張世強(qiáng)，呂杰能，蔣 崢，張 雷

(重慶醫(yī)科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室，重慶 400016)

基于模糊綜合評(píng)判的決策模型幾乎在所有的模糊數(shù)學(xué)教科書(shū)及關(guān)于模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用的專著中都會(huì)提到，其基本模型是許多涉及到模糊綜合決策的應(yīng)用性論文常用的模型[1],[2]?！督y(tǒng)計(jì)與決策》2005年11期刊載的“基于模糊綜合評(píng)判下的決策模型”再次介紹了該基本模型，并給出了“成功決策”的實(shí)例[3]。針對(duì)該實(shí)例，《統(tǒng)計(jì)與決策》2006年12期刊載的“一種不合理的模糊綜合評(píng)判下的決策模型”則指出該實(shí)例對(duì)應(yīng)的決策會(huì)出現(xiàn)自相矛盾的結(jié)果[4]。即基于模糊綜合評(píng)判的基本決策模型是有缺陷的，其根源來(lái)源于基本模型在進(jìn)行模糊綜合決策時(shí)使用的算子。本文將給出消除該缺陷的方法。

1 基本決策模型

設(shè)評(píng)價(jià)對(duì)象具有m個(gè)屬性，構(gòu)成的因素集合記為U={u1，u2，…，um}；對(duì)于各個(gè)因素，可能取得 n 個(gè)評(píng)價(jià)，構(gòu)成的評(píng)價(jià)集合記為 V={v1，v2，…，vn}。

對(duì)于評(píng)價(jià)對(duì)象的每一個(gè)屬性或因素ui都有一個(gè)模糊決策集合 Ri={ri1，ri2，…，rin}∈F(U×V)，m 個(gè)屬性或因素共有 m 個(gè)模糊決策集合，可以用模糊矩陣表示為：

稱R為因素決策矩陣。

如果評(píng)價(jià)對(duì)象的m個(gè)因素的權(quán)重分配集合為A={a1，a2，…，am}，則模糊決策矩陣B可由下式求出：

其中，算符“?”表示模糊合成運(yùn)算。

在廣義模糊運(yùn)算下，模糊決策矩陣B的第j個(gè)元素的計(jì)算式為：

其中“▽”表示廣義模糊“與”運(yùn)算；“△”表示廣義模糊“或 ”運(yùn)算。按此運(yùn)算獲得的模糊決策矩陣B簡(jiǎn)記為模糊決策模型 M(▽，△)。

模糊數(shù)學(xué)教科書(shū)及關(guān)于模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用的專著中給出的基于模糊綜合評(píng)判的基本決策模型一般有如下四類。

基本決策模型一：M(∧，∨)。

用取小運(yùn)算符“∧”代替廣義模糊算子“▽”；用取大運(yùn)算符“∨”代替廣義模糊算子“△”。此時(shí)，模糊決策矩陣B的第j個(gè)元素的計(jì)算式為：

基本決策模型二：M(·，∨)。

用普通乘法運(yùn)算符“·”代替廣義模糊算子“▽”；用取大運(yùn)算符“∨”代替廣義模糊算子“△”。此時(shí)，模糊決策矩陣B的第j個(gè)元素的計(jì)算式為：

基本決策模型三：M(·，⊕)。

用普通乘法運(yùn)算符“·”代替廣義模糊算子“▽”；用運(yùn)算符“⊕”代替廣義模糊算子“△”，其中運(yùn)算符“⊕”定義為：

此時(shí)，模糊決策矩陣B的第j個(gè)元素的計(jì)算式為：

基本決策模型四：M(·，+)。

用普通乘法運(yùn)算符“·”代替廣義模糊算子“▽”；用普通加法運(yùn)算符“+”代替廣義模糊算子“△”。此時(shí)，模糊決策矩陣B的第j個(gè)元素的計(jì)算式為：

