李粉紅，劉新平

（1.商洛學院 數(shù)學與計算科學系，陜西 商洛 726000；2.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，西安 710062）

1 方法簡介

1.1 分組主成份分析

分組主成份分析[1]是將主成份分析和因子分析結合的一種方法，它先對樣本做因子分析，然后對各組變量進行主成份分析，只提取第一主成份，僅算各組第一主成份的得分Cj(j=1，2，…，k)；再以各組的第一主成份得分 Cj(j=1，2，…，k)為各組得分，以因子旋轉后各因子的方差貢獻率(其中 λl是旋轉后因子的特征值)為權重，建立綜合評價模型進行排序，分類。(為了方便仍用原文中的符號)

1.2 變異系數(shù)作為權系數(shù)的可行性

在綜合評價中，變異系數(shù)、復相關系數(shù)等一些統(tǒng)計系數(shù)也常用來作為權數(shù)[2]，變異系數(shù)反映的是變量之間的變異程度。原始數(shù)據(jù)一般包含兩方面的信息：一是各指標變異程度的差異信息，二是各指標之間相互影響程度上的信息，實際上也就是各指標的變異系數(shù)和相關系數(shù)。而協(xié)方差矩陣能完全刻劃原始數(shù)據(jù)的全部信息，由定義知，其對角線元素即為各指標的方差，非對角元素則包含了各指標間的相關系數(shù)的信息。而通常的主成份分析中對原始數(shù)據(jù)標準化后數(shù)據(jù)的協(xié)方差陣的主對角元素全為1，那么實際上就抹殺了各指標變異程度的差異信息。

主成份分析通常是先將原始數(shù)據(jù)無量綱化，再由其協(xié)方差矩陣或相關系數(shù)矩陣來求主成份。而像其它的無量綱化方法如均值化或比重法等，無量綱化后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的對角線元素都與該變量的變異系數(shù)有關。所以不管是選擇通用的方法是對原始數(shù)據(jù)進行標準化，還是用均值化或比重法等，從協(xié)方差矩陣或相關系數(shù)矩陣來求主成份，則結果中更多反映的是數(shù)據(jù)的相關關系，若加進變異系數(shù)，體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變異信息，就能使原始數(shù)據(jù)的全部信息在綜合評價得以體現(xiàn)，從而達到對問題全面評價的目的。

1.3 建立模型

在分組主成份分析的基礎之上，將主成份分析作如下改進：

對原始數(shù)據(jù)進行無量綱化，得到數(shù)據(jù)陣X=(xij)n×p，方法選用均值化或其他方法，其余步驟均按照分組主成份分析，在建立綜合評價模型時，選擇將各變量的變異系數(shù)和分組后的方差貢獻率這兩種權數(shù)進行組合，得到綜合評價模型：

其中?k是以分組后各組的方差貢獻率為權數(shù)時各變量Xk的系數(shù)，ρk是各變量Xk的變異系數(shù)。

2 應用實例

2.1 數(shù)據(jù)的來源

根據(jù)科學性原則和可比性原則，對我國中等職業(yè)教育的發(fā)展情況，選擇以下十個變量作為綜合評價的指標：X1：每萬人口的畢業(yè)生數(shù)；X2：每萬人口的招生數(shù)；X3：每十萬人口的在校學生數(shù)；X4：獲得職業(yè)資格證書占當年畢業(yè)生人數(shù)的比例；X5：每萬人口的職工人數(shù)；X6：每萬人口的專任教師；X7：職業(yè)中學教育經(jīng)費支出占地方教育事業(yè)費支出的比例：X8：生均教育經(jīng)費支出占地方教育事業(yè)費支出的比例；X9：生均預算內教育經(jīng)費支出占地方教育事業(yè)費支出的比例：X10：年末購置專用設備金額占本年設備購置費的比例.

指標的原始數(shù)據(jù)取自《中國統(tǒng)計年鑒，2006》和《中國教育經(jīng)費統(tǒng)計年鑒，2005》。

2.2 分析結果

為了加強方法之間的可比性，分別用傳統(tǒng)主成份分析、分組主成份分析和改進后的方法，借助SPSSl2.0[3]及EXCEL軟件，對我國中等職業(yè)教育發(fā)展情況作詳盡的分析(缺少西藏的數(shù)據(jù))，得到如下結果：

表1 特征值及特征向量

表2 分組主成份分析的分組情況

表3 各模型得分及排名

(2)用分組主成份法計算綜合評價值

因子分析后將原指標分成三個組，第三個因子只在X4上有較大載荷，用前面的結果，得到E2，具體值見表3。

建立綜合評價模型為：

(3)用改進方法計算，建立綜合評價模型得到E3(見表3)

2.3 結果討論

從綜合排名情況可以看出，幾種綜合方法在大部分地區(qū)上前后相差不大，而在個別地區(qū)上還是有很大的不同，E2、E3的排名前后有差距，但基本差異不大口浙江按E1排在第1名，按 E2在第 3名，而按 E3在第 7名，青海在 E2、E3中均排在第1位，而若用用第一主成份或衛(wèi)1則位于第30名，從其余省份的排名也可以看出第一主成份或E1排名與E2、E3的排名的差距。這種差異從原始數(shù)據(jù)來看不是模型引起的，因為從原始數(shù)據(jù)來看青海在變量 X8、X9、X1。上的值居于所有省、市之首，尤其在X10上更是超出其他省很多，而在E3中引入了描述變量變異程度的量一變異系數(shù)，這幾個奇異值導致了青海的排名靠前，實際上就是沒有引進變異系數(shù)的E2中青海也排在第一位.從此排名可以了解各地區(qū)中等職業(yè)教育的發(fā)展狀況，總體上來看發(fā)達地區(qū)的發(fā)展情況要好，進一步也可以找出各省份存在的問題。

另外，也可根據(jù)綜合評價值按通常方法對各省份分類，不再贅敘。

3 結論

(1)在用主成份分析做綜合評價時，應堅持理論界的提法，只提取第一主成份，而不能簡單提取多個，以方差貢獻率為權數(shù)加權；

(2)在分組主成份分析基礎上，引進變異系數(shù)建立的綜合評價模型，經(jīng)過實證檢驗，能反映原始數(shù)據(jù)的相關信息和變異信息，證明用該模型作綜合評價更客觀、合理。

(3)對我國31個地區(qū)中等職業(yè)教育的發(fā)展情況進行綜合分析，由綜合得分排名，說明了地域差別對職業(yè)教育的影響，為我國中等職業(yè)教育的健康發(fā)展提供了一定的依據(jù)。

[1]侯文.對應用主成份法進行綜合評價的探討[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2006，（2）.

[2]胡永宏，賀思輝.綜合評價方法[M].北京：科學出版社，2000.

[3]章文波，陳紅艷.實用數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析及應用，SPSS12.0[M].北京：人民郵電出版社，2006.