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        推廣的(G'/G)展開法求解非線性方程

        2010-09-01 00:16:42韓冰冰
        關(guān)鍵詞:代數(shù)方程孤子雙曲

        韓冰冰

        (遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

        推廣的(G'/G)展開法求解非線性方程

        韓冰冰

        (遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

        本文用推廣的(G'/G)展開法求解高維非線性方程,得出其多種形式精確解,分別以含參數(shù)的雙曲函數(shù)、三角函數(shù)及有理函數(shù)表示.

        推廣的(G'/G)展開法;齊次平衡原則;(2+1)維破裂孤立子方程;精確解

        1 引言

        近些年來,構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解是孤立子理論的重要研究課題之一。目前,對于非線性發(fā)展方程,已提出了構(gòu)造精確解的許多方法。如齊次平衡法[1],Hirota雙線性方法[2],反散射法[3],tanh方法[4]等等。在本文中,我們用推廣的(G’/G)展開法求解(2+1)維破裂孤立子方程

        不僅得到了文獻(xiàn)[5]中已經(jīng)得到的某些結(jié)果,而且得到了文獻(xiàn)[6]中用新近發(fā)明的(G’/G)方法沒有求得的新解.表明推廣的(G’/G)展開法有更好的適用性.

        2 (G’/G)方法與推廣的(G’/G)展開法

        根據(jù)文獻(xiàn)[7]提出的(G’/G)方法,給定非線性發(fā)展方程

        推廣的(G’/G)展開法拓展了解的形式,設(shè)解可以表示成

        將(7)式代入(4),可得到關(guān)于ai(i=0,1,…N),bi(i=1,…N), δ,λ的代數(shù)方程組,求解代數(shù)方程組代入(6)得到方程(2)的多個精確解.

        3 (2+1)維破裂孤立子方程的新解

        對方程組(1)作行波變換u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+y+δt,可化為如下ODE

        代入(8)式第一式,令積分常數(shù)為零,得

        平衡最高階導(dǎo)數(shù)項u"與最高次項u2,可確定N=2.

        因而方程(10)的解的形式為

        由(11)式和(6)式可以得到

        將(11),(12),(13)式代入(10)式,可得關(guān)于a0,a1,a2,b1,b2,δ,λ的代數(shù)方程組

        以上代數(shù)方程組有解

        將以上結(jié)果代入(11)式,可得方程的三種類型的顯式解.

        情形一 當(dāng)λ<0,bδ>0時,對應(yīng)解組[1],[2],[3],有雙曲函數(shù)解:

        其中ξ=x+y-16bλt.

        其中ξ=x+y-4bλt.

        其中ξ=x+y-4bλt.

        情形二 λ>0,bδ>0時,對應(yīng)解組[1],[2],[3],有三角函數(shù)通解:

        其中ξ=x+y+16bλt.

        其中ξ=x+y+4bλt.

        其中ξ=x+y+4bλt.

        情形三 λ=0時,有有理函數(shù)通解:

        若令C1=0,C2≠0,則(14),(15),(16)式可約化為

        4 小結(jié)

        本文用推廣的(G’/G)展開法,求出了高維方程多種形式解,獲得了含參數(shù)的雙曲函數(shù)解,三角函數(shù)解和有理數(shù)解,得出了一些新解.可見,這種拓展的方法是一種求某些非線性發(fā)展方程的有效方法之一.

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        〔4〕Wazwaz AM,Multiple-soliton solutions for the Boussinesq equation.ApplMath Comput2007;192(2): 479-86.

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        O241.7

        A

        1673-260X(2010)05-0001-02

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