加筋結(jié)構(gòu)非節(jié)點(diǎn)連接建模中鋼筋單元?jiǎng)澐址椒ㄑ芯?/h1>
2010-08-16 03:03:14王家林易志堅(jiān)
彭 毅，王家林，易志堅(jiān)，李 平
(重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶400074)
目前，加筋結(jié)構(gòu)的有限元建模方法主要有分離式、整體式和組合式3種［1］。
分離式模型對加筋結(jié)構(gòu)和基體材料分別劃分單元，通過節(jié)點(diǎn)連接重構(gòu)整體。在建模過程中，分離式模型要求加筋單元和基體材料單元共用節(jié)點(diǎn)，建模難度大，可能造成兩個(gè)結(jié)果的出現(xiàn):①加筋構(gòu)件的布置與實(shí)際不符，在計(jì)算結(jié)果上出現(xiàn)虛假的應(yīng)力集中;②基體單元的形狀不規(guī)則［2］，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。
整體式模型將加筋構(gòu)件均勻彌散于整個(gè)基體材料單元中，通過各方向的配筋率來計(jì)算加筋構(gòu)件對基體材料的增強(qiáng)效果。這種方法計(jì)算簡便，但是對加筋構(gòu)件的布置細(xì)節(jié)反應(yīng)不足，更無法模擬有滑移的情況。
組合式模型克服了分離式模型建模難度大和整體式模型過于粗略的特點(diǎn)，為加筋結(jié)構(gòu)的有限元分析提供了一種切實(shí)可行的方法。但是，組合式單元模型要求加筋單元與基體材料單元位移連續(xù)、變形協(xié)調(diào)，當(dāng)兩者之間存在位移不連續(xù)時(shí)，組合式難于處理［3］。
針對以上3種有限元建模方法各自存在的不足，王家林［4］提出了具有一般意義的不通過節(jié)點(diǎn)連接的有限元建模和分析方法，即非節(jié)點(diǎn)連接方法，并開發(fā)了以非節(jié)點(diǎn)連接有限元理論為基礎(chǔ)的有限元軟件RCF。非節(jié)點(diǎn)連接方法在處理加筋結(jié)構(gòu)的問題時(shí)，可以方便的模擬加筋構(gòu)件的黏接滑移問題。本文針對加筋結(jié)構(gòu)中鋼筋單元跨越多個(gè)混凝土單元的情況，在非節(jié)點(diǎn)連接理論的框架內(nèi)分析了筋元與混凝土單元的位置關(guān)系，并對筋元與混凝土單元面的交點(diǎn)建立了數(shù)學(xué)模型，解決了鋼筋單元與混凝土單元之間的位移協(xié)調(diào)問題。
1 筋元與混凝土單元位置關(guān)系分析
在加筋結(jié)構(gòu)模型中，一個(gè)鋼筋單元跨越兩個(gè)或多個(gè)混凝土單元的現(xiàn)象較為常見。由于一個(gè)筋單元跨越兩個(gè)混凝土單元是最基本的筋元跨越問題，因此，有必要對這一問題進(jìn)行細(xì)致分析。
如圖1，筋單元AB跨越混凝土單元①及混凝土單元②。筋元A節(jié)點(diǎn)作為混凝土單元①的內(nèi)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析，筋元B節(jié)點(diǎn)作為混凝土單元②的內(nèi)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析，在非節(jié)點(diǎn)連接理論中，內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移由母單元各節(jié)點(diǎn)位移插值決定。由于筋元內(nèi)部各處位移由筋元兩端節(jié)點(diǎn)位移插值得到，而筋元兩端節(jié)點(diǎn)又作為混凝土單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)，因此，AB段鋼筋單元內(nèi)各處的位移由兩個(gè)混凝土單元的節(jié)點(diǎn)位移插值決定［5］。
圖1 加筋結(jié)構(gòu)單元模型Fig.1 The element model of reinforced structures
在筋元與混凝土單元面的相交處，筋元上的C點(diǎn)與混凝土單元面上C′點(diǎn)重合。C點(diǎn)位移由混凝土單元①和混凝土單元②的各節(jié)點(diǎn)位移共同插值決定，C′點(diǎn)的位移由兩混凝土單元交面各節(jié)點(diǎn)位移插值決定，這使得筋元與混凝土單元之間的位移存在一定的不協(xié)調(diào)性。