另外還有一些類似的基本決策模型，不再贅述。之所以會(huì)出現(xiàn)如此多的所謂的“基本決策模型”，其原因是當(dāng)初采用“基本決策模型一”時(shí)，出現(xiàn)了“決策失效”的情況。為了解決該問(wèn)題，于是就派生出了這些“基本決策模型”。不幸的是，這些“基本決策模型”總會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題。更不幸的是，創(chuàng)造這些“基本決策模型”的人沒(méi)有從根本上去找發(fā)生問(wèn)題的原因，而始終在做一些查漏補(bǔ)缺的工作。

文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn)這些“基本決策模型”出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，給出的分析是：

模型一為“主因素決定型”。但對(duì)于有的問(wèn)題，可能會(huì)丟失很多的信息，因而得到的結(jié)果有些粗糙。解決的方法是不將評(píng)價(jià)對(duì)象的m個(gè)因素的權(quán)重分配集合A={a1，a2，…，am}歸一化，或者采用模型三或模型四。

模型二為“主因素突出型”。評(píng)價(jià)對(duì)象的m個(gè)因素的權(quán)重分配集合 A={a1，a2，…，am}不必歸一化。

表1

表2

模型三和模型四為“加權(quán)平均型”。評(píng)價(jià)對(duì)象的m個(gè)因素的權(quán)重分配集合 A={a1，a2，…，am}應(yīng)該歸一化。

為了說(shuō)明這些“基本決策模型”及其給出的分析有效，文獻(xiàn)[2]給出了如下的關(guān)于教學(xué)過(guò)程的綜合評(píng)價(jià)實(shí)例分析。

設(shè)U={清楚易懂，熟悉教材，生動(dòng)有趣，板書(shū)工整}。評(píng)判分為四級(jí)：V={優(yōu)，良，中，差}。用打分的方法對(duì)某教師的一堂課給出各因素的評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表1。

對(duì)于權(quán)重分配集合A，設(shè)專家對(duì)U中各因素的重要程度給出的評(píng)價(jià)為：

A={0.9，0.4，0.4，0.2}

則模糊決策矩陣B的計(jì)算式：

按照模型一計(jì)算出的模糊決策矩陣B=[0.4，0.45，0.4，0.1];

按照模型二計(jì)算出的模糊決策矩陣B=[0.36，0.41，0.22，0.04];

按照模型三，先把權(quán)重分配集合A歸一化，計(jì)算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計(jì)算出的模糊決策矩陣 B=[0.34，0.38，0.25，0.03];

按照模型四，先把權(quán)重分配集合A歸一化，計(jì)算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計(jì)算 出的模糊決 策矩陣 B=[0.34，0.38，0.25，0.03]。

使用上述四個(gè)評(píng)判決策模型，均得出某教師這堂課為“良”的結(jié)論。至于為什么模糊決策模型三和四的模糊決策矩陣完全相同，文獻(xiàn)[2]及幾乎所有的模糊數(shù)學(xué)教科書(shū)和關(guān)于模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用的專著沒(méi)有引起注意和作出解釋。本文后面討論部分會(huì)給出詳細(xì)的解釋。

2 基本決策模型引發(fā)的爭(zhēng)論

針對(duì)文獻(xiàn)[2]給出的四個(gè)基本決策模型和實(shí)例，文獻(xiàn)[4]指出：基本決策模型M(∧，∨)是不合理的。因?yàn)樵撃Ｐ偷淖罱K決策結(jié)果取決于某個(gè)(或某幾個(gè))數(shù)字。例如上例中，由于因素“清楚易懂”的權(quán)重為0.9，理論上可能出現(xiàn)某教師的一堂課的評(píng)價(jià)結(jié)果如表2。

按照模型一計(jì)算出的模糊決策矩陣B=[0.45，0.4，0.2，0.4];

按照模型二計(jì)算出的模糊決策矩陣 B=[0.405，0.18，0.09，0.225]。

這兩個(gè)評(píng)判決策模型，均得出某教師這堂課為“優(yōu)”的結(jié)論。

按照模型三，先把權(quán)重分配集合A歸一化，計(jì)算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計(jì)算出的模糊決策矩陣B=[0.3，0.225，0.12，0.325];

