吳富梅,楊元喜

1.信息工程大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,河南鄭州450052;2.西安測(cè)繪研究所,陜西西安710054

一種兩步自適應(yīng)抗差K alman濾波在GPS/INS組合導(dǎo)航中的應(yīng)用

吳富梅1,2,楊元喜2

1.信息工程大學(xué)測(cè)繪學(xué)院,河南鄭州450052;2.西安測(cè)繪研究所,陜西西安710054

針對(duì)偽距、偽距率緊組合導(dǎo)航精度低、姿態(tài)角誤差修正誤差較大的缺點(diǎn),從參數(shù)可觀(guān)測(cè)性角度提出一種兩步自適應(yīng)Kalman濾波算法。首先簡(jiǎn)單介紹緊組合Kalman濾波的過(guò)程,然后給出兩步自適應(yīng)抗差濾波的公式和具體步驟,并且進(jìn)行分析和比較。最后用實(shí)測(cè)算例對(duì)提出的算法進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明,相比于偽距、偽距率緊組合Kalman濾波,兩步自適應(yīng)抗差濾波的導(dǎo)航精度受組合周期的長(zhǎng)短、INS慣性元件誤差的大小影響較小,精度略有提高,更重要的是能夠控制動(dòng)態(tài)擾動(dòng)異常和觀(guān)測(cè)異常的影響,在慣性元件誤差較大的情形下也能夠很好地估計(jì)元件誤差,避免姿態(tài)角錯(cuò)誤修正。

分步自適應(yīng)Kalman濾波;GPS/INS組合導(dǎo)航;緊組合導(dǎo)航;自適應(yīng)因子

1 引 言

全球定位系統(tǒng)(GPS)和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS)具有很強(qiáng)的功能互補(bǔ)性,將兩者組合起來(lái)可以有效地利用各自的優(yōu)點(diǎn),進(jìn)行系統(tǒng)間的取長(zhǎng)補(bǔ)短以減小系統(tǒng)誤差影響,提高導(dǎo)航系統(tǒng)的性能,目前已在陸海空導(dǎo)航領(lǐng)域受到廣泛的應(yīng)用。GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)不僅能夠提供載體的位置、速度和姿態(tài)信息,而且能夠?qū)崿F(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間導(dǎo)航定位的高精度,高數(shù)據(jù)采樣率以及抗差性[1-2]。

在GPS/INS組合導(dǎo)航中,緊組合方式因?yàn)橛^(guān)測(cè)量不相關(guān),而且在衛(wèi)星少于4顆的情況下,也能在較短的時(shí)間里實(shí)現(xiàn) GPS/INS數(shù)據(jù)融合,因而備受關(guān)注[1]。緊組合中對(duì)速度進(jìn)行校正一般采用多普勒觀(guān)測(cè)值,對(duì)位置進(jìn)行校正可以采用偽距或采用載波相位作為觀(guān)測(cè)量。采用偽距可避免求解模糊度和處理周跳等問(wèn)題,但是由于偽距的觀(guān)測(cè)噪聲較大、殘留誤差大,實(shí)時(shí)導(dǎo)航的精度較低,不能精確校正INS的誤差;采用載波相位作為觀(guān)測(cè)量,導(dǎo)航精度高,但是需要解算模糊度,實(shí)時(shí)導(dǎo)航時(shí)過(guò)程復(fù)雜、模糊度解算可靠性較低,很難滿(mǎn)足連續(xù)、可靠、高精度的導(dǎo)航要求[3]。另外,用載波相位進(jìn)行實(shí)時(shí)導(dǎo)航需要利用參考站進(jìn)行差分解算,從而增加了成本,而且導(dǎo)航精度還受到用戶(hù)與基準(zhǔn)站距離的限制[4]。

將GPS/INS數(shù)據(jù)通過(guò)一定的算法融合形成最優(yōu)解是組合導(dǎo)航的關(guān)鍵。目前 Kalman濾波是最普遍采用的一種方法[5]。為了克服 Kalman濾波次優(yōu)甚至發(fā)散的缺點(diǎn),在載體動(dòng)態(tài)導(dǎo)航中,一般利用自適應(yīng)濾波來(lái)控制動(dòng)態(tài)擾動(dòng)異常、動(dòng)態(tài)模型誤差以及隨機(jī)誤差的影響[6-7]。在GPS/INS組合導(dǎo)航Kalman濾波解算模型中觀(guān)測(cè)往往個(gè)數(shù)小于狀態(tài)參數(shù)個(gè)數(shù),只能利用預(yù)報(bào)殘差來(lái)構(gòu)造自適應(yīng)因子,這就需要觀(guān)測(cè)量可靠、觀(guān)測(cè)精度較高[8]。而且,在利用Kalman濾波對(duì)INS誤差進(jìn)行估計(jì)時(shí)不僅需要可靠的隨機(jī)模型還需要高精度的觀(guān)測(cè)量[9],顯然,偽距觀(guān)測(cè)量一般不能滿(mǎn)足要求。另外,偽距易受到外界影響,觀(guān)測(cè)中難免存在粗差。

