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        多項式互素的等價條件

        2010-08-15 00:43:59張景曉
        關(guān)鍵詞:公因式因式充分性

        張景曉

        (德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山東 德州 253023)

        多項式互素的等價條件

        張景曉

        (德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山東 德州 253023)

        多項式的互素是多項式理論的重要內(nèi)容.本文利用反證法證明了有關(guān)多項式互素的若干等價條件.

        分塊行列式;分塊加邊法;矩陣

        多項式理論是代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,多項式的互素是多項式理論的重要概念,本文在人們對多項式互素性質(zhì)研究的基礎(chǔ)上做了更深入的探討,利用反證法證明了有關(guān)多項式互素的若干充要條件.

        性質(zhì)1設(shè)f(x),g(x)∈P[x],則(f(x),g(x))=1的充要條件是(f(x),f(x)+g(x))=1

        證明必要性,反證,若(f(x),f(x)+g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除f(x) +g(x),從而d(x)整除g(x),故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),f(x)+g(x))=1.

        充分性:反證,若(f(x),g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),從而d(x)整除f(x)+g(x),故d(x)整除f(x)與f(x)+g(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

        性質(zhì)2設(shè)f(x),g(x)∈P[x],則(f(x),g(x))=1的充要條件是(f(x)+g(x),f(x)-g(x))=1.

        證明必要性,反證,若(f(x)+g(x),f(x)-g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x)+g(x),d(x)整除f(x)-g(x),可推知d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x)+g(x),f(x)-g(x))=1.

        充分性:反證,若(f(x),g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),從而d(x)整除f(x)+g(x),且d(x)整除f(x)-g(x)故d(x)整除f(x)+g(x)與f(x)-g(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

        性質(zhì)3設(shè)f(x),g(x),h(x)∈P[x],則(f(x),g(x))=1的充要條件是(f(x),f(x)h(x)+g(x))=1.

        證明必要性,反證,若(f(x),f(x)h(x)+g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除f(x)h(x)+g(x),可推知d(x)整除g(x),故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),f(x)h(x)+g(x))=1.

        充分性:反證,若(f(x),g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),從而d(x)整除f(x)h(x)+g(x),故d(x)整除f(x)與f(x)h(x)+g(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

        性質(zhì)4設(shè)f(x),g(x)∈P[x],m、n是正整數(shù),則(f (x),g(x))=1的充要條件是(fm(x),gn(x))=1.

        證明 必要性,反證,若(fm(x),gn(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,取d(x)的一個不可約因式p(x),則p(x)的次數(shù)大于1,且p(x)整除d(x),從而p(x)整除fm(x),p(x)整除gn(x),由于p(x)不可約,由不可約多項式的性質(zhì)知,p(x)整除f(x),且p(x)整除g(x),故p(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1,這與p(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(fm(x),gn(x))=1.

        充分性:反證,若(f(x),g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),從而d(x)整除fm(x),d(x)整除gn(x),故d(x)整除fm(x)與gn(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x), g(x))=1.

        性質(zhì)5設(shè)f(x),g(x)∈P[x],m、n是正整數(shù),則(f (x),g(x))=1的充要條件是((f(x)+g(x))m,(f(x)-g(x))n)=1.

        證明必要性,反證,若((f(x)+g(x))m,(f(x)-g(x))n) =d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,取d(x)的一個不可約因式p(x),則p(x)的次數(shù)大于1,且p(x)整除d(x),從而p(x)整除(f(x)+g(x))m,p(x)整除(f(x)-g(x))n,由于p (x)不可約,由不可約多項式的性質(zhì)知,p(x)必整除f (x)+g(x),且p(x)整除f(x)-g(x),故可推知p(x)整除f (x),且p(x)整除g(x),故p(x)必整除f(x)與g(x)的最大公因式1,這與p(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此((f(x)+g (x))m,(f(x)-g(x))n)=1.

        充分性:反證,若(f(x),g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),從而d(x)整除f(x)+g(x),d(x)整除f(x)-g(x),從而d(x)整除(f(x) +g(x))m,d(x)整除(f(x)-g(x))n,故d(x)整除(f(x)+g(x))m與(f(x)-g(x))n的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

        性質(zhì)6設(shè)f(x),g(x)∈P[x],則(f(x),g(x))=1的充要條件是((f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)+g(x))=1.

        證明必要性,反證,若(f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)+g (x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,取d(x)的一個不可約因式p(x),則p(x)的次數(shù)大于1,且p(x)整除d (x),從而p(x)整除f(x)g(x),p(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x),由于p(x)不可約,由不可約多項式的性質(zhì)知,p(x)必整除f(x)與g(x)中的一個多項式,若p(x)整除f(x),又因為p(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x),可推知p(x)整除g (x),故p(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1,這與p(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此((f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)+g(x)) =1.

        充分性:反證,若(f(x),g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),從而d(x)整除f(x)g(x),d(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x),從而d(x)整除f (x)g(x)與f(x)g(x)+f(x)+g(x)的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

        性質(zhì)7設(shè)f(x),g(x)∈P[x],m、n、k都是正整數(shù),則(f(x),g(x))=1的充要條件是((fm(x)gn(x),(f(x) +g(x))k)=1.

        證明必要性,反證,若((fm(x)gn(x),(f(x)+g(x))k)=d (x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,取d(x)的一個不可約因式p(x),則p(x)的次數(shù)大于1,且p(x)整除d(x),從而p(x)整除fm(x)gn(x),p(x)整除(f(x)+g(x))k,由于p(x)不可約,由不可約多項式的性質(zhì)知,p(x)必整除f(x)與g(x)其中之一,且p(x)整除f(x)+g(x),故可推知p(x)整除f(x),且p(x)整除g(x),故p(x)必整除f(x)與g(x)的最大公因式1,這與p(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此( (fm(x)gn(x),(f(x)+g(x))k)=1.

        充分性:反證,若(f(x),g(x))=d(x)≠1,則d(x)的次數(shù)大于1,且d(x)整除f(x),d(x)整除g(x),從而d(x)整除f(x)g(x),d(x)整除f(x)+g(x),因此d(x)整除fm(x)gn(x),d(x)整除(f(x)+g(x))k,故d(x)整除fm(x)gn(x)與(f(x)+g(x))k的最大公因式1,這與d(x)的次數(shù)大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

        〔1〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

        〔2〕楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解[M].濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2002.

        〔3〕姚慕生.高等代數(shù)學(xué)[M].復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

        〔4〕周亞蘭.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].西北大學(xué)出版社,2007.

        O151.1

        A

        1673-260X(2010)08-0001-02

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