表3

表4

按照模型四，先把權(quán)重分配集合A歸一化，計(jì)算得A={0.5，0.2，0.2，0.1}； 然后計(jì)算出的模糊決策矩陣B=[0.3，0.225，0.12，0.325]。

這兩個(gè)評(píng)判決策模型，卻得出某教師這堂課為“差”的結(jié)論。

文獻(xiàn)[4]指出：這完全相反的評(píng)判結(jié)果令人無(wú)法接受。其原因是基本決策模型M(∧，∨)和M(·，∨)中的算子∧和∨的不合理性。

《統(tǒng)計(jì)與決策》2005年11期刊載的“基于模糊綜合評(píng)判下的決策模型”再次介紹了該基本模型，并給出了“成功決策”的實(shí)例[3]。

設(shè)因素集合U={教學(xué)態(tài)度，教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法，教學(xué)手段，教學(xué)效果}={u1，u2，u3，u4}。 評(píng)語(yǔ)集合分為四級(jí)：V={優(yōu)秀，A類，B 類，C 類}={v1，v2，v3，v4}。

學(xué)校規(guī)定，分?jǐn)?shù)在95以上者為優(yōu)秀；分?jǐn)?shù)在90～94之間者為A類；分?jǐn)?shù)在65～89之間者為B類；分?jǐn)?shù)在64分以下者為C類。假定某班共有學(xué)生60人，用打分的方法表示各自對(duì)評(píng)判教師的評(píng)價(jià)。甲教師的評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表3。

對(duì)于權(quán)重分配集合A，設(shè)專家對(duì)U中各因素的重要程度給出的評(píng)價(jià)為：

A={0.30，0.20，0.20，0.10，0.20}

則模糊決策矩陣B的計(jì)算式B=A?R。

文獻(xiàn)[3]按照模型一計(jì)算出的模糊決策矩陣B=[0.30，0.25，0.20，0.10]。B(x1)最大，文獻(xiàn)[3]據(jù)此得出學(xué)生對(duì)甲教師的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)為“優(yōu)秀”的結(jié)論。

針對(duì)該實(shí)例，《統(tǒng)計(jì)與決策》2006年12期刊載的 “一種不合理的模糊綜合評(píng)判下的決策模型”則指出該實(shí)例對(duì)應(yīng)的決策會(huì)出現(xiàn)不合理，甚至荒唐的結(jié)果[4]。

文獻(xiàn)[4]給出的反例1如下：理論上可能存在某教師(乙教師)只要在教學(xué)態(tài)度上得到學(xué)生的好評(píng)，其他教學(xué)環(huán)節(jié)均很差，仍然可能被“綜合”評(píng)判為“優(yōu)秀”。假設(shè)因素“教學(xué)效果”的評(píng)價(jià)打分是以期末學(xué)生的考試成績(jī)來(lái)確定，學(xué)生考試成績(jī)?yōu)槎嗌俜志驼J(rèn)為該生給教師打了多少分。于是完全有可能出現(xiàn)乙教師的考評(píng)，在前四個(gè)因素的得分情況與上述例中的甲教師的打分情況完全一樣，唯獨(dú)教學(xué)效果的得分有差別。即：甲教師在因素“教學(xué)效果”上的得分為{0.30，0.50，0.10，0.10}；乙教師在因素“教學(xué)效果”上的得分為{0.10，0.10，0.10，0.70}，顯然二者有極大的差異。

但按照模型一計(jì)算出來(lái)的模糊決策矩陣，均得出D(x1)最大，得出了乙教師與甲教師一樣，教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)均為“優(yōu)秀”。這就是說(shuō)，甲教師所教的學(xué)生的期末考試成績(jī)中有80%的學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以上，而乙教師所教的學(xué)生的期末考試成績(jī)中有70%的學(xué)生的成績(jī)?cè)?4分以下，而兩位教師的教學(xué)質(zhì)量的綜合評(píng)價(jià)等級(jí)卻均為“優(yōu)秀”。評(píng)價(jià)結(jié)果的不合理性是顯然的。