基于此,本文提出一種兩步自適應(yīng)抗差 Kalman濾波算法。首先考慮利用高精度的多普勒觀(guān)測(cè)值進(jìn)行一步自適應(yīng) Kalman濾波對(duì)組合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差進(jìn)行校正,然后用校正后的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型信息與低精度的偽距觀(guān)測(cè)量進(jìn)行二步抗差Kalman濾波。

2 GPS/INS緊組合 K alman濾波

在GPS/INS緊組合導(dǎo)航中,系統(tǒng)的狀態(tài)由兩部分組成:一是INS的誤差狀態(tài);二是 GPS的誤差狀態(tài),觀(guān)測(cè)量由INS導(dǎo)航結(jié)果推算的偽距、偽距率與 GPS觀(guān)測(cè)得到的偽距、偽距率作差得到[10-11]。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

系統(tǒng)的觀(guān)測(cè)方程為

式中,FIk,k-1為 INS連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣; GIk為INS系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)噪聲矩陣;WIk為INS系統(tǒng)的過(guò)程白噪聲矢量;FGk,k-1為 GPS連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;GGk為 GPS系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)噪聲矩陣; WGk為 GPS系統(tǒng)的過(guò)程白噪聲矢量;XIk為15維未知參數(shù)向量,表達(dá)式為 XIk=[δx δy δz δ˙x δ˙y δ˙z φxφyφzεxεyεzaxayaz]T;XGk為二維未知參數(shù)向量,表達(dá)式為 XGk= [CδtuCδtru]T;C為光速;Lρk和˙L˙ρk為觀(guān)測(cè)向量; Aρ1、Aρ2、A˙ρ1和A˙ρ2為觀(guān)測(cè)矩陣中的分塊矩陣;n為可測(cè)衛(wèi)星的個(gè)數(shù),表達(dá)式具體意義和定義見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

在這里,為了便于下面的分析,將狀態(tài)參數(shù)的順序重新調(diào)整分為直接可測(cè)參數(shù) X1和間接可測(cè)參數(shù) X2兩個(gè)部分。在偽距、偽距率緊組合Kalman濾波中,X1和 X2分別為

相應(yīng)的狀態(tài)矩陣、觀(guān)測(cè)矩陣以及噪聲矩陣也按照估計(jì)參數(shù)的順序作相應(yīng)調(diào)整,則連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

觀(guān)測(cè)方程為

式中,

對(duì)式(5)離散化,聯(lián)列狀態(tài)方程和觀(guān)測(cè)方程進(jìn)行 Kalman濾波,則導(dǎo)航解為[5,12]

式中,Kk稱(chēng)為Kalman濾波增益矩陣

式中,Ak為觀(guān)測(cè)矩陣;Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

令

則式(7)可寫(xiě)成[9]

由式(8)可得

若觀(guān)測(cè)協(xié)方差陣和狀態(tài)協(xié)方差陣可靠,間接可測(cè)參數(shù)X2的估計(jì)依賴(lài)于直接可測(cè)參數(shù) X1的估計(jì),若 X1的估計(jì)精度較低,就會(huì)影響 X2的估計(jì)精度。在 GPS/INS偽距、偽距率緊組合系統(tǒng)中,因?yàn)閭尉嗟挠^(guān)測(cè)噪聲較大,造成可測(cè)參數(shù) X1中的位置誤差參數(shù)的估計(jì)精度較低,由此得到的間接可測(cè)參數(shù) X2的精度也會(huì)降低,用此估計(jì)值對(duì)INS誤差進(jìn)行校正,必然會(huì)影響INS誤差的校正結(jié)果。

3 兩步自適應(yīng) K alman濾波算法

在 GPS/INS偽距、偽距率緊組合系統(tǒng)中, Doppler觀(guān)測(cè)值具有較高的觀(guān)測(cè)精度,計(jì)算的速度具有厘米級(jí)精度,可以用來(lái)對(duì)濾波間接可測(cè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。設(shè)計(jì)的方案是采用兩步 Kalman濾波。在第一步 Kalman濾波中,利用高精度的速度參數(shù)對(duì)INS誤差估計(jì)并進(jìn)行修正;為避免誤差累積,第二步Kalman濾波中,利用偽距觀(guān)測(cè)量對(duì)INS一步修正后的位置誤差再進(jìn)行修正。

