潘曉明,余俊,楊釗,孔娟

(1.同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200092; 2.中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,湖南長沙410075)

一種將線性粘彈微分型本構(gòu)方程應(yīng)用到ABAQUS的方法

潘曉明1,余俊2,楊釗1,孔娟1

(1.同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200092; 2.中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,湖南長沙410075)

以3參量Merchant模型、Poyning-Thomson模型,以及4參量Burger模型為例,推導(dǎo)3種常用微分型本構(gòu)方程的松弛剪切模量Prony級數(shù)形式,并確定其在ABAQUS中的輸入?yún)?shù),供ABAQUS調(diào)用分析.以算例分析巖土流變性態(tài),將3種模型的應(yīng)變?nèi)渥?、松弛?shù)值解與一維情形下的解析解進(jìn)行對比,結(jié)果吻合較好.對土體采用Merchant粘彈性流變模型的過江盾構(gòu)隧道進(jìn)行粘彈性數(shù)值分析,得到管片位移均趨于穩(wěn)定值,說明所提出的方法是正確和可靠的,可以應(yīng)用于巖土工程數(shù)值計(jì)算.

微分型本構(gòu);Lap lace變換;Prony級數(shù);蠕變;松弛;ABAQUS

對于巖土所呈現(xiàn)的各種不同的流變特性,一般采用3種方法進(jìn)行描述.(1)通過室內(nèi)或現(xiàn)場試驗(yàn)和實(shí)測[1-3],建立經(jīng)驗(yàn)流變或蠕變公式;(2)建立積分型本構(gòu)方程求解流變問題[4-6];(3)根據(jù)流變介質(zhì)模型,建立微分型本構(gòu)方程,對巖土體流變進(jìn)行分析.第3種方法直觀、形象,且便于有限元編程計(jì)算,因而得到廣泛的應(yīng)用[7-9].ABAQUS是目前國際上最為先進(jìn)的大型通用有限元計(jì)算分析軟件之一.它所提供的粘彈本構(gòu)模型是基于松弛剪切模量Prony級數(shù)形式的積分型本構(gòu)方程[10],這給傳統(tǒng)巖土體線性粘彈微分型本構(gòu)方程的應(yīng)用帶來了不便.本文研究一種將線性粘彈性微分型本構(gòu)方程轉(zhuǎn)化成松弛剪切模量的Prony級數(shù)形式的方法,以供ABAQUS調(diào)用分析.

1 線性粘彈微分型本構(gòu)方程轉(zhuǎn)換成Prony級數(shù)形式

巖土流變模型是以反映蠕變、應(yīng)力松弛等為前提,利用彈性元件(胡克體)、粘性元件(牛頓體),通過串并聯(lián)關(guān)系形成的各種流變模型.文中討論的3參量Merchant模型、Poyning-Thom son模型,以及4參量Burger模型,分別如圖1所示.

圖1 流變模型Fig.1 Rheologicalmodel

1.1 微分型本構(gòu)方程的Laplace變換[11-12]

線性粘彈性微分型本構(gòu)關(guān)系可以表示為1.3 Merchant模型

M erchant模型的一維本構(gòu)方程為

通過同樣的方法,可得到Merchant模型在ABAQUS中的輸入?yún)?shù)為

1.4 Poyn ing-Thom son模型

Poyning-Thom son模型的一維本構(gòu)方程為

通過同樣的方法,可得到Poyning-Thom son模型在ABAQUS中的輸入?yún)?shù)為

圖2 三維計(jì)算模型Fig.2 Three-dimensional computationalmodel

2 算例驗(yàn)證

驗(yàn)證算例為一個三維C3D8單元試件,如圖2所示.件長、寬、高均為1 m,試件底部固定,頂部受均布壓力p進(jìn)行蠕變試驗(yàn)數(shù)值模擬,以及施加恒定位移進(jìn)行松弛試驗(yàn)數(shù)值模擬.材料基本參數(shù):EH為2.0 M Pa,泊松比μ為0.25,EM為2.0 M Pa,ηM為21.6 M Pa·月,EK為2.0 M Pa,ηK為21.6 M Pa·月.

通過式(13)～(17),將微分型本構(gòu)Burger模型、M erchant模型及Poyning-Thom son模型參數(shù)轉(zhuǎn)換為可供ABAQUS調(diào)用的輸入?yún)?shù).

(1)Burger模型的一維蠕變和一維松弛解析解為

由此可以得到Burger模型在ABAQUS中的輸入?yún)?shù):E0=EM=2.0 M Pa,μ0=μM=0.25,g1= 0.768,g2=0.231,τ1=3.59,τ2=27.0.

(2)Merchant模型的一維蠕變和一維松弛解析解為

由此可以得到M erchant模型在ABAQUS中的輸入?yún)?shù):E0=EH=2.0 M Pa,μ0=μH=0.25,g1= 0.545 454 5,τ1=4.91.

