●邵梅生 (平陽(yáng)中學(xué) 浙江溫州 325400) ●楊光偉 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

計(jì)數(shù)原理是高中數(shù)學(xué)選修課中的內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)中知識(shí)相對(duì)獨(dú)立、思維獨(dú)特，一直占有重要的地位.基于2個(gè)計(jì)數(shù)原理的排列組合是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的重要方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)很容易犯重復(fù)性錯(cuò)誤，本文從數(shù)學(xué)理解的視角研究學(xué)生在組合推理中的困難表現(xiàn)，從教學(xué)層面分析造成理解障礙的原因.

1 理論基礎(chǔ)

“數(shù)學(xué)理解”已經(jīng)成為“問(wèn)題解決”之后數(shù)學(xué)教育界所重視的一個(gè)中心話題.數(shù)學(xué)教育研究者與一線數(shù)學(xué)教師分別從不同的層次與視角研究和思考數(shù)學(xué)理解問(wèn)題.表征模式的研究是把數(shù)學(xué)理解看作數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在心理表征，從符號(hào)表征及其形成過(guò)程的角度論述理解［1］.

不同的理解對(duì)象會(huì)有不同的表征.黃燕玲、喻平根據(jù)知識(shí)的3種形態(tài)將“數(shù)學(xué)理解”劃分為陳述性知識(shí)理解、程序性知識(shí)理解和過(guò)程性知識(shí)理解這3種類型.陳述性知識(shí)是關(guān)于事實(shí)的知識(shí)，是有關(guān)“是什么”的知識(shí);程序性知識(shí)是個(gè)人具有的有關(guān)“怎么辦”的知識(shí);過(guò)程性知識(shí)是伴隨數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的體驗(yàn)性知識(shí).他們認(rèn)為：對(duì)一個(gè)陳述性數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，是從知識(shí)的基本單元表征到形成命題網(wǎng)絡(luò)，再到獲得圖式的過(guò)程.對(duì)程序性知識(shí)的理解，是指他建立了雙向產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng).其中雙向產(chǎn)生式是指，學(xué)生不僅知道“如果……，那么……”，而且還應(yīng)知道在什么條件下使用這個(gè)“如果……，那么……”.對(duì)過(guò)程性知識(shí)理解的內(nèi)核是學(xué)習(xí)者形成完善而深刻的關(guān)系表征和觀念表征.關(guān)系表征是指?jìng)€(gè)體對(duì)知識(shí)發(fā)展過(guò)程中知識(shí)存在某些關(guān)系的體悟;觀念表征則是對(duì)知識(shí)之間發(fā)生關(guān)系的緣由的領(lǐng)悟［2］.

2 研究方法

本研究采用測(cè)試與訪談這2種研究方法.

2.1 測(cè)試卷的制定

本調(diào)查所采用的學(xué)生測(cè)試卷是根據(jù)Batanero等人的題目改編而成的，選擇問(wèn)題時(shí)考慮了以下因素：(1)組合模型：選擇、分配和分割;(2)組合運(yùn)算：全排列、排列、組合、重復(fù)排列;(3)元素的性質(zhì)：字母、數(shù)字、人和物;(4)已知參數(shù)n和m的值;(5)問(wèn)題的復(fù)雜程度：有限制、無(wú)限制、單一運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算.其中組合模型是法國(guó)學(xué)者Dubois提出來(lái)的，他將簡(jiǎn)單的組合結(jié)構(gòu)歸為選擇模型、分配模型和分割模型［3］.調(diào)查的13個(gè)測(cè)試題的詳細(xì)信息見(jiàn)表1所示.

表1 測(cè)試題的詳細(xì)信息

在這13個(gè)題目中，除第7，8，12題之外均是無(wú)限制的組合問(wèn)題，可用單一運(yùn)算完成，而第7，8，12題是有限制的組合問(wèn)題，要用到復(fù)合運(yùn)算.

2.2 研究對(duì)象

參與問(wèn)卷測(cè)試的對(duì)象是溫州市平陽(yáng)中學(xué)高三年級(jí)8個(gè)平行班的400名學(xué)生.平陽(yáng)中學(xué)有著七十多年的辦學(xué)歷史，是省一級(jí)重點(diǎn)中學(xué).參與訪談的學(xué)生有8人，這8名學(xué)生來(lái)自8個(gè)班級(jí)，成績(jī)均在中上.

2.3 測(cè)試與訪談的實(shí)施

測(cè)試安排在2009年12月，在正式課堂上進(jìn)行，時(shí)間控制在40分左右.在測(cè)試時(shí)，邀請(qǐng)所在班級(jí)的任課教師監(jiān)考，盡量避免抄襲現(xiàn)象的發(fā)生.有8個(gè)班級(jí)共有400人參加了此次測(cè)試，，收回有效問(wèn)卷398份.

