朱春浩

（武漢船舶職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，湖北武漢 430050）

形如“中間高，兩頭低”的鐘形曲線所代表的正態(tài)分布，由于其強(qiáng)大的普適性，是概率論中最重要的一種連續(xù)型分布。從形式上看，它屬于概率論的范圍，但同時(shí)又是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石，因此它的提出和應(yīng)用具有獨(dú)特的雙重理論背景和重要價(jià)值。

現(xiàn)有文獻(xiàn)大多只是談?wù)撃骋粋€(gè)人物或某一階段對(duì)正態(tài)分布理論所做的工作，并且以詳實(shí)地記錄其理論上的推導(dǎo)和證明為主，對(duì)于正態(tài)分布從開始不受重視到之后大行其道的發(fā)展背景和歷史根源并沒(méi)有進(jìn)行詳盡地挖掘和明確地表述，而后者對(duì)于數(shù)學(xué)研究則更具有理論價(jià)值和指導(dǎo)意義。

本文以正態(tài)分布的歷史發(fā)展為題材，對(duì)其不同階段的發(fā)展背景——同期概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r及其代表人物的重要工作做了系統(tǒng)的分析與總結(jié)，并以此為線索來(lái)考證概率統(tǒng)計(jì)理論由互相孤立到彼此滲透，再到相互交融的發(fā)展特點(diǎn)。筆者試圖從這些角度入手，對(duì)正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)學(xué)的關(guān)系史的演化作一個(gè)全面的梳理和考察，以期為相關(guān)歷史研究和教育提供借鑒意義。

1 正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)學(xué)的關(guān)系史

從歷史上看，正態(tài)分布從問(wèn)世到作為分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率模型經(jīng)歷了4個(gè)階段：18世紀(jì)30年代，棣莫弗最初在研究對(duì)一個(gè)概率作近似計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)了正態(tài)曲線，但由于多種原因它并沒(méi)有作為刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布；1809年，高斯在研究測(cè)量誤差時(shí)，第一次以概率分布的形式重新提出此分布，并贏得了人們的普遍關(guān)注和研究，然而人們對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)不相容性的認(rèn)識(shí)，使得它的應(yīng)用范圍卻僅限于天文學(xué)、測(cè)地學(xué)等誤差論領(lǐng)域；19世紀(jì)中葉至末期，凱特勒在社會(huì)領(lǐng)域，高爾頓等人在生物學(xué)領(lǐng)域的工作，使正態(tài)分布迅速擴(kuò)大到許多自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，并最終進(jìn)入統(tǒng)計(jì)學(xué)，成為一系列核心理論的基礎(chǔ)和導(dǎo)火索；20世紀(jì)初，以戈塞特為先驅(qū)，費(fèi)歇爾為主將，掀起了小樣本理論的革命，大大提升了正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的地位，使得用正態(tài)分布擬合數(shù)據(jù)繼續(xù)占據(jù)應(yīng)用的主流，相關(guān)回歸分析、多元分析、方差分析、因子分析等統(tǒng)計(jì)方法，陸續(xù)登上了歷史舞臺(tái)，成為推動(dòng)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)飛速發(fā)展的一個(gè)強(qiáng)大動(dòng)力。

1．1 發(fā)現(xiàn)

在概率論的研究中，棣莫弗（A．De Moiver，1667－1754）第一次引入了正態(tài)密度函數(shù)。正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)，在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間里被人遺忘了。直到1924年卡爾·皮爾遜（K．Pearson，1857－1936）著《正態(tài)曲線史》（A History of the Normal Curve）一文，重新提到棣莫弗的工作，人們才認(rèn)識(shí)到他的貢獻(xiàn)。

1733年11月12日，棣莫弗將其一篇7頁(yè)的論文送給了幾位朋友，后來(lái)，棣莫弗聽取朋友的意見做了修改，又增加一些內(nèi)容，收錄在《機(jī)遇論》（The Doctrine of Chances）（第2版）。正是在這篇文章中，他第一次導(dǎo)出了正態(tài)概率曲線的表達(dá)式。

棣莫弗指出：如果視二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)為一系列豎直線段的長(zhǎng)度，把這些線段擺在同一直線上方且與之垂直，那么線段的上端點(diǎn)將描繪出一條曲線。由此得到的曲線具有兩個(gè)拐點(diǎn)，它們分別位于最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的兩側(cè)。該曲線就是今日的正態(tài)概率曲線，進(jìn)而棣莫弗又得到以下近似公式，即在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件出現(xiàn)m次的概率之期望值滿足

