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(咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 陜西咸陽 712000)

在《數(shù)學通報》1992年第10期的數(shù)學問題欄目中，黃漢生先生提出了如下不等式：

問題1已知x,y,z∈R+，求證：

原刊物的證明過程比較復雜，下面筆者給出該題的簡化證明.

證明注意到簡單不等式ab+bc+ca≤a2+b2+c2，得

即

因為

所以

由柯西不等式，得

得證.

對不等式(1)進行變形，可等價轉(zhuǎn)化為：

問題2已知x,y,z∈R+，求證：

事實上，還可以證明如下的不等式：

問題3已知x,y,z∈R+，求證：

證明利用二元均值不等式得

即

同理可得

將這3個不等式疊加，立得不等式(3).

鏈接不等式(2)和(3)，可得如下不等式鏈：

問題4已知x,y,z∈R+，求證：

顯然，不等式(4)是如下常見不等式的加細.

問題5已知x,y,z∈R+，求證：

在《中學數(shù)學月刊》2008年第1期中，田富德先生提出了這樣一個分式不等式：

問題6若a,b,c∈R，且a,b,c都不為0，則

事實上，不等式(6)等價于

我們知道，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，于是有比不等式(6)更強的結(jié)論:

若a,b,c∈R，且a,b,c都不為0，則

這正是問題5中的不等式！以上我們探討了不等式(5)的一種加細，得到了比較優(yōu)美的不等式(4).這里需要指出的是，不等式還有一些簡單的應用,請看如下不等式：

(W.Janoux 猜想)

提示：對分母進行換元z+x=a,x+y=b,y+z=c,所證不等式等價于不等式(5).

提示：對分母進行換元，得所證的不等式等價于不等式(5).