李望晨，潘慶忠，王培承，安洪慶

（濰坊醫(yī)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，山東 濰坊 261053）

預(yù)測(cè)是利用歷史統(tǒng)計(jì)資料探求事物變化規(guī)律推測(cè)未來(lái)狀況以指導(dǎo)計(jì)劃與決策。應(yīng)用中可通過(guò)資料采用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法建立定量預(yù)測(cè)模型，借助于計(jì)算工具實(shí)現(xiàn)。根據(jù)以往數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢(shì)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)數(shù)據(jù)的方式稱為時(shí)間序列預(yù)測(cè)，其特點(diǎn)是根據(jù)預(yù)測(cè)對(duì)象時(shí)序變化特征，研究自身的發(fā)展規(guī)律和探討未來(lái)趨勢(shì)。對(duì)象一般具備歷史數(shù)據(jù)漸近式發(fā)展且波動(dòng)較小；決定過(guò)去或近期事物發(fā)展的因素較穩(wěn)定，很大程度上仍決定其未來(lái)發(fā)展，多用于短期預(yù)測(cè)問(wèn)題?；疑ā⒔M合法[1]、ARIMA法、增長(zhǎng)型曲線法[2]和數(shù)據(jù)挖掘法等均可用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)，各有適用特點(diǎn)。如果時(shí)間序列數(shù)據(jù)帶有增長(zhǎng)趨勢(shì)，可采用增長(zhǎng)型曲線模型進(jìn)行外推預(yù)測(cè)，特點(diǎn)是運(yùn)用函數(shù)曲線擬合數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)的時(shí)序規(guī)律，建立增長(zhǎng)型曲線預(yù)測(cè)模型。為提高應(yīng)用性能，可根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)增長(zhǎng)變化特點(diǎn)與曲線理論增長(zhǎng)性質(zhì)相似程度進(jìn)一步優(yōu)選預(yù)測(cè)模型。

例如，生產(chǎn)總值、財(cái)政預(yù)算、稅收存款、能源消費(fèi)等多數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的影響因素異常復(fù)雜，指標(biāo)體系難以優(yōu)選或確立，因果預(yù)測(cè)中的非線性建模確實(shí)困難。但是這些復(fù)雜因素短期內(nèi)變化具有慣性或穩(wěn)定性，從而引起經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)規(guī)律變化，且變化又往往帶有時(shí)序增長(zhǎng)特性。此情況涉及許多領(lǐng)域，因此有必要探討此類預(yù)測(cè)模型的優(yōu)選識(shí)別方法并提高適用性。

1 增長(zhǎng)曲線預(yù)測(cè)模型優(yōu)選

常見(jiàn)的四種增長(zhǎng)型曲線模型以及增長(zhǎng)特征性質(zhì)推導(dǎo)結(jié)論，列入表1中。其中t為時(shí)間變量，yt為預(yù)測(cè)指標(biāo)值，ut為其一階差分，a,b,k為模型參數(shù)。

表1 幾種常見(jiàn)增長(zhǎng)型模型及增長(zhǎng)特征性質(zhì)

在應(yīng)用中，要根據(jù)實(shí)測(cè)時(shí)間序列y1,y2,…,yn選取合適的增長(zhǎng)曲線模型。若以殘差平方和最小為模型優(yōu)選準(zhǔn)則，會(huì)過(guò)度擬合歷史數(shù)據(jù)，降低趨勢(shì)外推性能。可考慮增長(zhǎng)特征法，將動(dòng)態(tài)序列的差分變化特性與增長(zhǎng)曲線的相應(yīng)特征作比較來(lái)選擇模型，目標(biāo)是以增長(zhǎng)曲線理論變化規(guī)律與實(shí)測(cè)序列實(shí)際變化規(guī)律最接近為優(yōu)選準(zhǔn)則。

應(yīng)用中為消除隨機(jī)干擾，原始數(shù)據(jù)一般要先作平滑預(yù)處理，但滑動(dòng)段太大會(huì)過(guò)度平滑實(shí)測(cè)序列而削弱信息敏感性，處理時(shí)以滑動(dòng)平均值代替序列值yt，以平均差分代替ut差分，可按公式進(jìn)行計(jì)算。然后計(jì)算序列的各種增長(zhǎng)特征，并與曲線增長(zhǎng)特征性質(zhì)結(jié)合識(shí)別模型，見(jiàn)曲線增長(zhǎng)特征對(duì)比表2。