棣莫弗曾說(shuō)：“我中斷了這一步的研究，后來(lái)我值得尊敬的、有學(xué)問(wèn)的朋友斯特林①James Stirling，1692－1770。先生做了進(jìn)一步的探討和研究，找到了”1774年，拉普拉斯（P．S．Laplace，1749－1827）首先證明了，并對(duì)棣莫弗的結(jié)果進(jìn)行推廣，建立了中心極限定理較一般的形式，即今天的棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理。

棣莫弗的二項(xiàng)式正態(tài)逼近的工作，是概率論應(yīng)用及統(tǒng)計(jì)學(xué)中最富有成效及最具有指導(dǎo)意義的發(fā)現(xiàn)。之后，經(jīng)拉普拉斯、俄羅斯學(xué)派等學(xué)者的努力，到20世紀(jì)30年代獨(dú)立變量和的中心極限定理最一般的形式最終完成，嗣后統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，一系列的重要統(tǒng)計(jì)量，在樣本量時(shí)，其極限分布都具有正態(tài)形式，這構(gòu)成了大樣本方法的基礎(chǔ)。如今，大樣本方法在統(tǒng)計(jì)方法中占據(jù)了很重要的地位，飲水思源，棣莫弗的工作可以說(shuō)是這一重要發(fā)展的源頭。

二項(xiàng)概率逼近的研究固然重要，可在當(dāng)時(shí)棣莫弗的工作并未引起人們更多的重視，正態(tài)曲線也僅僅停留在一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的層面，在實(shí)際應(yīng)用中還沒(méi)有找到其適合存活的土壤。

在實(shí)質(zhì)等同原則的引領(lǐng)下，美國(guó)經(jīng)過(guò)幾十年的自由蓬勃發(fā)展起來(lái)的轉(zhuǎn)基因技術(shù)領(lǐng)先全世界，在技術(shù)發(fā)展的同時(shí)，為了防止轉(zhuǎn)基因技術(shù)被濫用從而影響正常的社會(huì)秩序，美國(guó)在世界上最早開展了規(guī)范轉(zhuǎn)基因技術(shù)發(fā)展的立法實(shí)踐，建立了相比其他國(guó)家來(lái)說(shuō)非常完善的轉(zhuǎn)基因技術(shù)法律法規(guī)規(guī)范體系。

陳希孺先生認(rèn)為：棣莫弗本人并不是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)家，他從未從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)去考慮其工作的意義。棣莫弗的出發(fā)點(diǎn)始終是：把P作為一個(gè)已知值，如何在數(shù)值上去逼近二項(xiàng)式概率及其指定次數(shù)的和，而不是把看p作未知，如何通過(guò)觀察結(jié)果去對(duì)p進(jìn)行推斷的問(wèn)題。

英國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)家托德亨特（I．Todhunter，1820－1884）在其文獻(xiàn)中完全遺漏了棣莫弗的“逼近”在《機(jī)遇論》中的擴(kuò)展及其劃時(shí)代性。他沒(méi)有強(qiáng)調(diào)這是斯特林公式的起源，是正態(tài)曲線的第一次出現(xiàn)，是先于拉普拉斯和高斯的工作；他也沒(méi)有提出棣莫弗擴(kuò)展了牛頓的術(shù)語(yǔ)以及指導(dǎo)了統(tǒng)計(jì)學(xué)幾乎一個(gè)世紀(jì)的發(fā)展路線?？枴て栠d認(rèn)為托德亨特在抓住科學(xué)革命的趨勢(shì)，以及挖掘當(dāng)時(shí)與科學(xué)革命相關(guān)的思想方面幾乎全部失敗。

正是在托德亨特的影響下，棣莫弗的這篇論文才沒(méi)有被作為對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)理論和統(tǒng)計(jì)實(shí)踐有廣泛影響的原則被使用，我們現(xiàn)在所知的正態(tài)分布也沒(méi)有被稱作“棣莫弗分布”②"Stigler命名律"這篇文章最初發(fā)表在紀(jì)念美國(guó)著名社會(huì)學(xué)家R．K．Merto的論文集"Science and social structure"上。"沒(méi)有什么科學(xué)發(fā)現(xiàn)是以他的最初發(fā)明者命名的"這一說(shuō)法最初就是來(lái)源于Merton，Stigler將其文章的題目命為"Stigler命名律"，就是為了以一種強(qiáng)烈與幽默的方式，表達(dá)這一規(guī)律的有效性。。在這種意義下，我們可以看出史學(xué)家在科學(xué)的傳播和發(fā)展中所起到的向?qū)宰饔?。由此看，在棣莫弗時(shí)代，使正態(tài)分布作為一種有效的概率模型的時(shí)機(jī)還遠(yuǎn)不成熟。

