劉國(guó)祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

求偏導(dǎo)數(shù)的一種方法

劉國(guó)祥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，由于變?cè)?，往往?jì)算量大.在求一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把部分變?cè)闹迪却?，再?jì)算偏導(dǎo)數(shù)，可以減少運(yùn)算量.

多元函數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)；高階偏導(dǎo)數(shù)；混合偏導(dǎo)數(shù)

計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，由于變?cè)啵?jì)算量比較大.在求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般的計(jì)算方法是，先求出偏導(dǎo)函數(shù)，再代入這一點(diǎn)的值而得到這一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù).我們發(fā)現(xiàn)，把部分變?cè)闹迪却牒瘮?shù)中，減少變?cè)臄?shù)量，再計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，可以減少運(yùn)算量.

1 計(jì)算方法

例1 設(shè)f(x,y)=x2+(x-2)(y-1)arcsin，求和

一般的方法是，先求出偏導(dǎo)函數(shù)

再代入偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(2,1)的值

可以明顯地看出第一式中的第二、第三項(xiàng)和第二式中的兩項(xiàng)在點(diǎn)(2,1)的值都是0.

這種求偏導(dǎo)數(shù)的方法，過(guò)程的確很復(fù)雜.

現(xiàn)在給出一種比較簡(jiǎn)單的算法：

結(jié)果與通常的算法一樣，但運(yùn)算量大大減少了.

這種運(yùn)算方法是：

2 計(jì)算方法的理論依據(jù)

上述算法能夠減少運(yùn)算量的作用是明顯的，但可行性的理論依據(jù)是什么呢？這不難，從偏導(dǎo)數(shù)的定義就可以充分說(shuō)明.以二元函數(shù)為例.

設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，若一元函數(shù)f(x,y0)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)存在，則稱它為z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)[1].

這個(gè)定義是以一元與多元函數(shù)的聯(lián)系為主線進(jìn)行的.先代入y=y0的值，成為一元函數(shù)再求導(dǎo)數(shù).

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0.而x在x0處有增量△x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f (x0+△x,y0)-f(x0,y0)，如果存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)[2].這個(gè)定義與上定義是等價(jià)的，其出發(fā)點(diǎn)是從極限入手，更突出地強(qiáng)調(diào)“y固定在y0”這兩個(gè)定義都說(shuō)明求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，可以先把y=y0代入.同理求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，可以先把x=x0代入.

3 在高階偏導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

對(duì)于高階偏導(dǎo)數(shù)，特別是混合高階偏導(dǎo)數(shù)，由于變?cè)啵髮?dǎo)階數(shù)高，如果函數(shù)復(fù)雜，運(yùn)算量會(huì)更大.應(yīng)用上述方法，可以部分地減少運(yùn)算量.

（一定相等），可以選擇求導(dǎo)數(shù)的次序，以減少運(yùn)算量.

如果換一種順序，可以

〔1〕范培華，李正元，李永樂(lè).考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書.國(guó)家行政學(xué)院出版社，2006.

〔2〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）.高等教育出版社，1996.

O172.2

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