文獻(xiàn)[4]給出的反例2如下：理論上可能存在更為極端的情況，某教師(丙教師)的教學(xué)質(zhì)量得分情況如表4。

顯然該教師除了在教學(xué)態(tài)度上得到一半學(xué)生的認(rèn)可外，其他教學(xué)環(huán)節(jié)均很差。

但按照模型一計(jì)算出來(lái)的模糊決策矩陣，均得出D(x1)最大，得出了丙教師與甲教師一樣，教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)均為“優(yōu)秀”。評(píng)價(jià)結(jié)果顯然荒唐。

爭(zhēng)論的根源自然來(lái)自基本決策模型中廣泛使用的取小取大算法。該算法得到的結(jié)果只取決于某一個(gè)或幾個(gè)因素，其它因素根本不起作用。顯然基本決策模型中的取小取大算法遺漏了很多信息，這就是基本決策模型隱藏的缺陷。而幾乎所有的模糊數(shù)學(xué)教科書(shū)及關(guān)于模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用的專著又都將取小取大算法運(yùn)用于模糊綜合評(píng)判，其結(jié)果就導(dǎo)致了絕大多數(shù)涉及到模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用性論文會(huì)通過(guò)所謂的“改進(jìn)方法”，得出有利于作者意圖的“評(píng)判結(jié)果”。這樣的模糊綜合評(píng)判結(jié)果理論上很難令人信服，是否具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值亦令人生疑。

3 消除基本決策模型隱藏的缺陷的方法

基本決策模型隱藏有缺陷的原因是使用了只取決于某一個(gè)或幾個(gè)因素，其它因素根本不起作用的取小取大算子。文獻(xiàn)[5]介紹的 Einstain 算子可以克服取小取大算子遺漏信息的缺陷。所以在基本決策模型中，用Einstain算子取代取小取大算子可以消除基本決策模型隱藏的缺陷。Ein?stain 算子的定義為：

對(duì)于上面文獻(xiàn)[2]的示例和文獻(xiàn)[4]針對(duì)文獻(xiàn)[2]的結(jié)論給出的反例，對(duì)于權(quán)重分配集合 A={0.9，0.4，0.4，0.2}，采用 E?instain 算子算出關(guān)于表1相關(guān)的模糊綜合向量為：B={0.5126，0.5533，0.3665，0.0376}，B(x2)最大，據(jù)此可得出學(xué)生對(duì)該教師的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)為“良”的結(jié)論；采用Einstain算子算出關(guān)于表2相關(guān)的模糊綜合向量為：B=[0.4641，0.3686，0.1712，0.4644]，B(x4)最大，據(jù)此可得出學(xué)生對(duì)該教師的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)為“差”的結(jié)論。這與文獻(xiàn)[4]的分析結(jié)果是相吻合的。

而對(duì)于權(quán)重分配集合A={0.9，0.4，0.4，0.2}的歸一化矩陣A={0.5，0.2，0.2，0.1}，采用 Einstain 算子算出關(guān)于表1相關(guān)的模糊綜合向量為：B={0.2480，0.2716，0.1722，0.0172}，B(x2)最大，據(jù)此可得出學(xué)生對(duì)該教師的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)為“良”的結(jié)論；采用 Einstain 算子算出關(guān)于表2相關(guān)的模糊綜合向量為： B=[0.2192，0.1702，0.0755，0.2216]，B(x4)最大，據(jù)此可得出學(xué)生對(duì)該教師的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)為“差”的結(jié)論。同樣與文獻(xiàn)[4]的分析結(jié)果相吻合。