1．2 再生

無(wú)論是對(duì)自然現(xiàn)象還是對(duì)社會(huì)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)，總會(huì)產(chǎn)生誤差，這一點(diǎn)在很早以前人們就注意到了，但是對(duì)于其觀測(cè)值所呈現(xiàn)出的隨機(jī)性，人們總是認(rèn)識(shí)模糊，眾說(shuō)紛紜，不能達(dá)成統(tǒng)一。進(jìn)入18世紀(jì)，數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出一個(gè)很重要的特征：“工作的目標(biāo)不是數(shù)學(xué)，而是求解社會(huì)問(wèn)題；數(shù)學(xué)是實(shí)現(xiàn)實(shí)踐目的的一種方法”。這段時(shí)期，數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)的主體。數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析，由于分析方法廣泛而卓有成效的應(yīng)用，致使天文學(xué)和物理學(xué)變得數(shù)學(xué)化起來(lái)；隨著科學(xué)數(shù)學(xué)化進(jìn)程的深入，概率論的地位也就日益增強(qiáng)，它不僅得到傳統(tǒng)哲學(xué)和神學(xué)的認(rèn)可，而且為眾多的科學(xué)成果所證實(shí)。這樣，概率論就進(jìn)入到廣泛應(yīng)用的時(shí)期，而把概率論應(yīng)用到描述誤差的問(wèn)題中來(lái)就推動(dòng)了誤差論的發(fā)展。

天文學(xué)家伽利略（G．Galileo，1564－1642）可能是第一個(gè)提出隨機(jī)誤差概念并對(duì)其有所研究的學(xué)者。他在1632年出版的著作《關(guān)于兩個(gè)主要世界系統(tǒng)的對(duì)話》中提及這個(gè)問(wèn)題。雖然他沒(méi)有提出“隨機(jī)”和“分布”這樣的概念，而是使用“觀測(cè)誤差”的名稱，但他揭示了正態(tài)概率定律的許多特征，所描述的性質(zhì)實(shí)則為現(xiàn)在的隨機(jī)誤差分布。

1809年，高斯（Gauss，1777－1855）發(fā)表論著《天體運(yùn)行論》，在該書末尾，他寫了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”的問(wèn)題，以極其簡(jiǎn)單的手法導(dǎo)出誤差分布——正態(tài)分布①這個(gè)分布第一次在1893年被卡爾·皮爾遜稱為正態(tài)分布。，并用最小二乘法②最小二乘法最早出現(xiàn)在勒讓德（Legendre，1752－1833）于1805年發(fā)表的論著《計(jì)算彗星軌道的新方法》附錄中。該附錄占據(jù)了這本80頁(yè)小冊(cè)子的最后9頁(yè)，在前面關(guān)于衛(wèi)星軌道計(jì)算的討論中沒(méi)有涉及最小二乘法，可以推測(cè)他當(dāng)時(shí)感到這一方法尚不成熟。關(guān)于最小二乘法，高斯宣稱自1795年以來(lái)他一直使用這個(gè)原理，這立刻引起了勒讓德的強(qiáng)烈反擊，他提醒說(shuō)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)只能以出版物確定，并嚴(yán)斥高斯剽竊了他人的發(fā)明，他們間的爭(zhēng)執(zhí)延續(xù)了多年。因而，這兩位數(shù)學(xué)家之間關(guān)于優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論，在數(shù)學(xué)史上的知名度僅次于牛頓和萊布尼茲之間關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論?，F(xiàn)在一般認(rèn)為，二人各自獨(dú)立地發(fā)明了最小二乘法，盡管早在10年前，高斯就使用這個(gè)原理，但第一個(gè)用文字形式發(fā)表的是勒讓德，高斯較之于勒讓德把最小二乘法推進(jìn)得更遠(yuǎn)，他由誤差函數(shù)推導(dǎo)出這個(gè)方法并詳盡闡述了最小二乘法的理論依據(jù)。加以驗(yàn)證。