為改善上述不協(xié)調(diào)性，可以設(shè)置筋元上的C點(diǎn)為混凝土單元的內(nèi)節(jié)點(diǎn)。作為鋼筋單元與混凝土單元面的交點(diǎn)，C節(jié)點(diǎn)既可以作為其左側(cè)混凝土單元①的內(nèi)節(jié)點(diǎn)又可以作為其右側(cè)混凝土單元②的內(nèi)節(jié)點(diǎn)。由于單元面上各點(diǎn)的位移僅與單元面各節(jié)點(diǎn)的位移有關(guān)，因此無論將C節(jié)點(diǎn)作為哪個(gè)單元的內(nèi)節(jié)點(diǎn)，均不會(huì)產(chǎn)生差別。
C節(jié)點(diǎn)的引入，使得原有的一個(gè)鋼筋單元AB被劃分成兩個(gè)單元，即鋼筋A(yù)C單元和鋼筋CB單元，如圖2。鋼筋A(yù)C單元包含于混凝土單元①內(nèi)，鋼筋CB單元包含于混凝土單元②內(nèi)。
圖2 鋼筋設(shè)置交點(diǎn)以后的結(jié)構(gòu)單元模型Fig.2 The steel element interpolating a intersection
經(jīng)過插入節(jié)點(diǎn)分段后，AC段筋元內(nèi)的位移由其所在的混凝土單元①各節(jié)點(diǎn)位移插值決定，CB段筋元內(nèi)的位移由其所在的混凝土單元②各節(jié)點(diǎn)位移插值決定，由此，鋼筋單元與混凝土單元的位移插值關(guān)系便滿足了位移的協(xié)調(diào)性要求。
2 筋元與混凝土單元位置關(guān)系
混凝土單元作為等參元，其體內(nèi)未知點(diǎn)的位移由單元形函數(shù)插值得到。對筋單元的數(shù)值模擬一般采用線性插值［6］。筋元與混凝土單元相交情況如圖3。
圖3 筋元與混凝土等參元相交模擬Fig.3 The intersection simulation of steel element and concrete element
由關(guān)鍵點(diǎn) A(xm，ym，zm)，B(xn，yn，zn)所確定的鋼筋段的參數(shù)方程為:
a∈［0，1］，為鋼筋單元位置參數(shù)。
混凝土等參元坐標(biāo)變換方程為:
Ni(r，s，t)為混凝土單元內(nèi)i節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。
xi，yi，zi為混凝土單元 i節(jié)點(diǎn)的位移。
在求鋼筋單元與混凝土單元面交點(diǎn)的過程中，將兩參數(shù)方程聯(lián)立求解可得到交點(diǎn)坐標(biāo):
其中，r∈［－1，+1］;s∈［－1，+1］;t∈［－1，+1］，任一參數(shù)取+1或－1表示某一單元面。
以求解鋼筋與混凝土等參元幾何面r=1上的交點(diǎn)為例。
令:
設(shè)(sn，tn，an)為方程的第 n 次近似解，將 {f(r，s，t)} 在 (sn，tn，an)處近似展開得:
于是得到下面遞推公式:
也即:
由式(7)，通過迭代計(jì)算可得到鋼筋與混凝土單元面交點(diǎn)的局部坐標(biāo)(r，sn+Δs，tn+Δt)以及交點(diǎn)在鋼筋直線方程中的比例系數(shù)(an+Δa)。
再通過混凝土等參元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程得到交點(diǎn)的整體坐標(biāo):
以上所采用的數(shù)值計(jì)算方法易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，具有計(jì)算速度快，收斂性好等優(yōu)點(diǎn)。
3 算例
如圖4矩形截面簡支梁，梁段全長L=6 m，截面高h(yuǎn)=0.4 m，寬b=0.2 m，鋼筋直徑d=0.02 m，BC段和DE段為鋼筋彎起段，彎起半徑為3 m，鋼筋B端和E端到截面底邊的距離為0.18 m，CD段鋼筋到截面底邊的距離為0.04 m。取混凝土彈性模量Ec=2.0×104MPa，泊松比v=0.2鋼筋彈性模量Es=2.0×105MPa，在梁的上表面作用有集度為q=500 kN/m2的均布荷載。
圖4 受分布荷載的鋼筋混凝土簡支梁Fig.4 The reinforced concrete simple beam subject to distributed load
在混凝土結(jié)構(gòu)中加入導(dǎo)線法線形鋼筋，并用RCF軟件計(jì)算鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中鋼筋的受力狀態(tài)?？紤]鋼筋主要以軸向受力為主，鋼筋單元采用桿單元模擬［7］。
結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分按如下方式完成。沿梁的長度方向劃分為20個(gè)三維8節(jié)點(diǎn)等參體元，鋼筋網(wǎng)格單元長度設(shè)置為0.2 m。全部鋼筋單元的節(jié)點(diǎn)用軟件自動(dòng)分析找到母單元，并設(shè)置全部自由度與母單元位移場一致。