該例還說(shuō)明，在基本決策模型中，用Einstain算子取代取小取大算子后，對(duì)于權(quán)重分配集合A歸一化與否，并不影響綜合決策的結(jié)論。

對(duì)于上面文獻(xiàn)[3]的示例和文獻(xiàn)[4]針對(duì)文獻(xiàn)[3]的結(jié)論給出的反例， 對(duì)于權(quán)重分配集合 A={0.30，0.20，0.20，0.10，0.20}，采用Einstain算子算出關(guān)于表3相關(guān)的模糊綜合向量為：B={0.2802，0.2496，0.0787，0.0472}，B(x1)最大，據(jù)此可得出學(xué)生對(duì)甲教師的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)為“優(yōu)秀”的結(jié)論；采用Einstain算子算出關(guān)于表4相關(guān)的模糊綜合向量為：B=[0.1007，0.0569，0.0787，0.4702]，B(x4)最大，據(jù)此可得出學(xué)生對(duì)丙教師的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)為“C類”的結(jié)論。文獻(xiàn)[4]中提到的丙教師與甲教師同樣“優(yōu)秀”的荒唐結(jié)果不再呈現(xiàn)。

4 討論

模糊集合理論的基本運(yùn)算符是取小取大運(yùn)算符，幾乎所有的模糊數(shù)學(xué)教科書(shū)和模糊數(shù)學(xué)專著都將取小取大算法應(yīng)用于基本決策模型。 由于該算法得到的結(jié)果確實(shí)只取決于某一個(gè)或幾個(gè)因素，其它因素根本不起作用，遺漏了很多信息。其結(jié)果就導(dǎo)致了絕大多數(shù)涉及到模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用性論文會(huì)通過(guò)選擇基本決策模型得出有利于作者意圖的“決策結(jié)果”。這樣的模糊綜合決策結(jié)果理論上很難令人信服，是否具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值(見(jiàn)文獻(xiàn)[4]中的反例)亦令人生疑。另外，雖然通過(guò)選擇基本決策模型，可以得到模糊綜合決策結(jié)果，但卻導(dǎo)致模糊綜合決策的標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，使文獻(xiàn)之間的結(jié)論不具備可比性。

還有不少文獻(xiàn)用線性代數(shù)中的乘和加算子(·，+)進(jìn)行模糊綜合決策。但這些文獻(xiàn)都沒(méi)有注意到其中的“+”算子并不滿足模糊數(shù)學(xué)中的三角算子的兩極律，即加算子“+”不是余三角范算子，運(yùn)算于模糊冪集是否會(huì)引發(fā)其它問(wèn)題是值得商榷的[5]。為什么這些文獻(xiàn)用線性代數(shù)中的乘和加算子(·，+)也作出了“正確”的評(píng)判結(jié)果呢？這是因?yàn)樵诒辉u(píng)判的實(shí)例中，恰好不會(huì)出現(xiàn)a+b＞1的情況，此時(shí)線性代數(shù)中的乘和加算子(·，+)恰好等價(jià)于三角算子組合，即是用來(lái)評(píng)判的(其中a⊕b=min{a+b，1})，對(duì)于使用者來(lái)說(shuō)并未意識(shí)到這一點(diǎn)。

最后需指出的是，取小取大算子是線性算子，從上面實(shí)例分析可知，它是一個(gè)具有可變漏洞的算子，這是產(chǎn)生爭(zhēng)論的根源。Einstain算子是非線性算子[5]，故能夠充分利用原始數(shù)據(jù)提供的全部信息。

[1]李洪興,王培莊.模糊數(shù)學(xué)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1994.

[2]曹炳元.應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[3]謝小良.基于模糊綜合評(píng)判下的決策模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2005,(11).

[4]周學(xué)松,蘇為華.一種不合理的模糊綜合評(píng)判下的決策模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2006,(12).

[5]Zhang Shi-Qiang.Method of Checking up Concealed Faults on the Fuzzy Controller[C].The Proceedings of the China Associa?tion for Science and Technology,2008，1（4）.