最小二乘法在19世紀(jì)初發(fā)明后，很快得到歐洲一些國(guó)家的天文學(xué)家和測(cè)地學(xué)家的廣泛關(guān)注。誤差的分布是“正態(tài)”的，也立刻得到天文學(xué)家的關(guān)注及大量經(jīng)驗(yàn)的支持。如貝塞爾（Bessel，1784－1846）對(duì)幾百顆星球作了三組觀測(cè)，并比較了按照正態(tài)規(guī)律在給定范圍內(nèi)的理論誤差值和實(shí)際值，對(duì)比表明它們非常接近一致。拉普拉斯在1810年也給出了正態(tài)規(guī)律的一個(gè)新的理論推導(dǎo)并寫入其《分析概率論》中。

正態(tài)分布作為一種統(tǒng)計(jì)模型，在19世紀(jì)極為流行，一些學(xué)者甚至把19世紀(jì)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)稱為正態(tài)分布的統(tǒng)治時(shí)代。在其影響下，最小二乘法也脫出測(cè)量數(shù)據(jù)意義之外而發(fā)展成為一個(gè)包羅極大，應(yīng)用極其廣泛的統(tǒng)計(jì)模型。到20世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展后，高斯研究成果的影響更加顯著。

總之，高斯對(duì)誤差正態(tài)分布的提出，以及與之相伴的最小二乘法和中心極限定理一般形式的誕生，對(duì)后世的影響極大，這也使正態(tài)分布同時(shí)有了“高斯分布”的名稱?，F(xiàn)今德國(guó)10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線，這無(wú)疑傳達(dá)了一種觀念：在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類文明影響最大者就是正態(tài)分布，這也充分預(yù)示了正態(tài)分布之后在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中所取得的重要性地位。

1．3 融合

把正態(tài)分布的舞臺(tái)拓展出去的當(dāng)屬凱特勒（A．Quetelet，1796－1874），他與正態(tài)曲線有關(guān)的工作分為兩個(gè)方面：一是把誤差理論應(yīng)用到新的領(lǐng)域，二是“平均人”的概念。前者的靈感來(lái)源于人口普查，后者則是使統(tǒng)計(jì)方法獲得廣泛應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。二者相輔相成，共同構(gòu)成了凱特勒思想的根基。他首次強(qiáng)調(diào)了正態(tài)分布的用途，并將以它為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用到天文學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)及氣象學(xué)等研究范圍，在他的影響下，正態(tài)分布獲得了普遍認(rèn)可和廣泛應(yīng)用，以至有些學(xué)者認(rèn)為19世紀(jì)是正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中占統(tǒng)治地位的時(shí)代。

在凱特勒的啟發(fā)下，高爾頓（A．Galton，1822－1911）對(duì)正態(tài)分布懷有濃厚的興趣，最早把統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于生物學(xué)，他繼續(xù)研究和推廣正態(tài)曲線，提出了中位數(shù)、四分位數(shù)、百分位數(shù)及四分位偏差等概念，并創(chuàng)立了回歸分析，對(duì)英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的興起起到了奠基性作用。

用他自己的語(yǔ)言可以最生動(dòng)地描述這一點(diǎn)：“我第一次對(duì)誤差的高斯定律——正規(guī)曲線產(chǎn)生興趣應(yīng)歸功于一篇討論某高山群海拔的地理學(xué)論文，我充分理解了他所展示的這個(gè)漂亮定律的廣泛應(yīng)用，之后我更是嘗到了熟悉凱特勒工作的樂(lè)趣。我?guī)缀醪恢肋€有什么可以像誤差的頻數(shù)定律所表示的和諧秩序這樣使人印象深刻，如果希臘人知道它的話，一定會(huì)把它奉為神靈來(lái)祭拜。它在最激烈的雜亂中平靜地盛行著，并且不求聞達(dá)。”

他與凱特勒一樣相信正態(tài)曲線是“適用于無(wú)數(shù)情況”的一般法則。他最早把統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于生物學(xué)，并作了兩點(diǎn)突破：第一，他指出，若干個(gè)同質(zhì)數(shù)據(jù)的混合體，可借助正態(tài)分布分離開，他極其廣泛地搜集資料，目的就在于探索把大量已知數(shù)目歸納為能夠用于描述和比較的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式的途徑和方法；第二，引進(jìn)了“統(tǒng)計(jì)尺度”的概念，把非數(shù)量性指標(biāo)（如智力）數(shù)量化，從而能夠進(jìn)行計(jì)算和比較，并指出：同一物種若其某數(shù)量性指標(biāo)（如身高）可用正態(tài)曲線擬合，則其他指標(biāo)也可用正態(tài)分布擬合，這種思想在心理學(xué)和教育學(xué)中出現(xiàn)了很多追隨者。

