?，而?duì)式（2）有=0說(shuō)明U為一調(diào)和函數(shù)，若將U作為解析函數(shù)的實(shí)部，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)可求得其虛部E，而在oxy 平面上，U（x，y）的等值線族與 E（x，y）的等值線族是處處正交的。注意到平面靜電場(chǎng)的等勢(shì)線族與電場(chǎng)線族也是處處正交的事實(shí)，而U（x，y）為被解釋為平面靜電場(chǎng)的電勢(shì)，則E（x，y）的等值線就是該靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線族。利用柯西-黎曼方程，由得：

由上式得 C′2（x）=0，則可確定 C2（x）=C2=常數(shù)。

故得長(zhǎng)直線電荷在兩平行接地大導(dǎo)體板之間的電場(chǎng)線函數(shù)為：

圖5為通過(guò)軟件MATLAB繪制出的長(zhǎng)直線電荷在兩平行接地大導(dǎo)體板之間的電場(chǎng)線和等勢(shì)線圖（a=1.5，b=0.5）。圖中箭頭所示為電場(chǎng)線族，實(shí)線為等勢(shì)線族。

圖5 電場(chǎng)線和等勢(shì)面圖

3 結(jié)束語(yǔ)

兩平行接地?zé)o限大導(dǎo)體板為一物理模型，當(dāng)接地板的線度比起其間距離大得多時(shí)，兩接地板可看作為無(wú)限大。本文中得到的關(guān)于長(zhǎng)直線電荷在兩平行接地大導(dǎo)體板之間的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)分布的結(jié)論具有一定的參考價(jià)值，一些實(shí)際場(chǎng)合都可用此來(lái)做近似估算。

［1］王福謙.兩平行接地大導(dǎo)體板間線電荷的電場(chǎng)［J］.大學(xué)物理，2008，27（12）：26-28.

［2］胡嗣柱，等.數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)［M］.北京：高等教育出版社，1997（2005重?。?4-96.

Abstract：This paper is intended to calculate the electric potential distribution and electric field intensity distribution of line charged between parallel ground connection Conductor board by using mirror method and the conformal mapping on the coordinate systeMof the complex number.

Keywords：conductor plate；a line charged；conformalmapping；mirrormethod；electric potential distribution；electric field intensity distribution

（責(zé)任編輯 王璟琳）

Further Calculation of the Electric Field of Line Charged Between ParallelGround Connection Conductor Plate

WANG Fu-qian
（Department of Electronic Information and Physics Changzhi University，Changzhi Shanxi 046011）

TM26

A

1673-2014（2010）05-0033-03

2010—09—23

王福謙（1957— ），男，山西運(yùn)城人，副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)與研究工作。