羅文翠 朱玉紅 易湘斌

（蘭州工業(yè)高等專科學(xué)校機(jī)械工程系，甘肅蘭州 730050）

基于割線法計(jì)算單圓弧齒輪傳動(dòng)公法線長(zhǎng)度

羅文翠 朱玉紅 易湘斌

（蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校機(jī)械工程系，甘肅蘭州 730050）

在圓弧齒輪傳動(dòng)及其測(cè)量尺寸公法線長(zhǎng)度的計(jì)算原理基礎(chǔ)上，以67型單圓弧齒輪為例，提出了利用割線法計(jì)算單圓弧齒輪公法線長(zhǎng)度的原理、求解方程流程圖、迭代方程及編程，比手工計(jì)算大大降低了工作量，而且精度也得到了很好的保證。

單圓弧齒輪 公法線 割線法 應(yīng)用

圓弧齒輪傳動(dòng)是近幾年發(fā)展起來(lái)的一種新型齒輪傳動(dòng)，單圓弧齒輪傳動(dòng)的小齒輪采用凸齒，大齒輪采用凹齒。自上世紀(jì)60年代以來(lái)，有關(guān)工廠、學(xué)校和科研單位進(jìn)行了大量的研究、試驗(yàn)和推廣工作，取得了較大成績(jī)。和漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)相比較，單圓弧齒輪傳動(dòng)具有一系列優(yōu)點(diǎn)：①當(dāng)量曲率半徑大，齒面接觸強(qiáng)度高;②摩擦損失小，傳動(dòng)效率高，齒面磨損小;③齒面磨損均勻，易跑合，具有良好的跑合性能;④無(wú)根切現(xiàn)象，其最少齒數(shù)僅受軸的強(qiáng)度及剛度限制，Zmin=6～8;⑤振動(dòng)噪聲比漸開(kāi)線齒輪小，制造工藝簡(jiǎn)單。

工程實(shí)踐證明，在幾何參數(shù)相同的條件下，單圓弧齒輪承載能力比漸開(kāi)線齒輪高1～1.5倍。鑒于以上優(yōu)點(diǎn)，單圓弧齒輪受到各國(guó)齒輪界的普遍重視，我國(guó)正在冶金、石油、礦山和起重運(yùn)輸機(jī)械等領(lǐng)域逐漸推廣使用。

1 單圓弧齒輪傳動(dòng)測(cè)量尺寸——公法線長(zhǎng)度的計(jì)算

經(jīng)過(guò)多年對(duì)單圓弧齒輪傳動(dòng)的測(cè)量研究，目前已建立一套較為完善的理論體系，并且在實(shí)踐中得到了良好的應(yīng)用。但是隨著單圓弧齒輪傳動(dòng)向高速、重載、大功率方向的發(fā)展，對(duì)測(cè)量技術(shù)提出了更高的要求，因此需要不斷完善現(xiàn)有的測(cè)量方法、計(jì)算方法，提高測(cè)量技術(shù)，加強(qiáng)對(duì)新測(cè)試方法的研究。

單圓弧齒輪傳動(dòng)測(cè)量尺寸的計(jì)算方法和漸開(kāi)線齒輪基本相同，但是與基準(zhǔn)齒形有關(guān)的檢驗(yàn)項(xiàng)目，如弦齒深、齒根圓直徑、齒厚、公法線長(zhǎng)度等尺寸都比較復(fù)雜。

1.1 單圓弧齒輪公法線長(zhǎng)度的計(jì)算原理

單圓弧齒輪公法線長(zhǎng)度的測(cè)量，是一個(gè)基本的檢測(cè)項(xiàng)目，目的是控制齒形厚度。其計(jì)算方法是計(jì)算兩個(gè)有規(guī)律變化曲面之間的公法線長(zhǎng)度。從數(shù)學(xué)角度講，它的實(shí)質(zhì)是求二元函數(shù)的極值，但對(duì)于單圓弧齒輪來(lái)說(shuō)，基于齒面是法向圓弧螺旋面的特性，齒面上任一點(diǎn)的法線位于過(guò)該點(diǎn)并與準(zhǔn)線相垂直的平面內(nèi)且和該平面內(nèi)圓弧曲線的法線重合。這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)化很多，此二異側(cè)齒面的公法線勢(shì)必與該二側(cè)面的兩準(zhǔn)線相交并垂直，于是單圓弧齒輪公法線長(zhǎng)度的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算兩條螺旋線（準(zhǔn)線）之間的最短距離。基于以上原理可求出雙圓弧齒輪的公法線長(zhǎng)度和跨測(cè)齒數(shù)，計(jì)算公式如表1。表中公式說(shuō)明如下：

表1 測(cè)量尺寸計(jì)算公式

（1）對(duì)于跨測(cè)齒數(shù) k1、k2的計(jì)算，其公式中 z1、z2分別為大小齒輪齒數(shù)，mn為法面模數(shù)，αt為理論接觸點(diǎn)處端面壓力角（tanαt=tanαn/cosβ），αn為法面壓力角，β為螺旋角，lα為凸齒齒廓圓心偏移量，lf為凹齒齒廓圓心偏移量，ρ1為凸齒齒廓圓弧半徑，ρ2為凹齒齒廓圓弧半徑，x2為凹齒齒廓圓心移距量。式中上標(biāo)為*的尺寸參數(shù)是指該尺寸與法面模數(shù)mn的比值，根據(jù)齒輪法面模數(shù)查手冊(cè)可得。由于以上參數(shù)均為已知或可求，故k1、k2可方便求出，計(jì)算結(jié)果須向上圓整。