表2 增長(zhǎng)曲線識(shí)別表

2 模型參數(shù)識(shí)別

增長(zhǎng)曲線模型參數(shù)識(shí)別可用三和法，基本思路是將整個(gè)實(shí)測(cè)序列數(shù)據(jù)分成時(shí)間間隔均相等的三段，由三段觀察值序列之和經(jīng)過(guò)推導(dǎo)運(yùn)算來(lái)估計(jì)模型參數(shù)。以修正指數(shù)曲線yt=k+abt為例，選擇近期實(shí)測(cè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)y0,y1,…,yn-1;yn,…,y2n-1;y2n,…，y3n-1順序截取長(zhǎng)度為n的三段，三段求和，并推導(dǎo)得到數(shù)學(xué)性質(zhì)：

繼續(xù)推導(dǎo)，可得到修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)公式：

根據(jù)三和法與曲線性質(zhì)可類似推導(dǎo)Gompertz曲線yt=kabt的參數(shù)公式：

表3 1998～2007年湖北省支出法生產(chǎn)總值時(shí)序表

表4 實(shí)測(cè)序列增長(zhǎng)特征計(jì)算表

3 預(yù)測(cè)算例

支出法生產(chǎn)總值是從最終使用的角度反映一個(gè)地區(qū)一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)活動(dòng)最終成果的一種方法，反映了本期的生產(chǎn)總值的使用及構(gòu)成。計(jì)算公式為：支出法生產(chǎn)總值＝最終消費(fèi)＋資本形成總額＋貨物和服務(wù)凈出口。最終消費(fèi)包括居民消費(fèi)和政府消費(fèi)，指該地區(qū)在一定時(shí)期內(nèi)對(duì)于貨物和服務(wù)全部最終消費(fèi)支出，即本地區(qū)內(nèi)外購(gòu)買(mǎi)的貨物和服務(wù)的支出。資本形成總額指該地區(qū)在一定時(shí)期內(nèi)獲得減去處置的固定資產(chǎn)和存貨的凈額。貨物和服務(wù)凈出口指貨物和服務(wù)出口減貨物和服務(wù)進(jìn)口的差額。

事實(shí)上，決定次年支出法生產(chǎn)總值的最終消費(fèi)、資本形成總額和凈出口等構(gòu)成指標(biāo)數(shù)據(jù)財(cái)會(huì)統(tǒng)計(jì)與核算匯總過(guò)程冗雜、具有時(shí)滯性，計(jì)算支出法生產(chǎn)總值難以實(shí)現(xiàn)，間接預(yù)測(cè)困難。但是，可以假定該地區(qū)支出法生產(chǎn)總值構(gòu)成指標(biāo)和影響因素的時(shí)序變化規(guī)律比較穩(wěn)定，未來(lái)一年或兩年繼續(xù)慣性延續(xù)規(guī)律而不會(huì)發(fā)生較大波動(dòng)，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)資料進(jìn)行外推預(yù)測(cè)，就轉(zhuǎn)化為時(shí)間序列預(yù)測(cè)問(wèn)題，因數(shù)據(jù)具有增長(zhǎng)特點(diǎn)，可采用增長(zhǎng)型曲線模型，繼續(xù)分析序列實(shí)際增長(zhǎng)特性，優(yōu)選識(shí)別預(yù)測(cè)模型。

實(shí)測(cè)資料應(yīng)選取更能反映近期和未來(lái)發(fā)展變化趨勢(shì)的連續(xù)數(shù)據(jù)段，其規(guī)律越穩(wěn)定，越能反映后續(xù)變化趨勢(shì)則越適用；資料數(shù)據(jù)段選取不宜過(guò)長(zhǎng)，太長(zhǎng)會(huì)過(guò)度反映過(guò)去規(guī)律降低外推效果；為消除數(shù)據(jù)波動(dòng)性而過(guò)分平滑序列又會(huì)削弱信息敏感性，應(yīng)注意把握。下面以湖北省為例，湖北省衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)年鑒中1998～2006年支出法計(jì)算的地區(qū)生產(chǎn)總值作為參考，見(jiàn)表3，假設(shè)2007年數(shù)據(jù)未知并對(duì)其預(yù)測(cè)。