在考試結(jié)束后的當(dāng)天晚上，筆者從每個(gè)班級(jí)中抽取了8學(xué)生，依次進(jìn)行交流訪談，這8名學(xué)生都犯了典型錯(cuò)誤.在訪談時(shí)只針對(duì)他們做錯(cuò)的題目，盡量讓學(xué)生詳細(xì)地說(shuō)出自己的解題思路與根據(jù).教師針對(duì)學(xué)生闡述的情況，作進(jìn)一步的提問(wèn)與提示，觀察學(xué)生是否能意識(shí)到解題中的錯(cuò)誤.

3 測(cè)試結(jié)果分析

本文數(shù)據(jù)是把正確答案賦值為1，而把錯(cuò)誤答案賦值為0，縱向計(jì)算出所有學(xué)生在每道題上的正確率，再利用Excel表格統(tǒng)計(jì)出學(xué)生的典型錯(cuò)誤.從被試的正確率統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得學(xué)生對(duì)于全排列、排列與有重復(fù)的選排列掌握較好，這3種運(yùn)算的正確率均在0.9左右.而其他幾種運(yùn)算錯(cuò)誤率較高.不同運(yùn)算暴露出來(lái)的錯(cuò)誤是否存在共性呢?經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)生在各題中犯的錯(cuò)誤類型發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決每一個(gè)問(wèn)題普遍地犯了重復(fù)性錯(cuò)誤，因此集中于對(duì)重復(fù)性錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)，如表2所示.

表2 各題中重復(fù)性錯(cuò)誤的次數(shù)及占錯(cuò)誤總數(shù)的平均百分比

從表2可知，重復(fù)性錯(cuò)誤是最嚴(yán)重的錯(cuò)誤，這與文獻(xiàn)［4］調(diào)查統(tǒng)計(jì)的結(jié)論一致.這種有代表性與普遍性的錯(cuò)誤，也許意味著學(xué)生對(duì)排列組合知識(shí)理解中存在某種缺陷.筆者特摘錄下學(xué)生的解題過(guò)程，以尋找導(dǎo)致了重復(fù)性錯(cuò)誤的原因，如表3所示.

表3 重復(fù)性錯(cuò)誤中的典型做法及平均百分比

從表3可知學(xué)生在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理的頻率較高，對(duì)于全排列、排列及有重復(fù)的選排列掌握得較好，原因就在于這3種排列實(shí)際上是分步乘法原理運(yùn)用中的一些計(jì)數(shù)模型，它們均能用分步原理來(lái)處理，而且不會(huì)出現(xiàn)重復(fù).犯重復(fù)性錯(cuò)誤的原因主要在于不恰當(dāng)?shù)厥褂昧朔植匠朔ㄔ恚渲斜容^突出的是第12題.由于解題方法的不同，學(xué)生給出了多種答案，但錯(cuò)誤的性質(zhì)卻是一樣的.對(duì)于第8題，表面上看是犯了遺漏錯(cuò)誤，但從剩余的9雙中取2雙采用了分2步取卻造成了重復(fù)，因此從解題思維過(guò)程來(lái)分析這種錯(cuò)誤應(yīng)當(dāng)是重復(fù)性錯(cuò)誤.從上述分析可知，學(xué)生并不理解分步計(jì)數(shù)原理的本質(zhì)，在應(yīng)用原理時(shí)，只停留在原理的文字語(yǔ)言表征上，把口頭語(yǔ)言中的“先，然后”或“第1步，第2步，…”等同于計(jì)數(shù)原理中的分步，這導(dǎo)致了解題中的重復(fù)性錯(cuò)誤.

4 對(duì)訪談內(nèi)容的分析

從訪談知學(xué)生對(duì)于有重復(fù)元素的全排列與組合錯(cuò)誤率較高，主要原因在于學(xué)生在審題時(shí)對(duì)于元素是否互異關(guān)注不夠.但在教師的提醒下，學(xué)生能很快地意識(shí)到這種錯(cuò)誤，并給予糾正.然而由分步原理導(dǎo)致的重復(fù)性錯(cuò)誤卻很難意識(shí)到，即使在教師的提醒下，學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤有了認(rèn)識(shí)，當(dāng)問(wèn)題改變時(shí)，還是會(huì)不自覺(jué)地犯重復(fù)性錯(cuò)誤.

學(xué)生在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，很少有檢驗(yàn)反思的習(xí)慣，訪談中的8個(gè)學(xué)生在解題之后都沒(méi)有檢驗(yàn)的意識(shí).對(duì)于分步計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容基本上采用語(yǔ)言敘述，很少給出圖形或符號(hào)表征，表現(xiàn)在解決問(wèn)題時(shí)，給出分步后，馬上寫出乘法式子.

5 研究結(jié)論

5.1 學(xué)生對(duì)排列組合的理解情況

(1)對(duì)組合推理中的陳述性知識(shí)的表征方式較單一，表征內(nèi)容不準(zhǔn)確.學(xué)生混淆了排列、組合與排列數(shù)、組合數(shù)的概念，對(duì)符號(hào)，的表征以動(dòng)作操作為主，沒(méi)有自覺(jué)意識(shí)到排列組合概念中元素互異性的特征.而對(duì)2個(gè)計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容采用語(yǔ)言表征為主，沒(méi)有深刻理解分步計(jì)數(shù)原理中“步”的意義.