為了充分反應(yīng)加入交點(diǎn)后筋元與混凝土單元的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，圖5將未插入交點(diǎn)時(shí)筋元與體元面相交處兩者位移的差值和插入交點(diǎn)后筋元與體元面相交處兩者位移的差值進(jìn)行比較［8］。
圖5 位移差對比Fig.5 Comparison chart of displacement difference
未插入交點(diǎn)位移差代表了未插入交點(diǎn)時(shí)筋元與體元面相交處兩者位移的差值，插入交點(diǎn)位移差代表了插入交點(diǎn)后筋元與體元面相交處兩者位移的差值。由圖5可以看出，界面未設(shè)置交點(diǎn)時(shí)，位移差雖很小，但存在，表明鋼筋與混凝土單元之間位移的不協(xié)調(diào)性。插入交點(diǎn)后，完全消除了兩者的位移差，實(shí)現(xiàn)了二者的位移協(xié)調(diào)。
4 結(jié)論
通過算例演示了非節(jié)點(diǎn)連接方法中筋元與體元在單元交界面處的位移協(xié)調(diào)性。采用在筋元與體元面相交處插入交點(diǎn)的方法，消除了筋元與體元之間位移的不協(xié)調(diào)性，可進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)加筋結(jié)構(gòu)有限元的精細(xì)分析。
［1］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003.
［2］李青森，楊文兵，楊新華.預(yù)應(yīng)力梁的組合結(jié)構(gòu)分析方法及其有限元實(shí)現(xiàn)［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào):城市科學(xué)版，2005，22(增刊):84－90.
［3］江見鯨.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性有限元分析［M］.西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1994.
［4］王家林.非節(jié)點(diǎn)連接有限元理論及其軟件實(shí)現(xiàn)［D］.重慶:重慶大學(xué)，2008.
［5］王家林.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)空間有限元分析的體梁組合單元［J］.工程力學(xué)，2002，19(6):131 －135.
［6］巫昌海.三維鋼筋混凝土非線性有限元及其工程應(yīng)用研究［D］.南京:河海大學(xué)，2000.
［7］El-Mezaini N，Citipitioglu.Finite element analysis of prestressed and reinforced concrete structures［J］.Journal of Structural Engineering，ASCE，1991，117(10):2851－2864.
［8］朱橫君.MATLAB語言及實(shí)踐教程［M］.北京:清華大學(xué)出版社，北京交通大學(xué)出版社，2005.
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目前，加筋結(jié)構(gòu)的有限元建模方法主要有分離式、整體式和組合式3種［1］。
分離式模型對加筋結(jié)構(gòu)和基體材料分別劃分單元，通過節(jié)點(diǎn)連接重構(gòu)整體。在建模過程中，分離式模型要求加筋單元和基體材料單元共用節(jié)點(diǎn)，建模難度大，可能造成兩個(gè)結(jié)果的出現(xiàn):①加筋構(gòu)件的布置與實(shí)際不符，在計(jì)算結(jié)果上出現(xiàn)虛假的應(yīng)力集中;②基體單元的形狀不規(guī)則［2］，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確。
整體式模型將加筋構(gòu)件均勻彌散于整個(gè)基體材料單元中，通過各方向的配筋率來計(jì)算加筋構(gòu)件對基體材料的增強(qiáng)效果。這種方法計(jì)算簡便，但是對加筋構(gòu)件的布置細(xì)節(jié)反應(yīng)不足，更無法模擬有滑移的情況。
組合式模型克服了分離式模型建模難度大和整體式模型過于粗略的特點(diǎn)，為加筋結(jié)構(gòu)的有限元分析提供了一種切實(shí)可行的方法。但是，組合式單元模型要求加筋單元與基體材料單元位移連續(xù)、變形協(xié)調(diào)，當(dāng)兩者之間存在位移不連續(xù)時(shí)，組合式難于處理［3］。