（2）公法線長(zhǎng)度 wk公式中 αt1、αn1、αt2、αn2分別為小齒輪和大齒輪在測(cè)量時(shí)觸頭與齒面接觸處的端面壓力角及法面壓力角，對(duì)于wk1、wk2公法線長(zhǎng)度的計(jì)算，關(guān)鍵在于①、②兩超越方程的求解。傳統(tǒng)計(jì)算采用手工完成。計(jì)算時(shí)初取αt1=αt2=αt，進(jìn)行第一遍計(jì)算，重復(fù)多次，直到αt1、αt2的誤差在1″內(nèi)為止。但此種計(jì)算方法較繁瑣，應(yīng)用困難。以下給出采用割線法求解兩超越方程進(jìn)行公法線長(zhǎng)度計(jì)算的編程計(jì)算方法。

1.2 割線法原理簡(jiǎn)介

割線法是一種重要的逐次逼近的求解法，它是采用某個(gè)固定的公式把所選定方程根的初值代入，以校正根的近似值，使之逐漸精確化，最后得到滿足要求的解。割線法是一種常用的迭代方法，其基本方法是把非線性方程轉(zhuǎn)化為某個(gè)線性方程來(lái)求解。

如圖1所示，割線法是以過(guò)曲線上兩點(diǎn)（xn－1，f（xn－1））、（xn，f（xn））的直線為

設(shè)已知方程f（x）=0的一個(gè)近似根為x0，則函數(shù)f（x）在x0附近可用一階泰勒多項(xiàng)式f（x）=f（x0）+f′（x0）（x－x0）來(lái)近似表示。因此方程f（x）=0在點(diǎn)x=x0可近似地表示為 f（x0）+f′（x0）（x －x0）=0，設(shè) f′（x0）≠0，則線性方程的解為 x=x0－f（x0）/f′（x0）=x1。

重復(fù)以上過(guò)程得到迭代公式為xn+1=xn－f（xn）/f′（xn）。再用差商［f（xn）－ f（xn－1）］/（xn－ xn－1）代替導(dǎo)數(shù) f′（xn），得迭代公式

按此公式計(jì)算方程的近似解稱為割線法。

用割線法求非線性方程的解，必須給出兩個(gè)初始值x0與x1，通常取根所在區(qū)間的端點(diǎn)即可。一般，用割線法求所求前后兩次迭代誤差不超過(guò)允許的誤差，即以｜xn－xn+1｜＜ε為停步準(zhǔn)則，即 ：可取xn為方程的根，誤差不會(huì)超過(guò)ε。

1.3 利用割線法求解方程的流程圖

利用割線法求解方程，其流程圖如圖2所示。

1.4 迭代方程

整理①、②兩方程并對(duì)此求導(dǎo)，得到

得到具體迭代方法

1.5 程序（略）

2 實(shí)際應(yīng)用

基于以上程序，對(duì)某廠生產(chǎn)的一對(duì)67型單圓弧齒輪（表2）傳動(dòng)公法線長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算。

表2 單圓弧齒輪基本參數(shù)

計(jì)算精度E取值為0.000 01，執(zhí)行程序，計(jì)算結(jié)果如下。

3 結(jié)語(yǔ)

基于割線法進(jìn)行單圓弧齒輪公法線長(zhǎng)度計(jì)算方法，復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程借助于計(jì)算機(jī)，比手工計(jì)算大大降低了工作量，而且精度也得到了很好保證，為生產(chǎn)提供了方便，此方法已在多家機(jī)械工廠推廣。

1 王志，謝華錕，王貴成.錐齒輪測(cè)量原理以及測(cè)量?jī)x器最新進(jìn)展［J］.電測(cè)與儀表，2005（8）

2 謝華錕，王志，石照耀等.錐齒輪測(cè)量技術(shù)的最新進(jìn)展［J］.工具技術(shù)，2003，37（10）

3 呂罕聰.螺旋錐齒輪測(cè)量方法研究［D］.中國(guó)優(yōu)秀碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)，2007（2）

4 丁麗娟.數(shù)值計(jì)算方法［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，1997：193～196

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Calculate the Common Normal Line’s Distance of Single Arc Gear Based on Secant Method

LUO Wencui，ZHU Yuhong，YI Xiangbin
（The Mechanical Engineering Department，Lanzhou Higher Polytechnical College.Lanzhou 730050，CHN）

We provided a way used secant methord and put forward the calculating principle of the common normal line，the flow chart，the alternating equation .This method was based on the calculating principle and formula of the double arc gear’s driving and measuring common normal Line’s distance and made 67 arc gear as an example.It creased labor power firmly and the precision was also increased.

Single Arc Gear;Normal Line;Secant Method;Application

羅文翠，女，1969年生，副教授，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、優(yōu)化設(shè)計(jì)，已發(fā)表論文20余篇。

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2009―07―29）

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