羅繼偉，伍海云

（1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 491039；2.奧新（廈門）軸承有限公司，福建 廈門 361021）

1 前言

在滾動軸承標(biāo)準(zhǔn)中，推力球軸承基本額定壽命的計算公式為［1］：

式中：Ca為額定動載荷；Pa為與實際載荷等效的當(dāng)量載荷。標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的計算公式為：

式中：Fr和Fa分別是作用于軸承上的徑向載荷和軸向載荷；X和Y分別為徑向和軸向系數(shù)。

在（2）式中，沒有考慮力矩的影響。實際上，如圖1所示，力矩雖然不會改變徑向載荷或軸向載荷的總量，但將改變軸承中鋼球接觸載荷的分布，從而降低軸承的壽命。

圖1 鋼球載荷分布

文中將考慮推力球軸承在軸向力和力矩作用下鋼球的實際載荷分布，并用Lundberg和Palmgren的方法（簡稱L-P方法）計算軸承的疲勞壽命［2］，在此基礎(chǔ)上擬合出力矩與增量當(dāng)量載荷之間的關(guān)系，從而在標(biāo)準(zhǔn)方法中計入力矩載荷的影響。

2 鋼球接觸載荷分布

在軸向力Fa和傾覆力矩M作用下，推力球軸承將產(chǎn)生軸向位移δa和轉(zhuǎn)角θ。由于這兩個位移，在位置角為φ的鋼球處，內(nèi)圈溝曲率中心Oi將相對于外圈溝曲率中心Oe產(chǎn)生軸向位移δai，如圖2所示。

圖2 推力球軸承變形與接觸載荷

式中：Dpw為球組節(jié)圓直徑；下標(biāo)i表示第i個滾子（i＝1，2，…，Z），Z為鋼球數(shù)。假設(shè)接觸角α不發(fā)生變化，則接觸法向位移為：

由Hertz點接觸理論，鋼球接觸載荷Qi為：

式中：K為剛度系數(shù)，由軸承的材料和幾何參數(shù)確定［3］。軸承的平衡方程可表示為：

（6）式是以δa和θ為未知量的非線性方程組，求解它可以獲得鋼球接觸載荷Qi。

3 基于鋼球載荷分布的軸承壽命計算

早在1947年，Lundberg和Palmgen就在理論分析和大量試驗研究的基礎(chǔ)上提出了滾動軸承額定動載荷和疲勞壽命的理論［2］。這個理論經(jīng)過一定的假設(shè)和簡化演變成目前標(biāo)準(zhǔn)中給出的簡潔的疲勞壽命計算公式。直至今日，這個理論的基本內(nèi)容仍然適用，只是隨著軸承材料和加工工藝的進(jìn)步，對其中的部分內(nèi)容做了修正和補充。

按照L-P理論，軸承套圈的額定壽命可表示為：

式中：Qc為套圈的額定動載荷；Qe為套圈的當(dāng)量載荷。對于推力球軸承，套圈的額定動載荷可表示為：

式中：f為溝曲率半徑系數(shù)；Dw為鋼球直徑；γ＝Dwcosα／Dpw。（8）式中的上、下算符分別適用于內(nèi)、外圈。當(dāng)α＝90°時，由于γ＝0，γ／cosα＝Dw／Dpw，于是（8）式變?yōu)椋?/p>

對于相對于作用載荷旋轉(zhuǎn)的套圈，其當(dāng)量載荷Qeμ為：

因此，旋轉(zhuǎn)套圈的疲勞壽命Lμ為：

對于相對于作用載荷靜止的套圈，其當(dāng)量載荷為：

因此，非旋轉(zhuǎn)套圈的疲勞壽命為：

則軸承的基本額定壽命為：

這里分別采用L-P方法和標(biāo)準(zhǔn)方法計算某型號推力球軸承在Fa＝20 000 N，M＝300 000 N·mm作用下的壽命。已知Dw＝22.225 mm，Z＝16，Dpw＝140 mm，α＝90°，fi＝fe＝0.535，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)。

求解平衡方程（6）得到表1所示的結(jié)果。由于軸承受力對稱，表中只列出了一半鋼球的載荷。按照L-P理論得：

而按照標(biāo)準(zhǔn)方法計算，則：

對比計算結(jié)果可知，Ls比LLP高了約30%。顯然，標(biāo)準(zhǔn)方法中不考慮力矩的影響是不合適的。

表1 鋼球接觸載荷

4 計入力矩影響的標(biāo)準(zhǔn)方法的修正

4.1 軸向載荷增量與力矩的關(guān)系

對于在軸向力和力矩作用下的軸承壽命LLP，總可以找到一個當(dāng)量軸向載荷P′a，由它按（1）式計算壽命L′s＝LLP。如圖3所示，可以將P′a表示為：

式中：λ為增量載荷系數(shù)，λ＝ΔFa／Fa；ΔFa是與M在壽命上相當(dāng)?shù)妮S向載荷增量。

圖3 力矩與其相當(dāng)?shù)妮S向載荷增量

如果已知壽命LLP，則可根據(jù)壽命對等原則確定系數(shù)λ，從而可確定相應(yīng)的當(dāng)量載荷P′a。為此，令

于是這樣做必須首先求解平衡方程（6）獲得鋼球的載荷分布，因此是比較麻煩的。反過來，如果能找到λ與Fa和M的關(guān)系式，則可事先確定λ的值獲得當(dāng)量載荷P′a，然后就可按標(biāo)準(zhǔn)方法計算軸承的壽命。

式中：Qmax＝K（0.5Dpwθsinα）1.5。

圖4 力矩與鋼球載荷

由力矩平衡方程得：

表2 λ計算結(jié)果

圖5 M／（D pw F a）-λ曲線

4.2 標(biāo)準(zhǔn)方法的修正

可以根據(jù)載荷Fa和M，由（19）式確定λ，然后用（15）式確定P′a，則（1）式變?yōu)椋?/p>

4.3 實例分析

例1，已知Ca＝142 kN，用（20）式計算表1中的軸承在Fa＝20 kN和不同力矩作用下的額定壽命，并比較與LLP壽命的相對誤差ε。該計算結(jié)果如表3所示。

表3 L′s及ε的計算結(jié)果

例2，已知Dw＝15.875 mm，Z＝15，Dpw＝85 mm，α＝60°，fi＝fe＝0.535，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)；Fa＝20 kN，M＝150 kN·mm，分別用修正的標(biāo)準(zhǔn)方法和L-P方法計算軸承壽命，并比較二者的誤差。

按照修正的標(biāo)準(zhǔn)方法，Ca＝68.75 kN，P′a＝21.18 kN；則L′s＝34.2×106r。

按L-P方法得：LLP＝35.0×106r。則相對誤差ε＝2.2%，兩者計算結(jié)果相差不大。因此，用修正的標(biāo)準(zhǔn)方法可以很方便地準(zhǔn)確計算出軸承的壽命。

5 討論

由（18）式確定的僅在力矩作用下鋼球最大載荷必須滿足以下條件：

如果不滿足以上條件，則圓周上只有部分鋼球受載，這種情況對于推力軸承來說是不容許的。該式取等式時為軸承圓周上全部鋼球受載的臨界狀態(tài)，如圖6所示。

圖6 圓周受載的臨界狀態(tài)

當(dāng)軸承同時承受徑向載荷時，情況將變得比較復(fù)雜，本文未考慮這種情況。