陳行堤

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

調(diào)和擬共形映照雙曲雅可比的偏差性質(zhì)

陳行堤

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

研究?jī)深愓{(diào)和擬共形映照雙曲雅可比和雙曲面積的偏差性質(zhì)，給出上半平面到自身上的歐氏調(diào)和擬共形映照雙曲雅可比的精確界限，以及達(dá)到極值的函數(shù).研究雙曲調(diào)和擬共形映照雙曲雅可比的偏差估計(jì)，并應(yīng)用于兩類調(diào)和擬共形映照雙曲面積的偏差估計(jì).結(jié)果表明，這兩類調(diào)和擬共形照是非爆破的.

調(diào)和映照；擬共形映照；雙曲雅可比；雙曲面積

1 基本概念

一個(gè)上半平面H到自身上的C2同胚映照f(shuō)，被稱為ρ-調(diào)和映照.若它滿足Euler-Lagrange方程，即

式（1）中：ρ是一個(gè)H上的C2正值函數(shù)；w=f（z）.一個(gè)H到自身上的保向同胚映照f(shuō)，被稱為K-擬共形映照.它滿足：（1）f在H上是ACL的；（2）對(duì)幾乎所有的z∈H，滿足Beltrami方程.即

一個(gè)局部單葉解析函數(shù)的歐氏雅可比總是正的［1］.Lewy［2］證明了對(duì)于一個(gè)局部單葉的保向歐氏調(diào)和映照.這個(gè)結(jié)論是正確的，但對(duì)一個(gè)擬共形映照就未必成立.如取f=z|z|4，則f是單位圓盤到自身上的擬共形映照，其歐氏雅可比在0點(diǎn)處為零.Partyka等［3］研究了在歐氏度量意義下，歐氏調(diào)和K-擬共形映照能量密度的偏差性質(zhì)，結(jié)果隱含著如下定理.

定理1給定K≥1，如果f是單位圓盤D到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照，且滿足f（0）=0，那么有

其中：LK關(guān)于K≥1是嚴(yán)格遞減函數(shù)，且滿足

研究了上半平面到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照類，證明了其雙曲雅可比的精確的上界和下界分別為K和1/K；證明上半平面到自身上的雙曲調(diào)和K-擬共形映照類；證明其雙曲雅可比的上界和下界估計(jì)分別為（K+1）2/4，4K/（K+1）2.容易看出，當(dāng)K＞1時(shí)，有（K+1）2/4K＜K，4K/（K+1）2＞1/K.

在歐氏度量意義下，Astala［4］和Chen等［5］給出了擬共形映照的面積偏差的精確估計(jì).在雙曲度量意義下，Kelingos［6］首先研究了有界可測(cè)子集的情形.Porter等［7］構(gòu)造例子，用于說(shuō)明存在擬共形映照，使得雙曲面積有限的可測(cè)子集在其映照下的像具有無(wú)限的雙曲面積.因此，對(duì)一般可測(cè)子集的雙曲面積的研究，由于存在爆破現(xiàn)象而比較復(fù)雜.目前，對(duì)非爆破的擬共形映照類的已有相關(guān)的研究結(jié)果［7-10］.

2 主要結(jié)果及其證明

記上半平面H的雙曲度量為λH（z）|dz|2，則在Gauss曲率標(biāo)準(zhǔn)化為-1的條件下，有

為了方便，記AK（z）=（c/K）x+icy+b，BK（z）=c Kx+icy+b.其中：b，c是兩個(gè)實(shí)常數(shù)，且c＞0.

引理1［11］如果f=u+iv為一個(gè)上半平面H到自身上的歐氏調(diào)和擬共形映照，并且滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件f（∞）=∞.那么，v=cy，c是一個(gè)正常數(shù).

利用上述的引理1，有

定理2 如果f是一個(gè)上半平面H到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照，那么，不等式

對(duì)每個(gè)z∈H成立.當(dāng)且僅當(dāng)f=AK°L，左邊等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)f=BK°L，右邊等號(hào)成立.這里，L是一個(gè)H到自身上滿足L-1（∞）=f-1（∞）的共形映照.

證明 假設(shè)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是一個(gè)上半平面H到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照，且滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件f（∞）=-∞，z=x+iy.由引理1可知，存在一個(gè)正常數(shù)c，使得f（z）=u（x，y）+icy，從而有

因?yàn)閒是K-擬共形的，所以由式（5），（6）可得

經(jīng)整理，可得

它隱含著

根據(jù)式（3）和Imf=cy，有

由式（7），（8），（9）可得

假設(shè)左邊不等式的等號(hào)成立，則有ux=c/K.因此，存在著一個(gè)函數(shù)φ（y），滿足u（x，y）=（c/K）x+φ（y）.由于f是H上的歐氏調(diào)和映照，可知

在H上是解析的.因此，φ′（y）是一個(gè)實(shí)常數(shù)，記其為d.由式（5），（6）有

上面等式只有在d=0的情形下成立，從而φ（y）是一個(gè)實(shí)常數(shù)，記為b.當(dāng)f滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件f（∞）=∞時(shí)，不等式（4）的左邊等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)f=AK時(shí)成立.同理可證明，當(dāng)f滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件f（∞）=∞時(shí)，不等式（4）的右邊等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)f=BK時(shí)成立.

