黃振平

(江蘇省靖江高級(jí)中學(xué),江蘇靖江 214500)

2008年江蘇高考物理題中出現(xiàn)了擺線的曲線半徑,在運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法推導(dǎo)開普勒第二定律中遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)速度關(guān)系時(shí)也要用到曲率半徑,而曲率半徑在數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的意義和表達(dá)式.在中學(xué)階段,也可用物理方法求運(yùn)動(dòng)軌道的曲率半徑,下面給出幾種典型曲線運(yùn)動(dòng)的曲率半徑.

圖1

解析:如圖 1,把質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)互相垂直的同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的疊加.設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

對(duì)應(yīng)的軌道方程就是題中給出的橢圓方程.

A(a,0)的速度vA是切向速度,又是質(zhì)點(diǎn)在y方向振動(dòng)時(shí)的速度振幅,有

此處質(zhì)點(diǎn)受力沿x方向,即曲線的法向,大小為

法向加速度為

由(3)式和(5)式得到 A(a,0)處曲率半徑為

同理求得B(0,b)處切向速度、法向加速度、曲率半徑分別為

圖2

例2.如圖 2,一物體作初速為v0的平拋運(yùn)動(dòng),得到一拋物線軌跡,求在拋物線上任一點(diǎn)處的曲率半徑.

解析:圖2中的拋物線方程可寫為

拋體的運(yùn)動(dòng)方程為

消去t得軌道方程

所以

設(shè) t時(shí)刻拋射體抵達(dá)P點(diǎn),其坐標(biāo)為(x,y).為得到此處曲率半徑ρ,可利用圖中速率v和法向加速度an求得.

因?yàn)?vx=v0,vy=gt,所以又 an=得到

例3.一個(gè)剛性圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng),圓輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)歷的軌跡稱為滾線(又稱旋輪線、擺線).所謂純滾動(dòng)就是圓輪與直線軌道的接觸點(diǎn)無相對(duì)運(yùn)動(dòng).設(shè)圓輪半徑為R.試求滾線上各點(diǎn)的曲率半徑.

圖3

解析:滾線形狀與圓輪滾動(dòng)快慢無關(guān).選定一種圓輪滾動(dòng)的方式,圓心O′以不變的速度v0沿直線軌道向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)圓輪繞圓心 O′以不變的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),為保證圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng),應(yīng)有關(guān)系式

設(shè)圓輪滾動(dòng)φ角,P點(diǎn)達(dá)圖3所示位置,P點(diǎn)瞬時(shí)速度為

其方向必沿滾線在P點(diǎn)的切線方向.P點(diǎn)的加速度為

此處已利用 v0是常量,輪心作勻速運(yùn)動(dòng).vP′是P點(diǎn)相對(duì)O′的相對(duì)速度.此式說明,由于牽連加速度為零,絕對(duì)加速度等于相對(duì)加速度.故有

方向由P指向O′.因此,P點(diǎn)的法向加速度為

這里P點(diǎn)處曲線的法向?yàn)锳P方向.由(1)、(2)式,得 P點(diǎn)曲率半徑為

這就是各φ處曲線的曲率半徑.

例4.一雜技演員在圓筒建筑物內(nèi)壁表演飛車走壁.演員騎摩托車從底部開始運(yùn)動(dòng),隨著速度增加,圈子越來越大,最后進(jìn)入圓筒形直壁上行駛.開始在直壁上同一高度內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),繼而又在直壁上作等距螺旋運(yùn)動(dòng).已知圓筒直壁的半徑為 R,摩托車行駛速率為 v(勻速率運(yùn)動(dòng)),演員和摩托車的總質(zhì)量為M.求:摩托車在圓筒形內(nèi)壁上作等距螺旋線運(yùn)動(dòng)時(shí)螺旋軌道的曲率半徑[如圖4(a),設(shè)螺距為h].

圖4

解析:摩托車作等距螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速率v不變,無切向加速度.設(shè)摩托車的速度分解成水平方向速度 v水和豎起方向速度v豎,由于摩托車作等距螺旋運(yùn)動(dòng),且運(yùn)動(dòng)中速率不變,所以可以知道,v豎在運(yùn)動(dòng)中方向和大小均保持不變;v水在運(yùn)動(dòng)中大小不變,方向不斷變化,其運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于同一水平面內(nèi)作半徑為 R的勻速圓周運(yùn)動(dòng).則

摩托車的加速度為

從摩托車運(yùn)動(dòng)的角度寫出法向加速度.盡管螺旋線是一條三維空間的曲線,但可以用與二維平面曲線確定曲率半徑相類似的原則來確定螺旋線的曲率半徑.因?yàn)樵谌S曲線上取一小線元,當(dāng)線元趨于零時(shí),必將趨于同一平面上的小圓弧,對(duì)應(yīng)的圓弧半徑就是在該處的曲率半徑.由此可以寫出法向加速度.因等距螺旋線的對(duì)稱性,各處的曲率半徑相同,設(shè)為ρ,摩托車作螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的法向加速度可以寫為

兩式比較得

利用摩托車在筒壁繞一圈的幾何關(guān)系,如圖4(b),得到

代入ρ的表達(dá)式,得螺旋線曲率半徑為