然而，這種無(wú)所不在的正態(tài)性也給高爾頓帶來(lái)一些困惑：“身高曲線和正態(tài)曲線之間的一致性，形成了我對(duì)自然遺傳定律研究的主要依靠。數(shù)學(xué)家基于描述誤差的目的發(fā)現(xiàn)了誤差定律，我們現(xiàn)在正帶著另一種目的去利用他們的勞動(dòng)成果?！?，“但是總有機(jī)會(huì)去正當(dāng)?shù)匾苫螅⒃谡`差定律嚴(yán)格性基礎(chǔ)上的結(jié)論在逼近變量之間的相互作用時(shí)是否正確。當(dāng)我們把理論上的結(jié)論放在頻率試驗(yàn)中檢驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)人類學(xué)者可能在使用誤差頻數(shù)定律的性質(zhì)上比以前少了很多猶豫”。

高爾頓首先發(fā)現(xiàn)親子兩代身高數(shù)據(jù)服從同一正態(tài)分布，這引發(fā)了他兩方面的考慮：①按照中心極限定理所述，正態(tài)分布是由大量微小因素的影響而形成的，但眾所周知遺傳是一個(gè)顯著性因素，這應(yīng)如何解釋？②身高作為一種遺傳性狀，其優(yōu)勢(shì)傳遞給下一代，應(yīng)出現(xiàn)兩極分化的態(tài)勢(shì)，但子代身高穩(wěn)定的正態(tài)分布與此相悖。這成為他相關(guān)回歸思想產(chǎn)生的萌芽，帶著這些困惑，他開始對(duì)由實(shí)驗(yàn)和抽樣得來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。高爾頓首先借助兩個(gè)類比實(shí)驗(yàn)，分別回答了這兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)是“正態(tài)漏斗”實(shí)驗(yàn)。他利用許多小球從漏斗中落下，途經(jīng)有規(guī)律安置的障礙物，最終形成的正態(tài)曲線為例，以及在途中安插適當(dāng)?shù)拈y門，形成大小不同的球源，繼續(xù)下落，最終仍形成正態(tài)分布的結(jié)果，指出遺傳作為一個(gè)顯著性因素，仍可以分解為大量微小因素作用的疊加，這就與中心極限定理相一致了。高爾頓的發(fā)現(xiàn)表明，同質(zhì)性表面的背后包含了許多“異質(zhì)”的成分，這進(jìn)一步回答了正態(tài)分布得以廣泛應(yīng)用的原因。第二個(gè)是種豌豆試驗(yàn)。1875年，他挑選了大小不同的豌豆種子，并分派不同的人去種。1877年，他對(duì)親子代的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行分析，得到重大發(fā)現(xiàn)：相同大小的種子的后代仍符合正態(tài)分布，且方差與種子大小無(wú)關(guān)；子代的平均與母代的大小有對(duì)應(yīng)關(guān)系，且有向母代平均線性收縮的趨勢(shì)，總朝著一般平均數(shù)發(fā)展，這就初步回答了子代均值與母代一樣的原因。

8年后，為進(jìn)一步驗(yàn)證他的解釋，高爾頓成立了一個(gè)“人體測(cè)量實(shí)驗(yàn)室”。他向社會(huì)征求了205對(duì)夫婦及他們的928個(gè)成年子女的身高數(shù)據(jù)，并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。他把父母的平均身高作為母代變量x，把子代變量記為y（其中，女子身高乘以1．08），并把相應(yīng)的數(shù)據(jù)繪制成二維的，就發(fā)現(xiàn)相等強(qiáng)度的數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)在一條橢圓曲線上。于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為去尋找一個(gè)（x，y）的二維分布，來(lái)解釋這一現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)家狄克遜的幫助下，他很快得到了二維正態(tài)分布的答案。雖然早在1846年，法國(guó)天文學(xué)家布雷瓦斯已經(jīng)對(duì)二元和三元正態(tài)分布進(jìn)行過(guò)探討，但他并沒(méi)有提到任何“相關(guān)”的術(shù)語(yǔ)。1886年，高爾頓發(fā)表了有關(guān)這種觀察的論文，提出父子之間的身高，有顯著的相關(guān)性：父代身材高，則子代的平均身材也高；但是從子代的組別觀察中，發(fā)現(xiàn)有退步現(xiàn)象，即“回歸”到父代平均數(shù)去。1888年，高爾頓在《自然遺傳》中，提出了中位數(shù)、四分位數(shù)、百分位數(shù)及四分位偏差等概念，引進(jìn)了回歸直線，并賦予相關(guān)概念前所未有的重要性，成為相關(guān)回歸理論的奠基者。這一理論后經(jīng)埃其渥斯、卡爾·皮爾遜等人的發(fā)展，成為一種得力的統(tǒng)計(jì)方法。