如果f（∞）≠∞，則存在實(shí)軸上的一點(diǎn)a，滿足f（a）=∞，讓L為一個(gè)H到自身上滿足L（a）=∞的共形映照.

令g=f°L-1，則g是一個(gè)H到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照且滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件g（∞）=∞.從而有

1/K≤（λH（w）/λH（ζ））Jg≤K.

上式中：w=f（z）；ζ=L（z）.由于L是一個(gè)H到自身上的共形映照，所以有

λH（L（z））|L′（z）|2=λH（z）.

根據(jù)Jg=Lf°L-1|（L-1）′（ζ）|2，有

因此，有

左邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)f=AK°L成立，而右邊的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)f=BK°L成立.定理2證畢.

推論1 若f是一個(gè)上半平面H到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照，且滿足f（∞）=∞和f（i）=i，那么有

對(duì)每個(gè)z∈H成立.左邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f=（1/K）x+iy，而右邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f=Kx+iy.

下面考慮雙曲調(diào)和K-擬共形映照的雙曲雅可比的偏差估計(jì).即

引理2［12］如果σ＞0是一個(gè)上半平面H上的C2度量密度函數(shù)，且其Gauss曲率滿足Kσ≤-1，則σ≤λH.

定理3［13］如果f是一個(gè)上半平面H到自身上的雙曲調(diào)和K-擬共形映照，那么有

對(duì)每個(gè)z∈H成立.利用引理2和定理2可得

定理4 如果f是一個(gè)上半平面H到自身上的雙曲調(diào)和K-擬共形映照，那么不等式

對(duì)每個(gè)z∈H成立.

證明 令σ=（1-k2）λH°f|fz|2，k=（K-1）/（K+1）.由定理2可知，對(duì)于任意z∈H，都有|fz|≠0；而對(duì)于滿足|f|≠0的點(diǎn)z∈H，有

因?yàn)閒是雙曲調(diào)和的，所以λH°ffzz是一個(gè)H上的解析函數(shù).從而有

根據(jù)f=-（logλH）w°ffzf，可得

將以上兩個(gè)等式分別代入關(guān)系式（14），（15），則有

因此，當(dāng)|f|≠0時(shí)，將式（13），（16）代入式（12），可得

另外，Δlogσ也可表示為

由式（3）可得，（logλH）zz=-（1/2）λH成立.利用這個(gè)等式，可得

又有

Δlog（1-k2）λH°f|fz|2=（ΔlogλH）°f|fz|2；

而式（17）在滿足|f|=0的點(diǎn)處，有

因此，對(duì)于任意的z∈H，都有Kσ≤-1.

由引理3，有

結(jié)合定理3的左邊不等式和關(guān)系式，由Jf≥（1-k2）|fz|2可知，式（11）的左邊不等式對(duì)任意的z∈H也成立.

利用雙曲調(diào)和擬共形映照的共形不變性［5］，定理3對(duì)任意的單連通區(qū)域結(jié)論都成立.Yao［14］改進(jìn)了定理3的右邊不等式為

（λH°f/λH）|fz|2≤（K+1）/2，

而式（20）改進(jìn)了文［14］的結(jié)果.從定理4可看出，H上的雙曲調(diào)和擬共形映照雙曲雅可比的偏差比歐氏調(diào)和擬共形映照的要小.

3 主要結(jié)果的應(yīng)用

定理5 如果f是一個(gè)上半平面H到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照，那么，對(duì)于任意的可測(cè)集合E?H，有

而且，其上界和下界的估計(jì)是精確的.

證明 設(shè)f是一個(gè)上半平面H到自身上的歐氏調(diào)和K-擬共形映照，則由定理2有

如果f（z）=Kx+iy，z=x+iy，則對(duì)任意的可測(cè)集合E?H，有（λH°f/λH）Jf≡K，從而有

|f（E）|hyp= K|E|hyp，

即式（21）的右邊不等式是精確的.類似地，若取f（z）=（1/K）z+iy，則可證明式（21）的左邊不等式也是精確的.定理5證畢.

由定理4可得

定理6 如果f是一個(gè)上半平面H到自身上的雙曲調(diào)和K-擬共形映照，那么，對(duì)于任意的可測(cè)集合E?H，有

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Distortion Estimations of the Hyperbolic Jacobians of Harmonic Quasiconformal Mappings

CHEN Xing-di
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

The distortion estimation with respect to the hyperbolic metrics of two classes of harmonic quasiconformal mappings is studied.First，the sharp upper and lower bounds of the hyperbolic Jacobians of Euclidean harmonic quasiconformal mappings from the upper half-plane onto itself and their corresponding extremal functions are given.Secondly，the distortion estimation of hyperbolic Jacobian of hyperbolic quasiconformal mappings are obtained.Finally，the distortion estimation of the above two classes of mappings is applied to study their corresponding distortion theorems about hyperbolic areas.The results show that the above two classes of harmonic quasiconformal mappings are non-explodable.

harmonic mappings；quasiconformal mappings；hyperbolic Jacobians；hyperbolic areas

O 174.55

A

1000-5013（2010）03-0351-05

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2008-10-03

陳行堤（1976-），男，講師，主要從事函數(shù)論的研究.E-mail：chxtt@hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（S0650019）；華僑大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目（08BS107）