任歡

（安陽工學(xué)院 數(shù)理系，河南 安陽 455000）

非單調(diào)信息下的隨機微分效用

任歡

（安陽工學(xué)院 數(shù)理系，河南 安陽 455000）

本文通過倒向重隨機微分方程引入了一類非單調(diào)信息下的隨機微分效用，討論其解的唯一性及連續(xù)性，關(guān)于終值的單調(diào)性以及關(guān)于消費的單調(diào)性.

倒向重隨機微分方程；隨機微分效用；效用函數(shù)；解的存在唯一性；比較定理

1992年，D u f f i e和E p s t e i n[1]定義了消費過程C的效用過程為一半鞅（V t)0≤t≤T，滿足I t o贊型隨機微分方程Vs)ds|Ft]，或?qū)懗傻瓜螂S機微分方程（簡稱B S D E）的形式:，其中F由布朗運動生成，是一個經(jīng)典的信息流.1994年，P a r d o u x和P e n g[2]提出一類新型的B S D E——倒向重隨機微分方程（簡稱B D S D E s）:

這里關(guān)于{Bt}的積分是倒向I t o贊積分，關(guān)于{Wt}的積分是標(biāo)準(zhǔn)正向I t o贊積分，這兩種積分是I t o贊-S k o r o h o d積分的特殊類型（見文獻[3]），其中{Ft:0≤t≤T}既非單調(diào)增也非單調(diào)減，因而不構(gòu)成一個信息流.本文受到以上文獻的啟發(fā)，引入了非單調(diào)信息下的隨機微分效用.

1 預(yù)備知識

對任意的向量x∈Rk和A∈Rd×k，記其歐幾里德范數(shù)分別為|x|和||A||:=T r A A*姨 ，其中A*表示A的轉(zhuǎn)置.

給定概率空間(Ω,F,P)，T≥0為一固定時間常數(shù).{Wt;0≤t≤T}和{Bt;0≤t≤T}是定義于(Ω,F,P)上的兩個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，分別取值于Rd和Rt.令N表示F中P-零集構(gòu)成的集合.對于每一個t∈[0,T]，定義F t:=Fwt∨FBt,T，對任意的隨機過程{ηt}，F(xiàn)ηs,t=σ{ηr-ηs;s≤r≤t}∨N，F(xiàn)η

t=Fη

0,t.顯然{Ft;0≤t≤T}既非單調(diào)增也非單調(diào)減，因而不構(gòu)成一個信息流.

對于任意的自然數(shù)n∈N，記M2{0,T;Rn)={φ:φt為n維聯(lián)合可測(d P茚d t)的隨機過程，且對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-可測}.

令f:Ω×[0,T]×Rk×Rk×d→Rk,g:Ω×[0,T]×Rk×Rk×d→Rk×l均聯(lián)合可測，假設(shè)：

（H 1）f(·,y,z)∈M2(0,T;Rk)，f(·,y,z)∈M2(0,T;Rk×l)；

（H 2）對任意的(ω，t)∈Ω×[0,T]，(y1,z1),(y2,z2)∈Rk×Rk×d,堝K>0,0<α<1，有，對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-可測}，S2([0,T];Rn)={φ:φt為n維連續(xù)隨機過程，且引理1.1[2]令α∈S2([0,T];Rk),β∈M2(0,T;Rk)，γ∈M2(0,T;Rk×l), δ∈M2(0,T;Rk×d)滿足：

則

引理1.2[2]給定ξ∈L2(Ω,FT,P;Rk)(，假定f,g滿足條件（H 1）（H 2），則存在唯一一對過程(Y,Z)∈S2([0,T];Rk×M2(0,T; Rk×d)為方程（1.1）的解.

引理1.3[4]（比較定理）假設(shè)f1,f2和g滿足（H 1）（H 2），若k=1時，有ξ1≥ξ2，a.s.，f1(t,y,z)≥f2(t,y,z)，a.s.,坌(t,y,z)∈[0,T] ×R×Rd，則坌t∈[0,T]，Y1t≥Y2t，a.s.，其中(Y1,Z1)和(Y2,Z2)分別為下列B D S D E s方程的解：

2 定義

下面給出本文采用的符號.