(2)對(duì)組合推理中的程序性知識(shí)未能達(dá)到雙向產(chǎn)生式.學(xué)生雖然有解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的程序性知識(shí)：先把問(wèn)題分類或分步，再采用相應(yīng)的計(jì)數(shù)原理.但對(duì)于什么是合理科學(xué)的分步并不清楚，未能體會(huì)到分步是適用于求解有序問(wèn)題.

(3)對(duì)組合推理的過(guò)程性知識(shí)缺少體驗(yàn)，未能達(dá)成觀念表征.學(xué)生在組合學(xué)習(xí)中缺少數(shù)學(xué)探究、自主活動(dòng)的過(guò)程，不能體會(huì)分步原理是解決有序問(wèn)題的方法，也不能體驗(yàn)到蘊(yùn)含在計(jì)數(shù)問(wèn)題背后的集合對(duì)應(yīng)的思想.

5.2 學(xué)生理解排列組合的障礙成因

計(jì)數(shù)能力是與生俱來(lái)的，對(duì)于一個(gè)沒(méi)有學(xué)過(guò)組合概念的學(xué)生來(lái)說(shuō)，也可以解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題.而系統(tǒng)地學(xué)了組合知識(shí)后，學(xué)生雖然增強(qiáng)了計(jì)數(shù)的技能，卻出現(xiàn)了很難克服的錯(cuò)誤.

(1)教師對(duì)組合知識(shí)理解的不全面導(dǎo)致了教的不足.許多教師并不清楚組合問(wèn)題的各種運(yùn)算模型，這就導(dǎo)致了在教學(xué)時(shí)未能對(duì)元素的互異性進(jìn)行強(qiáng)調(diào).學(xué)生解題時(shí)也較少關(guān)注元素是否互異的信息.其次，教師沒(méi)有認(rèn)識(shí)到組合知識(shí)與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，沒(méi)有意識(shí)到計(jì)數(shù)問(wèn)題背后的集合對(duì)應(yīng)思想，在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，較少?gòu)募蠈?duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)解釋一種計(jì)數(shù)方法的可行性.這使得學(xué)生在組合推理時(shí)失去了數(shù)學(xué)思想的指引，不能深刻地反思到重復(fù)性錯(cuò)誤的成因所在，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤的頑固性.

在計(jì)數(shù)問(wèn)題的解決過(guò)程中，教師提供給學(xué)生更多的是一種程序化地操作模式：先把事情分類或分步，再選擇加法或乘法得出計(jì)數(shù)結(jié)果.同時(shí)由于教師在教學(xué)中給學(xué)生提供大量的操作機(jī)會(huì)，學(xué)生一旦對(duì)方法熟練后，就不再考慮它們或再檢驗(yàn)它們.從學(xué)生的訪談中可以明顯地看出學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)了功能的固定性.

(2)教師在概念教學(xué)時(shí)，未能提供多樣化的表征機(jī)會(huì)與充分的變式.教師過(guò)高估計(jì)了學(xué)生的理解能力，導(dǎo)致了在原理教學(xué)時(shí)進(jìn)行了過(guò)快的抽象.計(jì)數(shù)原理是個(gè)抽象的概念，不像函數(shù)或向量知識(shí)一樣具備“形”的特征，這使得學(xué)生只能采用單一的語(yǔ)言表征.而教材采用的文字語(yǔ)言表征中的“步”不能明確體現(xiàn)出有序性，這就容易造成概念的泛化［6］.

在學(xué)生獲得原理后的練習(xí)中，教師未能及時(shí)提供充分的變式，促進(jìn)學(xué)生思考分步的意義.教師在一開(kāi)始教學(xué)時(shí)，提供的問(wèn)題情境都是剛好適合分步計(jì)數(shù)原理來(lái)解決的.這就無(wú)法暴露出學(xué)生理解中的“潛在錯(cuò)誤”.如果學(xué)生在練習(xí)中得不到反例的辨析與反思，缺陷的理解得到強(qiáng)化，那么在后續(xù)學(xué)習(xí)中暴露出錯(cuò)誤后，糾正就變得很困難，因?yàn)橐瞥粋€(gè)舊觀念遠(yuǎn)遠(yuǎn)比接受一個(gè)新觀念要困難得多［7］.

［1］ 蔡慶有，劉忠東.對(duì)數(shù)學(xué)理解兩種研究模式的探討［J］.井岡山學(xué)院學(xué)報(bào)，2007(8)：23-25.

［2］ 何小亞.數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)［M］.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2003.

［3］ 楊光偉.對(duì)排列組合教學(xué)的一點(diǎn)建議［J］.數(shù)學(xué)通訊，2004(15)：12-14.

［4］ 胡海霞.影響高中生組合推理的因素［D］.華東師范大學(xué)，2006.

［5］ 郭朋貴，陳敦瑩.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解障礙及其對(duì)策分析［J］.高等函授學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005(6)：39-41.

［6］ 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：209.

［7］ D.A.格勞斯.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)［M］.陳昌平，王繼延，陳美廉，等譯.上海：上海教育出版社，1999.