這樣，由于凱特勒和高爾頓的創(chuàng)新思想與實(shí)干精神的結(jié)合，正態(tài)分布逐步完成了從丑小鴨向白天鵝的蛻變。如果說(shuō)，充斥著偶然性的世界是一個(gè)紛亂的世界，那么，正態(tài)分布為這個(gè)紛亂的世界建立了一定的秩序，直達(dá)理論的核心地位，使得偶然性現(xiàn)象在數(shù)量上被計(jì)算和預(yù)測(cè)成為可能。worth，1845－1926）、卡爾·皮爾遜和威爾頓（W．

1．4 影響

進(jìn)入現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)時(shí)期，以埃其渥斯（F．Edgeworth，1845－1926）、卡爾·皮爾遜和威爾頓（W．F．R．Weldon，1860－1906）等人為先導(dǎo)，引發(fā)了正態(tài)分布及其相關(guān)理論的一系列創(chuàng)新和深化。

在20世紀(jì)以前，統(tǒng)計(jì)學(xué)所處理的數(shù)據(jù)一般都是大量的、自然采集的，所用的方法以拉普拉斯中心極限定理為依據(jù)，總是歸結(jié)到正態(tài)。這種大樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)的頂峰和押陣大將，當(dāng)屬卡爾·皮爾遜。到了19世紀(jì)末期，數(shù)據(jù)與正態(tài)擬合不好的情況也日漸為人們所注意：凱特勒曾建議用二項(xiàng)分布去擬合“偏態(tài)”數(shù)據(jù)——這個(gè)思想后來(lái)成為卡爾·皮爾遜引進(jìn)其著名的曲線族的出發(fā)點(diǎn)；高爾頓也認(rèn)識(shí)到，一組觀測(cè)值的幾何均值可能更好地表示估計(jì)的最可能值，如果是這樣的話，觀測(cè)值的對(duì)數(shù)可以被假設(shè)服從正態(tài)分布，這就導(dǎo)致了對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這也激發(fā)了卡爾·皮爾遜的工作；而直接吸引卡爾·皮爾遜注意力的是1892年威爾頓的提問(wèn)，他在用正態(tài)曲線去擬合一組“那波里蟹”體寬數(shù)據(jù)時(shí)，得到一個(gè)雙峰分布，并告知了皮爾遜，這引發(fā)了卡爾·皮爾遜的一系列成就。

皮爾遜首先認(rèn)為這可能是兩個(gè)正態(tài)分布的混合，于是給出復(fù)合分布函數(shù)去擬合，并提出用矩方法去估計(jì)其參數(shù)。隨后，卡爾·皮爾遜認(rèn)為，統(tǒng)計(jì)學(xué)需要的是一種能把觀測(cè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)預(yù)測(cè)模型的方法，于是他希望找出一族曲線，去擬合從實(shí)際問(wèn)題中得來(lái)的數(shù)據(jù)，以便在正態(tài)分布不適用時(shí)可供選擇使用。1892－1895年，他依賴清晰的表達(dá)能力、精湛的數(shù)學(xué)功底以及堅(jiān)持自我的精神在這項(xiàng)工作中獲得了成功，并以《數(shù)學(xué)用于進(jìn)化論》為總題目發(fā)表了一系列論文。由于正態(tài)分布在人們心中根深蒂固的地位，卡爾·皮爾遜的曲線族在當(dāng)時(shí)同樣引發(fā)了一場(chǎng)爭(zhēng)論，并由于各種理由不被絕大多數(shù)學(xué)者承認(rèn)，但它同對(duì)數(shù)正態(tài)分布、極值分布等分布一樣，終究為人們提供了一種有用的工具，擴(kuò)大了統(tǒng)計(jì)方法的武庫(kù)。在理論上，多元正態(tài)分布的重要意義在于：它把起初純屬于誤差分析的線性模型理論與“統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)”的分析溝通起來(lái)。1892年，埃其渥斯從兩元、三元以及四元變量開始工作，對(duì)于多元正態(tài)分布給出了第一個(gè)陳述。1896年，卡爾·皮爾遜在此基礎(chǔ)上給出了更加明確的推導(dǎo)，并發(fā)展了一套比高爾頓的相關(guān)理論更一般化和精確化的復(fù)相關(guān)和多重回歸理論，他指出，這樣一個(gè)理論對(duì)于回答威爾頓提出的那類問(wèn)題是很有必要的。在試圖把數(shù)據(jù)擬合到他的頻數(shù)曲線上時(shí)，卡爾·皮爾遜面臨對(duì)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的需要，這使他于1900年建立了作為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)牢固基礎(chǔ)的x2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