記L2F{(Ω,FT,P;Rn)={ξ:ξ為FT-循序可測的n維隨機變量，且E|ξ|2<∞}，M2F(0,T;Rn)={φ:φt為n維聯(lián)合可測(d P茚d t)的隨機過程，且，對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-循序可測}([0,T];Rn)={φ:φt為n維連續(xù)隨機過程，且E，其中|C|表示某一消費過程C∈C的范數(shù).

假設(shè)F:Ω×[0,T]×R×R×Rd→R，G:Ω×[0,T]×R×Rd→Rl是聯(lián)合可測的，且滿足：

（H 3）F(·,Cl,V,Z)∈M2F(t,O,T,R)，G（·，V，Z）∈M2F(O,T;Rl)，對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-循序可測}.

消費過程C={Ct}取值于某個可分B a n a c h格中的閉凸子集C.消費過程集合D為C值平方可積循序過程全體，記C在D中的范數(shù)為（H 4）對任意的(ω,t)∈Ω×[0,T]，(V1,Z1),(V2,Z2)∈R×Rd，存在常數(shù)K>0,0<α<1，有

（H 5）F關(guān)于消費C滿足線性增長條件：對任意的C∈R，存在常數(shù)K1,K2>0，使得

定義2.1給定ξ∈L2F(Ω,FT,P;R)及消費過程C∈D，假設(shè)F和G滿足條件（H 3）-（H 5），若存在(V,Z)∈S2F([0,T];T)× M2F(0,T;Rd),a.s.滿足：

則稱(Vt)為消費過程C的遞歸效用過程；稱V0為消費過程C的遞歸效用.

若映射U:D→R，使得U(C)=V0，則稱U為遞歸效用函數(shù).

3 定理及性質(zhì)

定理3.1（解得存在唯一性）給定ξ∈L2F(Ω,FT,P;R)及消費過程C∈D，假定F,G滿足條件(H 3)-(H 5)，則方程（1.2）存在唯一的解(V,Z)∈S2F([0,T];R)×M2F(0,T;Rd).

證明 參照引理1.2的證明即可得出結(jié)論.

定理3.2（比較定理）假設(shè)F,G滿足(H 3)-(H 5)，設(shè)(Vt,Zt)是方程（1.2）的解，(V,Z)滿足

證明令f1(t,Vt,Zt)=F(t,Ct,Vt,Zt)，f2(t,Vt,Zt)=F(t,Ct,Vt,Zt)，則

由定理條件知，ξ≥ξ，f1(t,Vt,Zt)≥f2(t,Vt,Zt)，利用引理1.3可得：

性質(zhì)3.3（連續(xù)性）若F是連續(xù)函數(shù)，則效用函數(shù)U:D→R是連續(xù)的.

證明 設(shè)消費過程列{Cn}在D中收斂到C，即E

記{Cn},C對應(yīng)的效用過程分別為Vn=VCn,V=VC.對任意t∈[0,T]，有

因為2 E

由G r o n m a l l—B e l l m a n不等式得：坌t∈[0,T].特別當(dāng)t=0時，有

性質(zhì)3.4（關(guān)于終值的單調(diào)性）若ξ1,ξ2∈L2F(Ω,FT,P;R)且

證明 由定理3.2可直接得結(jié)論.

性質(zhì)3.5（關(guān)于消費的單調(diào)性）若F為消費過程C的遞增函數(shù)，則U為C的遞增函數(shù)；若F為消費過程C的嚴(yán)格遞增函數(shù)，則U為C的嚴(yán)格遞增函數(shù).

〔1〕DuffieD，Epstein L G.Stochasticdifferentialutility[J].Econometrica，1992，60(2)：353-394.

〔2〕Pardoux E，Peng S.Backward doubly stochastic differential equations and systems of quasilinear parabolic SPDE’s[J].Probab Theory Related Fields，1994，98(2)：209-227.

〔3〕Nualart D，Pardoux E.Stochastic calculus with anticipating intergrands[J].Probab Theory Related Fields，1988，78(4)：535-581.

〔4〕Shi Y，Gu Y，Liu K.Comparison theorem of backward doubly stochastic differential equations and applications[J].Stochastic Analysis and Applications，2005，23(1)：1-14.

〔5〕周少甫，王湘君.非-Lipschitz條件下隨機微分效用[J].華中科技大學(xué)學(xué)報，1999，27(11)：101-103.

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