(3)Poyning-Thom son模型的一維蠕變和一維松弛解析解為

由此可得到Poyning-Thom son模型在ABAQUS中的輸入?yún)?shù),即E0=EH+EM=4.0 M Pa,μ0= μH=0.25,g1=0.454 545 45,τ1=10.8.

在ABAQUS中,應(yīng)力以受壓為負(fù),受拉為正.在施加荷載的中,均布荷載p為0.1 M Pa,進(jìn)行蠕變數(shù)值試驗(yàn);恒定位移u3為0.3 m,進(jìn)行松弛數(shù)值試驗(yàn).

對于流變計(jì)算,在ABAQUS中一般設(shè)置兩個分析步.第1個分析步為Static靜力分析步,時間設(shè)置很小,如1×10-20s;第2個分析步為V isco準(zhǔn)靜態(tài)分析步,采用固定時間增量步為0.5月,計(jì)算總時間為150月.

在均布荷載作用下,Burger模型、Merchant模型及Poyning-Thom son模型的應(yīng)變?nèi)渥償?shù)值解與一維情形下蠕變解析解,如圖3所示.從圖3可知,Burger模型能夠較好地模擬蠕變的第2階段,其軸向應(yīng)變ε隨時間(t)的增加而增加;M erchant模型和Poyning-Thom son模型能夠較好地模擬蠕變的第1階段,軸向應(yīng)變隨時間的增加而趨于穩(wěn)定值.

在常應(yīng)變作用下,3種模型應(yīng)力σ松弛數(shù)值解與一維松弛解析解,如圖4所示.從圖4可知,Buger模型存在應(yīng)力松弛,隨著時間的增加最終趨于零;Merchant模型和Poyning-Thom son模型具有松弛特性,隨時間的增加最終趨于穩(wěn)定值.

從圖3,4可以看出,3種模型的蠕變及松弛的解析解與數(shù)值解吻合較好,蠕變最大相對誤差不超過1.34%,松弛最大誤差不超過1.28%.

圖4 模型軸向應(yīng)力解析解與數(shù)值解比較 Fig.4 Comparison between analytical and numerical axial stresses

圖3 模型軸向應(yīng)變解析解與數(shù)值解比較Fig.3 Comparison between analytical and numerical axial strains

3 工程實(shí)例

某過江隧道襯砌外徑外直徑為8.7 m,管片內(nèi)直徑為7.9 m,管片厚為400 mm;有限元模型尺寸長60 m,寬79.38 m,拱頂埋深17.6 m,其網(wǎng)格圖如圖5所示.坐標(biāo)系采用水平向右為X方向,垂直向上為Y方向.底部邊界全約束邊界條件,左、右側(cè)邊界則采用X軸方向?qū)ΨQ約束,上部邊界采用自由邊界.

圖5 有限元計(jì)算網(wǎng)格Fig.5 Finite elementmesh

土體單元選用雙線性四邊形完全積分單元,單元數(shù)5 275個,節(jié)點(diǎn)數(shù)5 525個.管片采用實(shí)體單元,選用能考慮彎曲并可克服剪切自鎖的四邊形雙線性非協(xié)調(diào)等參單元.管片單元數(shù)168個,節(jié)點(diǎn)數(shù)252個.土體采用M erchant本構(gòu)模型,試驗(yàn)參數(shù)和經(jīng)轉(zhuǎn)化為ABAQUS的粘彈輸入?yún)?shù),如表1所示.

隧洞中心處的外水壓力為0.367 4 M Pa,拱頂至拱底的側(cè)向水壓力呈梯形分布.對砂性土采用水土分算,外水壓力直接作用在管片襯砌外層周圍.計(jì)算時設(shè)置4個分析步:(1)設(shè)置Geostatic重力分析步.計(jì)算后將土體位移場清零,只保留應(yīng)力場;(2)設(shè)置為Static靜力分析步.開挖隧道范圍內(nèi)土體并施加管片,計(jì)算時間為1× 10-20s;(3)設(shè)置為Visco準(zhǔn)靜態(tài)分析步.施加管片重力及外水壓,計(jì)算時間為36月,時間增量為0.5月.

在第3個分析步開始時,管片在施加重力荷載及施加外水壓作用下,瞬時產(chǎn)生的彈性變形如圖6所示.從圖6可知,由于管片接頭位置不對稱,造成水平位移不對稱.在土體采用粘彈材料,計(jì)算時間為36月時,管片的位移云圖如圖7所示.從圖7可知,管片水平相對位移由24.1 mm變化為17.8 mm;管片豎向相對位移由25.4 mm變化為19.5 mm.這主要是由于土體發(fā)生蠕變作用,使得管片有向內(nèi)收斂.管片拱頂、拱底豎向位移,以及右側(cè)拱腰水平位移隨時間的變化曲線,如圖8所示.從圖8可看出,隨著時間的增加,管片在不同位置處的位移均達(dá)到穩(wěn)定的收斂值,這與一維情形下M erchant模型的蠕變特性相吻合.拱頂由瞬時彈性豎向位移-0.08 mm,經(jīng)14月穩(wěn)定至-16.2 mm;拱底豎向位移由25.3 mm變化至0.4 mm;右側(cè)拱腰水平位移由13.5 mm變化至10.7 mm.