對(duì)照表2，首先排除簡(jiǎn)單指數(shù)曲線，再?gòu)暮笕N曲線選取，原則是以與t線性相關(guān)程度最明顯的增長(zhǎng)特征所對(duì)應(yīng)的曲線為最優(yōu)預(yù)測(cè)模型。方法如下：分別計(jì)算增長(zhǎng)特征x與時(shí)序t的相關(guān)系數(shù)其中為時(shí)序t的均值，為增長(zhǎng)特征x的均值。將取代x，由表4數(shù)據(jù)依次計(jì)算與t的相關(guān)系數(shù)：r1=0.99536，r2=0.99405，r3=-0.99534。比較知實(shí)測(cè)序列的三種增長(zhǎng)特征線性相關(guān)程度都非常好，因此相應(yīng)的三種曲線均可用作預(yù)測(cè)。 又｜r1｜>｜r3｜>｜r2｜，說(shuō)明 lgut與 t線性關(guān)系更密切一些，故修正指數(shù)曲線為優(yōu)選預(yù)測(cè)模型，另從參數(shù)識(shí)別簡(jiǎn)便性角度也最好選修正指數(shù)曲線，而不選Logistic曲線。

下面利用三和法進(jìn)行模型參數(shù)識(shí)別，根據(jù)表3中湖北省1998～2006年共9年支出法生產(chǎn)總值實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，令n=3，分別計(jì)算三段和為：Σ1yt=10608.94，Σ2yt=13429.49，Σ3yt=20125.77。代入已選修正指數(shù)曲線模型參數(shù)識(shí)別公式得b=1.334033086，a=498.9808342，k=2852.097947，得湖北省支出法生產(chǎn)總值修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型為yt=2852.097947+498.9808342×1.334033086t。 然后令 t=9，根據(jù)預(yù)測(cè)模型可外推得到2007年支出法生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)值y9=9529.127101，已知2007年真實(shí)統(tǒng)計(jì)值為9550.04，預(yù)測(cè)誤差為0.22%，說(shuō)明該模型預(yù)測(cè)效果非常好；若再令t=10，可以外推得到2008年預(yù)測(cè)值y10=11759.48。以上采用Matlab軟件作圖演示，見(jiàn)圖2。注：因數(shù)據(jù)量綱大，圖2中實(shí)測(cè)點(diǎn)與擬合曲線偏差不很明顯。

時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法通過(guò)擬合歷史數(shù)據(jù)資料規(guī)律建立模型來(lái)進(jìn)行短期外推預(yù)測(cè)，長(zhǎng)時(shí)預(yù)測(cè)會(huì)變差。如果令t=11，長(zhǎng)時(shí)預(yù)測(cè)2009年支出法生產(chǎn)總值y11，誤差會(huì)變大。因此最好根據(jù)2000～2008年實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)重新優(yōu)選識(shí)別預(yù)測(cè)模型，再作一步外推預(yù)測(cè)。

4 結(jié)論

支出法生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)對(duì)國(guó)家和地區(qū)指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)決策具有重要意義，因其受各種構(gòu)成指標(biāo)制約，統(tǒng)計(jì)工作冗雜且具有時(shí)滯性，實(shí)時(shí)核算及準(zhǔn)確預(yù)測(cè)均比較困難?？紤]到歷史數(shù)據(jù)資料有較好的時(shí)序增長(zhǎng)趨勢(shì)規(guī)律，可將其歸為增長(zhǎng)型時(shí)間序列預(yù)測(cè)問(wèn)題。模型優(yōu)選識(shí)別、改進(jìn)與適用性分析是良好預(yù)測(cè)的前提。本文通過(guò)探討增長(zhǎng)型曲線模型的數(shù)學(xué)性質(zhì)和實(shí)測(cè)序列增長(zhǎng)特性，采用增長(zhǎng)特征法優(yōu)選模型以及三和法識(shí)別參數(shù)，以湖北省支出法生產(chǎn)總值為例建立預(yù)測(cè)模型，借助于Excel計(jì)算和Matlab軟件作圖，外推預(yù)測(cè)效果很好。該組合方法適合于具有較強(qiáng)規(guī)律性時(shí)序增長(zhǎng)特點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)序列外推預(yù)測(cè)問(wèn)題。

[1]吳航，黃子昌，游斌.關(guān)于經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性探討[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009,(1).

[2]秦俠.衛(wèi)生管理運(yùn)籌學(xué)[M].北京：人民衛(wèi)生出版社，2005.