3.1 基于Doppler觀(guān)測(cè)值的一步自適應(yīng) K alman濾波

在第一步 Kalman濾波中,觀(guān)測(cè)量?jī)H用Dopplor觀(guān)測(cè)值,因此直接可測(cè)參數(shù) X1和間接可測(cè)參數(shù)X2為

狀態(tài)方程參照式(1)按照參數(shù)的順序作相應(yīng)調(diào)整,這里狀態(tài)方程中的元素并未變化,只是位置發(fā)生變化。

觀(guān)測(cè)方程為

為控制擾動(dòng)異常的影響,引入自適應(yīng)濾波[5-7]。自適應(yīng)濾波解為

式中,αk為自適應(yīng)因子。

因?yàn)橛^(guān)測(cè)個(gè)數(shù)小于狀態(tài)參數(shù)的個(gè)數(shù),基于預(yù)報(bào)殘差ˉVk構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量為[8]

自適應(yīng)因子αk為

式中,c為常量,可以取c=0.85～1.0。

因?yàn)橹苯涌蓽y(cè)參數(shù) X1的估計(jì)精度較高,可以用間接可測(cè)參數(shù)的濾波估計(jì)值對(duì)INS系統(tǒng)誤差進(jìn)行校正。

一般地,在偽距、偽距率緊組合中是利用上面的Kalman濾波得到的誤差改正量直接對(duì)INS推算得到的位置和速度進(jìn)行修正,即

但是,在基于Doppler觀(guān)測(cè)值的一步自適應(yīng)Kalman濾波中,由觀(guān)測(cè)方程式(13)可知,只有速度是直接可測(cè)參數(shù),其他都是間接可測(cè)參數(shù)。用這樣的結(jié)果對(duì)位置進(jìn)行修正,必然還會(huì)存在一定的偏差。考慮在短時(shí)間內(nèi)速度變化較小,可以用經(jīng)過(guò)正確修正的速度,重新對(duì)位置進(jìn)行推算,即

式中,dt為修正的時(shí)間間隔。

3.2 基于偽距觀(guān)測(cè)值的二步抗差 K alman濾波

在第二步 Kalman濾波中,為避免推算的誤差累積,再采用偽距觀(guān)測(cè)值進(jìn)行 Kalman濾波,因此直接可測(cè)參數(shù)X1和間接可測(cè)參數(shù)X2為

與式(12)中的狀態(tài)方程類(lèi)似,其元素按照參數(shù)的順序作相應(yīng)調(diào)整。

觀(guān)測(cè)方程為

這里因?yàn)橛^(guān)測(cè)量精度較低,而由速度推算的位置短時(shí)間內(nèi)精度較高,以推算速度作為參考,為抵制偽距觀(guān)測(cè)粗差的影響,利用抗差等價(jià)權(quán)來(lái)控制觀(guān)測(cè)異常的影響[15]。等價(jià)權(quán)函數(shù)為[16]

式中,Δ?vk,i為第 i個(gè)偽距觀(guān)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測(cè)殘差。

需要指出的是,上面是為了方便分析將狀態(tài)參數(shù)調(diào)整順序,在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中,參數(shù)的順序無(wú)需調(diào)整。

通過(guò)對(duì)緊組合Kalman濾波與兩步自適應(yīng)抗差Kalman濾波比較,可知:

1.在緊組合 Kalman濾波中采用的是 INS推算的位置和速度與 GPS觀(guān)測(cè)量進(jìn)行濾波。在兩步自適應(yīng)抗差 Kalman濾波的一步濾波中,采用的是INS推算的速度與 GPS Doppler值進(jìn)行濾波,而在二步濾波中,采用的是經(jīng)過(guò)一步濾波修正后的位置與 GPS偽距進(jìn)行濾波。這對(duì)于精度較高或者組合周期較短的組合導(dǎo)航系統(tǒng)其差別不明顯,但是對(duì)于精度較低、組合周期較長(zhǎng)的組合導(dǎo)航系統(tǒng)其改善效果明顯,因?yàn)镮NS的精度越低、單獨(dú)導(dǎo)航時(shí)間越長(zhǎng)累積的誤差就越大。

