周躍進(jìn) ，陳桂景 ，王 蕊

(1.安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039)

0 引言

在許多實(shí)際問題中，EV模型的系數(shù)往往是隨時(shí)間等因素變化而變化，并且在EV模型研究中一般都對(duì)模型誤差方作某種約束，這往往帶有主觀性。但在一定條件下可作重復(fù)觀測(cè)，利用其結(jié)果對(duì)誤差方差作估計(jì)，從而可以避免對(duì)其施加人為的約束。在實(shí)際問題中，有時(shí)只允許模型中自變量可重復(fù)觀測(cè)。如在農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)田劃分為若干個(gè)大地塊，以x記地塊的肥力，它實(shí)際上是該地塊上肥力的平均值，而我們只能從該地塊各處取樣測(cè)x，所得結(jié)果構(gòu)成對(duì)x的重復(fù)觀測(cè)。但如因變量Y表示地塊的單產(chǎn)量，其值一般只需測(cè)量一次。這類問題具有一定的普遍性。劉繼學(xué)在文獻(xiàn)[4]中研究了僅自變量有重復(fù)觀測(cè)時(shí)常系數(shù)線性EV模型的參數(shù)估計(jì)。本文考慮只允許自變量有重復(fù)觀測(cè)的變系數(shù)結(jié)構(gòu)型線性EV模型。

假設(shè)在參變量t處自變量x與因變量y滿足一元線性關(guān)系

這里x,y是隨機(jī)變量，t是參變量；a(t)，b(t)是t的連續(xù)函數(shù)且 b(t)≠0。

假定 t1,t2,…，tn,是[0，1]上的 n個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，在每個(gè) ti處對(duì)作重復(fù)觀測(cè)，獲得樣本觀測(cè)值(ti,Xij,Yi)；i=1,…，n；j=1,…，ni。 其中Xij,Yi為真值xi,yi的觀測(cè)值，xi,yi是不能直接觀測(cè)的隨機(jī)變量。本文模型是

其中對(duì)模型作如下基本假定：

(1)x1,x2,…，xn是隨機(jī)變量的iid真實(shí)值,EX,EX2存在；

(2)uij（i=1,2,…，ni）為 iid,且

(3),e1,e2,…，en為 iid,且

(4){xi}，{uij}和{ei}相互獨(dú)立。

在模型（2）中，令 a(t)=a、b(t)=b、a、b 未知，即為文獻(xiàn)[4]中所研究的問題。本文感興趣的是估計(jì)模型（1.2）中變系數(shù)a(t).

b(t)在t=t0∈(0，1)處的值 a(t0)、b(t0)和本文利用重復(fù)觀測(cè)數(shù)據(jù)和局部加權(quán)的方法，構(gòu)造出參數(shù)a(t0)、b(t0)和測(cè)量誤

1 a(t0)、b(t0)和的估計(jì)

文獻(xiàn)[5]對(duì)變系數(shù)線性結(jié)構(gòu)關(guān)系EV模型的參數(shù)a(t0)、b(t0)采用加權(quán)正交回歸最小二乘的方法獲得其估計(jì)量。如果用文獻(xiàn)[5]中的方法，則考慮樣本點(diǎn)(Xij,Yi)到(t0-hn,t0+hn)內(nèi)的局部回歸直線y-b(t0)x-a(t0)=0的正交距離平方加權(quán)和

達(dá)到最小為原則來估計(jì) a(t0)、b(t0)，求出 a(t0)、b(t0)的估計(jì)量但由于未必相等，因而不再收斂到 b(t0),因此必須采用另外的估計(jì)方法。本文利用t0處重復(fù)觀測(cè)值(ti,Xij,Yi)來估計(jì) a(t0)、b(t0)和首先利用重復(fù)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)行估計(jì)，然后利用局部加權(quán)方法估計(jì)和

如果 Wni(t0)滿足(1)，權(quán)函數(shù)。

關(guān)于權(quán)函數(shù)的選擇，可先選定適當(dāng)?shù)挠薪绺怕拭芏群瘮?shù)K(x),稱之為核函數(shù);然后選定窗寬hn∈(0,1/2)。由事先確定的設(shè)計(jì)點(diǎn) 0≤t1＜t2＜…tn≤1 及 t0∈(0,1),構(gòu)造權(quán)函數(shù)：

一般窗寬hn隨n增大而減小，理論上hn滿足當(dāng)n→∞時(shí)，n→0，nhn→∞。

本文采用以下記號(hào)：

2 主要結(jié)果

條件保證了[0，1]內(nèi)的n個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)不能過于聚集在某點(diǎn)附近。在一些假定條件下，本文得到如下主要結(jié)果。

假定設(shè)計(jì)點(diǎn) 0≤t1＜t2＜…＜tn≤1，且滿足：

3 定理證明

為了證明定理的結(jié)論，需引入下列引理。引理 1[6]在(5)式定義下，

引理 2[5]設(shè)隨機(jī)變量 ξ,ξ1,ξ2…，ξniidEξ,Eξ2存在，隨機(jī)變量e1,e2,eniid，Ee1=0,Ee2=σ2<∞有界縣在t0附近連續(xù)。若→∞(n→∞)，則當(dāng)n→∞時(shí)：

引理 3[5]設(shè)隨機(jī)變量 ξ,ξ1,ξ2…，ξn，相互獨(dú)立，隨機(jī)變量e1,e2,en相互獨(dú)立有界且在 t0附近連續(xù)。若則當(dāng)n→∞時(shí)：

引理 4[5]設(shè)隨機(jī)變量 ξ,ξ1,ξ2…，ξniidEξ,Eξ2存在，隨機(jī)變量 e1,e2,eniid，Ee1=0,Ee2=σ2<∞，f(t)有界縣在 t0附近連續(xù)。 若則當(dāng)n→∞時(shí)：

引理 5[5]設(shè)隨機(jī)變量 ξ,ξ1,ξ2…，ξn相互獨(dú)立，隨機(jī)變量e1,e2,en相互獨(dú)立,f(t)有界且在 t0附近連續(xù)。若則當(dāng)n→∞時(shí)：

由引理2和引理3知

再由引理2和引理3有：

再討論S2XY的收斂性。

由引理3可得：

由(10)、(11)、(14)、(17)式,可得到

由此，定理得證。

由引理4和引理5，同理可證得定理2。

[1]Wang Qihua.Estimation of Linear Error-in-Covariables Models with Validation Data under Random Censorship[J].J Multivariate Anal.,2000，(73).

[2]ZhangS.G.,Chen X.R.Consistency of Modified MLE in EV Model with Replicted Observations[J].Science in China(Series A),2001,44(3).

[3]Zhang S.G.,Chen X.R.Asymptotic Normality of Parameters Estimation in EV Model with Replicated Observations[J].Acta Mathematica Scientia(Series B),2002,22(1).

[4]Liu J.X.,Zhang S.G.,Chen X.R.EV Models with Replicable Observed Independent Variables[J].Science in China(A),2006,36(5).

[5]Ou Y.G.On Parameter Estimation for Linear Varying-coefficients Structural EV Models[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2005,28(1).

[6]Zhang S.G.Research about EV Models PhD[D].Paper,2002.

[7]Stout W F.Almost Sure Convergence[M].New York:Acadamic Press,1974.