表1 土體計(jì)算參數(shù)表Tab.1 Computational parametersof soil

圖6 Visco準(zhǔn)靜態(tài)分析步開始時的管片瞬時彈性位移Fig.6 Instantaneous elastic disp lacement of segment at the beginning of step 3

圖7 Visco準(zhǔn)靜態(tài)分析步結(jié)束時的管片粘彈位移Fig.7 Visco-elastic disp lacement of segment at the end of step 3

4 結(jié)論

圖8 管片位移隨時間的變化曲線Fig.8 Curves of disp lacement to time at different location of segment

研究將線性粘彈微分型本構(gòu)方程應(yīng)用于ABAQUS分析平臺的方法.推導(dǎo)Burger模型,Merchant模型及Poyning-Thom son線性粘彈微分型本構(gòu)方程的松弛剪切模量p rony級數(shù)形式,并確定其在ABAQUS中的輸入?yún)?shù).

通過三維蠕變和松弛的數(shù)值模擬結(jié)果與一維情形下的解析解進(jìn)行對比,表明兩者的計(jì)算結(jié)果吻合較好.最后,對土體采用Merchant粘彈性流變模型的過江盾構(gòu)隧道進(jìn)行了粘彈性數(shù)值分析,得到了管片位移均趨于穩(wěn)定值,進(jìn)一步說明所提出的方法是正確的和可靠的,可以應(yīng)用于巖土工程數(shù)值計(jì)算.

對于將其他線性粘彈微分型本構(gòu)方程的應(yīng)用到ABAQUS中,所提出方法具有一定的參考價值.

[1] 趙永輝.潤揚(yáng)長江大橋北錨碇土體流變特性的試驗(yàn)研究[J].地下空間,2003,23(4):417-420.

[2] 謝寧,孫鈞.上海地區(qū)飽和軟粘土流變特性[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào),1996,24(3):233-237.

[3] 劉朝豐,鮑文魁,徐景龍.剪切模量的近似函數(shù)和精確數(shù)值積分表達(dá)式[J].上海航天,2003,20(5):26-28.

[4] 焦春茂,趙春風(fēng),張征,等.遺傳積分型本構(gòu)方程的兩種推演方法及比較[J].地下空間與工程學(xué)報(bào),2008,3(4):42-45.

[5] 王琛,劉浩吾.線性積分模型和微分模型的普遍流變方程[J],土木工程學(xué)報(bào),2003,36(10):99-102.

[6] THOMAS F S.Finite-element calculation of stresses in glass parts undergoing viscous relaxation[J].J Am Ceram Soc,1999,70(2):90-95.

[7] 孫鈞.巖土材料流變及其工程應(yīng)用[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1999:1-40.

[8] 章根德,何鮮,朱維耀.巖石介質(zhì)流變學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1999:20-60.

[9] 王智祥,劉金明,劉柏雄,等.AZ61鎂合金熱壓縮流變應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,30(3): 248-252

[10] HKS Inc.ABAQUS user’smanual[M].Paw tucket:Hibbit,Karlsson&Sorensen Inc,2002.

[11] 王芝銀,李云鵬.巖體流變理論及其數(shù)值模擬[M].北京:科學(xué)出版社,2008:6-30.

[12] 陳子蔭.圍巖力學(xué)分析中的解析方法[M].北京:煤炭工業(yè)出版社,1994:303-390.

A Method Using L inear Viscoelastic D ifferen tial Constitutive Equation in to ABAQUS

PAN Xiao-m ing1,YU Jun2, YANG Zhao1,KONG Juan1
(1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 200092,China; 2.School of Civil Engineering and A rchitecture,Central South University,Changsha 410075,China)

Taking three-parameter Merchantmodel,Poyning-Thomsonmodel and four-parameter Burgermodel as examp le,the relaxation shear modulus w ith p rony series fo rm s is derived by three kinds of commonly used differential-type constitutive equation,their parameters is determined to input in ABAQUS.In order to analyze the rheological characteristics,the creep and relaxation numerical solutionsof threemodelsagreewell to analytical solutions.Using Merchant viscoelastic rheologicalmodel,the viscoelasto numerical calculation of cross-river shield tunnel is carried out,the stabile values of segment displacement are obtained,w hich indicate the p roposed method is co rrect and reliable,and can be app lied to geotechnical engineering numerical calculation.

differential constitutive;Laplace transform;p rony series;creep;relax;ABAQUS

TU 452

A

(責(zé)任編輯:錢筠 英文審校:方德平)

1000-5013(2010)05-0570-06

2009-10-11

潘曉明(1979-),男,博士研究生,主要從事隧道及地下結(jié)構(gòu)方面的研究.E-mail:p xm155138@163.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(40872179);中國博士后科研基金資助項(xiàng)目(20080440652)