2.在緊組合 Kalman濾波中,直接可測(cè)參數(shù)是位置和速度,由于位置的估計(jì)精度較低,將直接影響間接可測(cè)參數(shù)姿態(tài)角誤差、陀螺儀和加速度計(jì)誤差的估計(jì);在分步自適應(yīng) Kalman濾波中,直接可測(cè)參數(shù)是精度較高的速度參數(shù),因此提高了間接可測(cè)參數(shù)姿態(tài)角誤差、陀螺儀和加速度計(jì)誤差的估計(jì)精度。

3.在分步自適應(yīng) Kalman濾波中,通過(guò)一步自適應(yīng)因子的調(diào)節(jié)可以控制狀態(tài)模型誤差的影響,通過(guò)二步等價(jià)權(quán)函數(shù)抵制觀(guān)測(cè)粗差的影響。

4 計(jì)算與分析

取一組 GPS/INS車(chē)載導(dǎo)航數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)。INS配備戰(zhàn)術(shù)級(jí)慣性元件,測(cè)量精度較高,采樣頻率為100 Hz,GPS數(shù)據(jù)采樣頻率10 Hz。算例中,下列參數(shù)由經(jīng)驗(yàn)確定:陀螺儀和加速度計(jì)誤差相關(guān)時(shí)間分別為600 s,600 s;陀螺儀和加速度計(jì)初始均方差分別取10.0 deg/h和100μg;初始位置誤差為5 m,5 m,7 m;初始速度誤差為0.1 m/s;初始平臺(tái)失準(zhǔn)角誤差分別為100.0 s,100.0 s和500.0 s;采用GPS偽距和多普勒觀(guān)測(cè)值進(jìn)行緊組合導(dǎo)航解算時(shí),初始方差取25 m2和0.01 m2/s2。圖1給出了行車(chē)軌跡。

圖1 行車(chē)軌跡Fig.1 Tracking figure

采用兩種方案進(jìn)行組合導(dǎo)航:

方案1:偽距、偽距率緊組合Kalman濾波;

方案2:分步自適應(yīng)Kalman濾波。

為了驗(yàn)證分步自適應(yīng) Kalman濾波的性能,對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,分為四種情形:

1.原始數(shù)據(jù),組合周期0.1 s;

2.為驗(yàn)證自適應(yīng)濾波的效果,在軌跡圖中標(biāo)注處6個(gè)歷元(每個(gè)標(biāo)注兩個(gè)比較接近的歷元), GPS 2,10號(hào)衛(wèi)星偽距觀(guān)測(cè)值中加入30 m,20 m粗差,在載體速度預(yù)測(cè)向量中隨機(jī)加入10 m,5 m擾動(dòng),組合周期0.1 s;

3.為驗(yàn)證組合周期對(duì)兩種濾波算法的影響,采用原始數(shù)據(jù)導(dǎo)航,組合周期1.0 s;

4.為驗(yàn)證INS觀(guān)測(cè)精度對(duì)兩種算法的影響,在INS原始數(shù)據(jù)中加入白噪聲誤差,陀螺儀誤差為(0,0.1°/s),加速度計(jì)誤差為(0,0.000 01 m/s2),組合周期為1.0 s。

兩種算法在四種情形下導(dǎo)航誤差見(jiàn)圖2～圖5,由于 X,Y,Z方向的誤差相似,在此只給出X方向的誤差圖。圖6和圖7給出了情形4下兩種方案航向角與參考值的比較。表1給出了兩種算法在四種情形下導(dǎo)航誤差的RMS比較。

圖2 情形1X方向誤差Fig.2 Xerrors of case 1

圖3 情形2X方向誤差Fig.3 Xerrors of case 2

圖4 情形3X方向誤差Fig.4 Xerrors of case 3

圖5 情形4X方向誤差Fig.5 Xerrors of case 4

圖6 情形4方案1航向角與參考值比較Fig.6 Comparison of yaw angle with reference by Scheme 1 of case 4

圖7 情形4方案2航向角與參考值比較Fig.7 Comparison of yaw angle with reference by scheme 2 of case 4

分析上面的結(jié)果,可以得出:

1.在組合周期較短、INS慣性元件誤差較小的情形下,偽距、偽距率緊組合 Kalman濾波與兩步自適應(yīng)抗差 Kalman濾波的導(dǎo)航精度相當(dāng)。

2.從情形2的算例可以看出,當(dāng)狀態(tài)向量存在擾動(dòng)時(shí),兩步自適應(yīng)抗差 Kalman濾波通過(guò)一步自適應(yīng)因子控制了擾動(dòng)異常的影響;當(dāng)偽距觀(guān)測(cè)中存在觀(guān)測(cè)粗差時(shí),通過(guò)二步濾波中的等價(jià)權(quán)函數(shù)抵制了觀(guān)測(cè)異常的影響,相比于緊組合Kalman濾波,提高了系統(tǒng)抵制狀態(tài)異常和粗差的能力。