進(jìn)入20世紀(jì)之后，人工試驗(yàn)條件下所得數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析問(wèn)題，日漸被人們所重視。由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)量有限，那種依賴于近似正態(tài)分布的傳統(tǒng)方法開始招致質(zhì)疑，這促使人們研究這種情況下正確的統(tǒng)計(jì)方法問(wèn)題。卡爾·皮爾遜的理論指導(dǎo)和在釀酒公司工作的經(jīng)歷使得戈塞特（W．S．Gosset，1876－1937）具備了研究小樣本問(wèn)題的良好條件。1908年，他發(fā)表著名論文《均值的或然誤差》（The Probable Error of a Mean），提出了正態(tài)樣本中樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比值的t分布，并給出了應(yīng)用上極其重要的第一個(gè)分布表格。雖然其推導(dǎo)有一些漏洞，但這并不影響其在歷史上的功績(jī)。

隨后費(fèi)歇爾（R．A．Fisher，1890－1962）為解決這些漏洞，開始了與哥塞特的通信及長(zhǎng)達(dá)二十余年的友誼和研究。費(fèi)歇爾發(fā)展了“n維幾何”的方法，這成為正態(tài)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布中一個(gè)極為有力的方法。自1915年開始，沿用這個(gè)方法費(fèi)歇爾獲得了一些應(yīng)用上極重要的統(tǒng)計(jì)量如相關(guān)系數(shù)，正態(tài)樣本中絕對(duì)偏差、回歸系數(shù)、相關(guān)比、多重回歸和偏相關(guān)系數(shù)等的分布，以及來(lái)自兩個(gè)正態(tài)總體的樣本方差的比值的分布。同時(shí)，他發(fā)展了估計(jì)，充分性，似然，推斷，方差分析和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想，使得正態(tài)性假設(shè)在統(tǒng)計(jì)分析中發(fā)揮了關(guān)鍵性作用。此后，有關(guān)相關(guān)回歸分析中一些重要統(tǒng)計(jì)量的精確分布如t分布、f分布以及x2分布的產(chǎn)生，與多維正態(tài)分布一起，始終雄踞于統(tǒng)計(jì)學(xué)的要津，發(fā)揮關(guān)鍵性作用。至此，這場(chǎng)革命再次從理論上鑒定了正態(tài)分布的基礎(chǔ)性作用，在費(fèi)歇爾的推動(dòng)下，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)開始出現(xiàn)各種分支并迅速發(fā)展起來(lái)。

2 結(jié) 語(yǔ)

正態(tài)分布從提出時(shí)的不受重視到之后在統(tǒng)計(jì)學(xué)中大行其道的歷史過(guò)程，精辟地詮釋了在發(fā)展的不同階段概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)理論間的相互影響，成為相關(guān)研究的一個(gè)理論典范！

在統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的歷史中，沒(méi)有哪一個(gè)理論，象正態(tài)分布那樣被廣泛地發(fā)展。人們總是設(shè)法利用改進(jìn)了的新觀念和新方法，去研究該理論的應(yīng)用基礎(chǔ)及其數(shù)學(xué)性質(zhì)，它的產(chǎn)生和發(fā)展，它的新理論和新應(yīng)用，它的傳遞性和同其它理論的相互作用，推動(dòng)了整個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展。

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