針對以上3種有限元建模方法各自存在的不足，王家林［4］提出了具有一般意義的不通過節(jié)點(diǎn)連接的有限元建模和分析方法，即非節(jié)點(diǎn)連接方法，并開發(fā)了以非節(jié)點(diǎn)連接有限元理論為基礎(chǔ)的有限元軟件RCF。非節(jié)點(diǎn)連接方法在處理加筋結(jié)構(gòu)的問題時(shí)，可以方便的模擬加筋構(gòu)件的黏接滑移問題。本文針對加筋結(jié)構(gòu)中鋼筋單元跨越多個(gè)混凝土單元的情況，在非節(jié)點(diǎn)連接理論的框架內(nèi)分析了筋元與混凝土單元的位置關(guān)系，并對筋元與混凝土單元面的交點(diǎn)建立了數(shù)學(xué)模型，解決了鋼筋單元與混凝土單元之間的位移協(xié)調(diào)問題。
1 筋元與混凝土單元位置關(guān)系分析
在加筋結(jié)構(gòu)模型中，一個(gè)鋼筋單元跨越兩個(gè)或多個(gè)混凝土單元的現(xiàn)象較為常見。由于一個(gè)筋單元跨越兩個(gè)混凝土單元是最基本的筋元跨越問題，因此，有必要對這一問題進(jìn)行細(xì)致分析。
如圖1，筋單元AB跨越混凝土單元①及混凝土單元②。筋元A節(jié)點(diǎn)作為混凝土單元①的內(nèi)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析，筋元B節(jié)點(diǎn)作為混凝土單元②的內(nèi)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析，在非節(jié)點(diǎn)連接理論中，內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移由母單元各節(jié)點(diǎn)位移插值決定。由于筋元內(nèi)部各處位移由筋元兩端節(jié)點(diǎn)位移插值得到，而筋元兩端節(jié)點(diǎn)又作為混凝土單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)，因此，AB段鋼筋單元內(nèi)各處的位移由兩個(gè)混凝土單元的節(jié)點(diǎn)位移插值決定［5］。
圖1 加筋結(jié)構(gòu)單元模型Fig.1 The element model of reinforced structures
在筋元與混凝土單元面的相交處，筋元上的C點(diǎn)與混凝土單元面上C′點(diǎn)重合。C點(diǎn)位移由混凝土單元①和混凝土單元②的各節(jié)點(diǎn)位移共同插值決定，C′點(diǎn)的位移由兩混凝土單元交面各節(jié)點(diǎn)位移插值決定，這使得筋元與混凝土單元之間的位移存在一定的不協(xié)調(diào)性。
為改善上述不協(xié)調(diào)性，可以設(shè)置筋元上的C點(diǎn)為混凝土單元的內(nèi)節(jié)點(diǎn)。作為鋼筋單元與混凝土單元面的交點(diǎn)，C節(jié)點(diǎn)既可以作為其左側(cè)混凝土單元①的內(nèi)節(jié)點(diǎn)又可以作為其右側(cè)混凝土單元②的內(nèi)節(jié)點(diǎn)。由于單元面上各點(diǎn)的位移僅與單元面各節(jié)點(diǎn)的位移有關(guān)，因此無論將C節(jié)點(diǎn)作為哪個(gè)單元的內(nèi)節(jié)點(diǎn)，均不會(huì)產(chǎn)生差別。
C節(jié)點(diǎn)的引入，使得原有的一個(gè)鋼筋單元AB被劃分成兩個(gè)單元，即鋼筋A(yù)C單元和鋼筋CB單元，如圖2。鋼筋A(yù)C單元包含于混凝土單元①內(nèi)，鋼筋CB單元包含于混凝土單元②內(nèi)。
圖2 鋼筋設(shè)置交點(diǎn)以后的結(jié)構(gòu)單元模型Fig.2 The steel element interpolating a intersection
經(jīng)過插入節(jié)點(diǎn)分段后，AC段筋元內(nèi)的位移由其所在的混凝土單元①各節(jié)點(diǎn)位移插值決定，CB段筋元內(nèi)的位移由其所在的混凝土單元②各節(jié)點(diǎn)位移插值決定，由此，鋼筋單元與混凝土單元的位移插值關(guān)系便滿足了位移的協(xié)調(diào)性要求。
2 筋元與混凝土單元位置關(guān)系
混凝土單元作為等參元，其體內(nèi)未知點(diǎn)的位移由單元形函數(shù)插值得到。對筋單元的數(shù)值模擬一般采用線性插值［6］。筋元與混凝土單元相交情況如圖3。
圖3 筋元與混凝土等參元相交模擬Fig.3 The intersection simulation of steel element and concrete element
由關(guān)鍵點(diǎn) A(xm，ym，zm)，B(xn，yn，zn)所確定的鋼筋段的參數(shù)方程為:
a∈［0，1］，為鋼筋單元位置參數(shù)。
混凝土等參元坐標(biāo)變換方程為:
Ni(r，s，t)為混凝土單元內(nèi)i節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。
xi，yi，zi為混凝土單元 i節(jié)點(diǎn)的位移。
在求鋼筋單元與混凝土單元面交點(diǎn)的過程中，將兩參數(shù)方程聯(lián)立求解可得到交點(diǎn)坐標(biāo):
其中，r∈［－1，+1］;s∈［－1，+1］;t∈［－1，+1］，任一參數(shù)取+1或－1表示某一單元面。
以求解鋼筋與混凝土等參元幾何面r=1上的交點(diǎn)為例。
令:
設(shè)(sn，tn，an)為方程的第 n 次近似解，將 {f(r，s，t)} 在 (sn，tn，an)處近似展開得:
于是得到下面遞推公式:
也即:
由式(7)，通過迭代計(jì)算可得到鋼筋與混凝土單元面交點(diǎn)的局部坐標(biāo)(r，sn+Δs，tn+Δt)以及交點(diǎn)在鋼筋直線方程中的比例系數(shù)(an+Δa)。
再通過混凝土等參元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程得到交點(diǎn)的整體坐標(biāo):
以上所采用的數(shù)值計(jì)算方法易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，具有計(jì)算速度快，收斂性好等優(yōu)點(diǎn)。
3 算例
如圖4矩形截面簡支梁，梁段全長L=6 m，截面高h(yuǎn)=0.4 m，寬b=0.2 m，鋼筋直徑d=0.02 m，BC段和DE段為鋼筋彎起段，彎起半徑為3 m，鋼筋B端和E端到截面底邊的距離為0.18 m，CD段鋼筋到截面底邊的距離為0.04 m。取混凝土彈性模量Ec=2.0×104MPa，泊松比v=0.2鋼筋彈性模量Es=2.0×105MPa，在梁的上表面作用有集度為q=500 kN/m2的均布荷載。
圖4 受分布荷載的鋼筋混凝土簡支梁Fig.4 The reinforced concrete simple beam subject to distributed load
在混凝土結(jié)構(gòu)中加入導(dǎo)線法線形鋼筋，并用RCF軟件計(jì)算鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中鋼筋的受力狀態(tài)?？紤]鋼筋主要以軸向受力為主，鋼筋單元采用桿單元模擬［7］。
結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分按如下方式完成。沿梁的長度方向劃分為20個(gè)三維8節(jié)點(diǎn)等參體元，鋼筋網(wǎng)格單元長度設(shè)置為0.2 m。全部鋼筋單元的節(jié)點(diǎn)用軟件自動(dòng)分析找到母單元，并設(shè)置全部自由度與母單元位移場一致。
為了充分反應(yīng)加入交點(diǎn)后筋元與混凝土單元的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，圖5將未插入交點(diǎn)時(shí)筋元與體元面相交處兩者位移的差值和插入交點(diǎn)后筋元與體元面相交處兩者位移的差值進(jìn)行比較［8］。
圖5 位移差對比Fig.5 Comparison chart of displacement difference
未插入交點(diǎn)位移差代表了未插入交點(diǎn)時(shí)筋元與體元面相交處兩者位移的差值，插入交點(diǎn)位移差代表了插入交點(diǎn)后筋元與體元面相交處兩者位移的差值。由圖5可以看出，界面未設(shè)置交點(diǎn)時(shí)，位移差雖很小，但存在，表明鋼筋與混凝土單元之間位移的不協(xié)調(diào)性。插入交點(diǎn)后，完全消除了兩者的位移差，實(shí)現(xiàn)了二者的位移協(xié)調(diào)。
4 結(jié)論
通過算例演示了非節(jié)點(diǎn)連接方法中筋元與體元在單元交界面處的位移協(xié)調(diào)性。采用在筋元與體元面相交處插入交點(diǎn)的方法，消除了筋元與體元之間位移的不協(xié)調(diào)性，可進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)加筋結(jié)構(gòu)有限元的精細(xì)分析。
［1］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003.
［2］李青森，楊文兵，楊新華.預(yù)應(yīng)力梁的組合結(jié)構(gòu)分析方法及其有限元實(shí)現(xiàn)［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào):城市科學(xué)版，2005，22(增刊):84－90.
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