李學(xué)濤

（1.河海大學(xué) 商學(xué)院，南京 210098；2.山東行政學(xué)院，濟(jì)南 250014）

在金融市場高度發(fā)達(dá)的今天，風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)已經(jīng)成為投資決策中重要的因素。但是，作為一個(gè)需要經(jīng)常作出投資決策的機(jī)構(gòu)或者個(gè)人，由于信息不對稱、市場風(fēng)險(xiǎn)相對穩(wěn)定等情況的存在，過仔細(xì)的考慮風(fēng)險(xiǎn)因素往往會帶來負(fù)面效果，導(dǎo)致投資迷茫，措施良機(jī)。因此本文提出一種均衡風(fēng)險(xiǎn)下的證券投資組合模型，以便機(jī)構(gòu)或個(gè)人能夠簡明實(shí)用的運(yùn)用此方法在日常的證券投資中作出正確決策。

1 模型建立

1.1 問題描述及假設(shè)

機(jī)構(gòu)（個(gè)人）現(xiàn)有一筆資金（數(shù)量為Q）即將用于有價(jià)證券投資，目前可供選擇并符合意向的證券共有M種，并且每一種證券具有相應(yīng)的投資收益率I、信用等級E、到期年限N，現(xiàn)擬一種證券組合決策，使得投資效用最大化。

上述問題是目前絕大多數(shù)普遍投資者遇到的情況，但描述并沒有完全披露相關(guān)信息。因此，需要對相關(guān)因素進(jìn)行界定和假設(shè)。

（1）在投資期限內(nèi)，投資者由于信息不對稱、市場相對平穩(wěn)等因素確信各證券不會存在大的風(fēng)險(xiǎn)波動。投資效用最大化體現(xiàn)在收益上。

（2）可以將有價(jià)證券劃分為：市政、上市公司、政府三類，其中按照相關(guān)法律規(guī)定，市政證券收益可以免稅，其他證券收益須按照一定比例收稅，稅率為R。

（3）信用等級可以劃分為5類，為[1,2,3,4,5]。

1.2 投資組合模型的建立

為了方便分析，需要對各類證券投資收益率I、信用等級E、到期年限N進(jìn)行描述（表1）。

其中：M為證券種類數(shù)，Xi為相應(yīng)的種類，X1,X2,…xM=[市政，上市公司，政府]

表1

這個(gè)優(yōu)化問題的目標(biāo)是使數(shù)量為Q資金分別投資于M種證券獲取的利潤最大，需要作出決策，即將資金Q如何分配到各號證券。決策收到相應(yīng)的限制：總投資資金不超過Q。

決策變量：Q1,Q2,…,QM設(shè)分別投資于M號證券。

目標(biāo)函數(shù)：設(shè)獲利Z元，Z=[Q1,Q2,…,QM][R1,R2,…,RM]T

約束條件：總投資資金不超過Q。

得到 LP 模型：MAXZ=[Q1,Q2,…,QM][R1,R2,…,RM]T

但是往往在實(shí)際投資時(shí)，受到一些主觀因素的影響，如對上市公司類證券投資不能少于一個(gè)特定的數(shù)目（Q*），信用的評定等級不能大于E*，平均到期年限不能超過N*，那么規(guī)劃模型就可以改進(jìn)成以下形式：

通過上式可以看出，某些虛擬變量（如證券種類Xi）必須在實(shí)際問題中明確才可以通過軟件進(jìn)行求解，否則求不出具體的結(jié)果。

為了使用圖解法簡便的對模型進(jìn)行分析得到結(jié)果，假設(shè)只有2種證券M1和M2,購買數(shù)量分別為Q1+Q2=Q，將不等式約束改為等式約束?？梢缘玫饺鐖D1圖形。

這樣就形成了四邊形ACOF，目標(biāo)函數(shù)中取得不同的值，可以得到一系列等族線，如Z=0是過0點(diǎn)的線，Z=C0是過C點(diǎn)的線，等等，可以看出當(dāng)?shù)茸寰€網(wǎng)上平移直到A點(diǎn)時(shí)，Z=A0,達(dá)到最優(yōu)值，這樣得到最佳組合。針對2維空間的線性規(guī)劃組合一定在多邊形的頂點(diǎn)完成。那么同樣可以推廣到N維空間，一定是多面體的一個(gè)頂點(diǎn)取得。本文利用MATLAB軟件繪制了3維的空間立體圖。

2 實(shí)證檢驗(yàn)

本節(jié)擬用一個(gè)案例來運(yùn)用上面的模型進(jìn)行投資組合決策。一銀行經(jīng)理計(jì)劃用一宗資金100萬元對5種證券進(jìn)行投資，并且每一種證券具有相應(yīng)的投資收益率I、信用等級E、到期年限N已經(jīng)確定。（具體數(shù)據(jù)見表2）現(xiàn)擬一種證券組合決策，使得投資所得收益最大化。

那么可以建立相應(yīng)的LP模型：

模型求解，本文使用LINDO軟件就可以輕松實(shí)現(xiàn)求解。得出結(jié)果如下：

明顯可以看出，直接將全部資金用于購買收益率最高的證券即可。但是往往在實(shí)際投資時(shí)，受到一些主觀和客觀因素的影響，假設(shè)此銀行經(jīng)理人認(rèn)為上市公司類證券投資不能少于一個(gè)特定的數(shù)目（40萬元），信用的評定等級不能大于1.8，平均到期年限不能超過2.5年，由于約束條件中涉及到一些變量必須解釋評定等級和平均年限的關(guān)系，所以必須加如虛擬變量，即是否購買該證券。那么規(guī)劃模型就可以改進(jìn)成以下形式：

那么，在LINDO求得的結(jié)果如下：

表2

上述模型告訴我們結(jié)果的最優(yōu)解是Q2=3.333333，Q3=60.000000，Q4=，36.666668，所得的最佳收益 Z=100。 即用3.333萬元購買2號證券，6萬購買3號證券，36.6667萬元購買4號證券，能獲得最大經(jīng)濟(jì)利潤為99.99萬元，收益率百分百。

結(jié)果分析：上述結(jié)果除了告訴問題的最優(yōu)解及最優(yōu)值以外，還有很多有價(jià)值的信息。

（1）四個(gè)約束條件右端可以看做是四種資源：總投資額、上市公司證券投資額、信用等級、到期年限。輸出的SLACK OR SURPLUS給出這4種資源在最優(yōu)解條件下是否有溢出，總投資額、上市公司證券投資額、到期年限均無溢出，但是平均年限有 4.583333/5=0.81的溢出，以為著到期年限限制為2.5年是不合理的，應(yīng)該縮短0.81年。表明在其他3項(xiàng)約束既定的條件下，到期年限應(yīng)改為1.7年。

（2）所有約束的DUAL PRICES值均為0，表示資源已經(jīng)實(shí)現(xiàn)完全消耗，增加任何一種資源，都不會帶來收益的增加，意味著已經(jīng)達(dá)到帕累托最優(yōu)狀態(tài)，不存在影子收益率。

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