表1 四種情形下兩種方案的Mean Error比較Tab.1 Mean Error by two schemes of four cases

3.在組合周期較長(zhǎng)或者慣性元件誤差較大的情形下,兩步自適應(yīng)抗差 Kalman濾波的導(dǎo)航精度要優(yōu)于緊組合 Kalman濾波,這是因?yàn)榉植阶赃m應(yīng)濾波采用的是經(jīng)過(guò)一步濾波修正后的位置與GPS偽距進(jìn)行濾波的結(jié)果;對(duì)比情形3和情形4還可以看出,慣性元件誤差對(duì)緊組合Kalman濾波的影響更大,組合周期的影響稍小。

4.當(dāng)慣性元件誤差較大時(shí),在緊組合Kalman濾波中,由于偽距觀(guān)測(cè)誤差較大,造成間接可測(cè)參數(shù)估計(jì)誤差較大,慣性元件誤差被錯(cuò)誤修正,因此航向角誤差較大;在兩步自適應(yīng)抗差Kalman濾波中,由于采用高精度的Doppler觀(guān)測(cè)值作為觀(guān)測(cè)量,提高了間接可測(cè)參數(shù)估計(jì)精度,誤差得到很好的修正,航向角保持較高的精度。俯仰角和橫滾角也具有相同的情形。需要說(shuō)明的是,間接可測(cè)參數(shù)得到很好估計(jì)不僅需要較高精度的直接可測(cè)參數(shù),還需要可靠的誤差隨機(jī)模型,兩者缺一不可。

5 結(jié) 論

綜上所述,在采用偽距、偽距率緊組合 Kalman濾波時(shí),由于直接采用INS推算的位置和速度與GPS觀(guān)測(cè)組合,導(dǎo)航精度隨著組合周期的增長(zhǎng)、慣性元件誤差的增大而降低;并且由于 GPS位置觀(guān)測(cè)精度較低,造成INS慣性元件誤差估計(jì)精度較低,INS誤差錯(cuò)誤修正,姿態(tài)角誤差偏大;在兩步自適應(yīng)抗差 Kalman濾波中,由于一步濾波中利用了高精度的速度信息,導(dǎo)航精度受組合周期的長(zhǎng)短、慣性元件誤差的大小影響較小;而且在一步濾波中利用高精度的速度參數(shù)作為直接可測(cè)參數(shù),INS誤差得到很好的修正。另外,由于在兩步自適應(yīng)抗差Kalman濾波中采用自適應(yīng)因子和等價(jià)權(quán)函數(shù),既能控制擾動(dòng)異常的影響也能抵制觀(guān)測(cè)異常的影響。因此當(dāng)GPS觀(guān)測(cè)可用時(shí),與偽距、偽距率緊組合Kalman濾波相比,采用兩步自適應(yīng)抗差Kalman濾波具有一定的優(yōu)勢(shì)。

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(責(zé)任編輯:叢樹(shù)平)

A New Two-Step Adaptive Robust Kalman Filtering in GPS/INS Integrated Navigation System

WU Fumei1,2,Y ANG Yuanxi2
1.Institute of Surveying and Mapping,Information Engineering University,Zhengzhou 450052,China;2.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China

In tight integrated navigation based on pseudorange and doppler observation,the precision is poor and the modification of the attitude errors is not accurate for poor observation precision of pseudorange.So a two-step adaptive robust Kalman filtering based on the observability of the parameters is presented.First the process of the tight integration is given and then the formulas and the approaches of the new method are deduced and analyzed. Finally an actual calculation is given.It is shown that compared with tight integration,the two-step adaptive robust Kalman filtering can control the disturbances of the state and the outliers of the observation.And the navigation precision does not decrease while the integration period becomes longer and the INS errors become bigger.The INS errors can be rightly estimated and the precision of attitude angles is improved.

two-step adaptive robust Kalman filtering;GPS/INS integrated navigation;tight integrated navigation; adaptive factor

WU Fumei(1981—),female,PhD candidate,majors in kinematic geodetic data processing.

E-mail:wfm8431812@163.com

1001-1595(2010)05-0522-06

P228

A

國(guó)家自然科學(xué)基金(40774001,40841021,40604003);國(guó)家863計(jì)劃(2007AA12Z331);衛(wèi)星導(dǎo)航與定位教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(B類(lèi))開(kāi)放基金

2009-07-20

2009-08-31

吳富梅(1981—),女,博士生,主要從事動(dòng)態(tài)大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理。