楊靜宇

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

復(fù)變函數(shù)積分中值定理

楊靜宇

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

文獻(xiàn)[2]討論了積分路徑為直線段的復(fù)積分中值定理，本文則在此基礎(chǔ)上運(yùn)用復(fù)積分的相關(guān)知識(shí)討論了積分路徑為光滑曲線的復(fù)積分的積分中值定理.

復(fù)積分；解析函數(shù)；積分中值定理；直線段；光滑曲線段

1 引言

積分中值定理是微積分中的重要定理，在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用.數(shù)學(xué)分析中的許多命題及不等式的證明都是藉借這兩個(gè)定理.

定理1[1]如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得:

但也有反例表明定理1中的積分中值定理不能直接推廣到復(fù)積分中.

例1 連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)任意一點(diǎn)都不為零，則有.取f(z)=eiz，故f(z)在[0,2π]上任意一點(diǎn)都不為零，且連續(xù)，但有，但

例2對(duì)任何θ∈[0,2π]，總有

文獻(xiàn)[2]在此基礎(chǔ)上給出了積分路徑為直線段的復(fù)積分的中值定理.

定理2[2]設(shè)復(fù)數(shù)a,b(a≠b),函數(shù)f(z)沿[a,b]連續(xù),則存在ξ,η∈[a,b]使

本文則在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上討論了積分路徑為光滑曲線的復(fù)變函數(shù)的積分的中值定理.

2 主要結(jié)論

引理1 設(shè)c:z=z(t)(a≤t≤b)為區(qū)域D內(nèi)的光滑曲線,f(z)是區(qū)域D內(nèi)單葉函數(shù),ω=f(z)將曲線c映射成曲線Γ,則Γ是光滑曲線.

據(jù)權(quán)威數(shù)據(jù)分析，鐵路建設(shè)每投資1億元，可帶動(dòng)GDP1.79億元，其中40%直接通過材料費(fèi)、人工費(fèi)、人員消費(fèi)等方式留在當(dāng)?shù)亍?/p>

證明 因c:z=z(t)(a≤t≤b)為區(qū)域D內(nèi)的光滑曲線，由光滑曲線的定義有

（1）c為若爾當(dāng)曲線，即t1≠t2時(shí)z(t1)≠z(t2)；（2）z'(t)≠0且連續(xù)于[a,b]

在ω=f(z)的變換下，c的象曲線Γ的參數(shù)方程為

要證Γ為光滑曲線，只須驗(yàn)證ω=ω(t)滿足上述兩個(gè)條件即可.

（1）當(dāng)t1≠t2時(shí)，由c為若爾當(dāng)曲線，有z(t1)≠z (t2),又f(z)為單葉函數(shù)，所以當(dāng)z1≠z2時(shí)，f(z1)≠f(z2)，從而，當(dāng)t1≠t2時(shí)，有ω(t1)≠ω(t2).

（2）z'(t)≠0且連續(xù)于[a,b]又因?yàn)閒(z)是D內(nèi)單葉函數(shù)，所以f'(z)≠0，且由解析函數(shù)的無窮可微性知f"(z)在D內(nèi)存在，因此f'(z)在D內(nèi)連續(xù)，又由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得ω'(t)=f'(z)z'(t)≠0，且連續(xù)于[a,b]從而Γ為光滑曲線.

定理3 設(shè)c:z=z(t)是區(qū)域D內(nèi)以α為起點(diǎn)β為終點(diǎn)的直線段，φ（z）是區(qū)域D內(nèi)單葉函數(shù)，且ω=φ（z）將c映成曲線Γ，如果函數(shù)f(ω)沿曲線Γ連續(xù)，那么一定存在著z1,z2∈c，使得

由于c:z=z(t)是以α為起點(diǎn)β為終點(diǎn)的直線段,從而直線段c的參數(shù)方程為

則

由ω=φ(z)有,

由于

Ref(覬(α+(β-α)t)覬'(α+(β-α)t)和Imf(覬(α+(β-α)t))覬' (α+(β-α)t)都滿足數(shù)學(xué)分析中積分中值定理的條件，所以一定存在著t1,t2∈(0,1)使得

因此有

即

令z1=α+(β-α)t1，z2=α+(β-α)t2

則

結(jié)論成立，證畢.

3 總結(jié)

當(dāng)ω=覬(z)=z時(shí)本文所證定理3就是定理2的情況，也就是本文所證定理3是文獻(xiàn)[2]中定理的推廣.因此本文成功得將復(fù)變函數(shù)在直線段上的積分中值定理擴(kuò)展到復(fù)變函數(shù)在光滑曲線上的積分中值定理.

〔1〕華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，1991：154-295.

〔2〕曾韌英.關(guān)于復(fù)變函數(shù)的中值定理[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，15（15）：46-47.

〔3〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].高等教育出版社，1988：55-98.

O174.5

A

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