楊貴海，肖碧琴，袁富宇

（1. 91439部隊(duì)460所，遼寧 大連 116041；2. 中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司江蘇自動(dòng)化研究所，江蘇 連云港 222006）

在定位誤差估計(jì)中，由于 Fisher信息陣[1]的逆（C-R下界）表征了狀態(tài)矢量估計(jì)精度所能達(dá)到的下界，而且估計(jì)誤差協(xié)方差陣是半正定的，很多文獻(xiàn)都將它作為目標(biāo)要素解算的精度準(zhǔn)則，這種方法不需大量的計(jì)算，但需要知道目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)參數(shù)。當(dāng)已知目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到準(zhǔn)確的C-R下界[1-2]，然實(shí)際情況下，目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)未知，從理論上講，無(wú)法得到準(zhǔn)確的C-R下界，計(jì)算出的C-R下界只能是近似值。為了有效地控制/導(dǎo)引制導(dǎo)武器，需要及時(shí)準(zhǔn)確地了解定位誤差精度，有必要對(duì)目標(biāo)定位誤差進(jìn)行估計(jì)，從而得到能夠反應(yīng)真實(shí)解算誤差的估計(jì)結(jié)果，供作戰(zhàn)決策使用。

鑒于目前被動(dòng)傳感器所給出的探測(cè)信息多為純方位信息，本文針對(duì)純方位信息條件下的多平臺(tái)目標(biāo)定位誤差估計(jì)模型進(jìn)行研究，推導(dǎo)出了勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位誤差的C-R下界表示，提出了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差的線性表示和抽樣表示。在定位精度基礎(chǔ)上，對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位算法解算精度的 C-R下界與Monte Carlo結(jié)果的一致性進(jìn)行了驗(yàn)證。在對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差的線性表示和抽樣表示兩種計(jì)算模型進(jìn)行驗(yàn)證基礎(chǔ)上，對(duì)提出的多平臺(tái)目標(biāo)定位誤差估計(jì)模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 定位誤差估計(jì)模型

1.1 多平臺(tái)目標(biāo)定位精度C-R下界表示

假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。以正北方向?yàn)閅軸方向，正東方向?yàn)閄軸方向，建立大地直角坐標(biāo)系。設(shè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為： X ＝ （ xT(t ),yT(t),vTx,vTy）'，其中xT(t),yT(t )表示目標(biāo)在t時(shí)刻位置的橫縱坐標(biāo)，vTx,vTy分別為目標(biāo)在橫縱坐標(biāo)軸上的速度分量，觀測(cè)平臺(tái)t時(shí)刻的位置坐標(biāo)為 Xo( t )＝ （ xo(t ),yo(t)）'。量測(cè)方程為：

其中，Δt為等采樣時(shí)間間隔，Bk為目標(biāo)真實(shí)方位，表示高斯白噪聲序列，其方差為 σ2?？梢?jiàn)，,量測(cè)方位序列為根據(jù)C-R下界定理，有下式成立：

由此得出：

其中C為常數(shù)。

當(dāng)目標(biāo)狀態(tài)為 X ＝ (xT(t1),yT(t1),vTx,vTy)'時(shí)，有

則有信息陣的第一個(gè)對(duì)角線元素：

由式（4）得信息陣的第三個(gè)對(duì)角線元素：

類似地，可以得到FIM的其它元素，這樣，在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù) X ＝ ( xT(t1),yT(t1),vTx,vTy)'下的 FIM為

其中，

則多平臺(tái)在狀態(tài) X ＝ ( xT(t1),yT(t1),vTx,vTy)'下的FIM為

其中，i為平臺(tái)個(gè)數(shù)。

1.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差的C-R下界表示

下面分別給出目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)（距離、速度、航向）誤差的線性表示和抽樣表示。

1.2.1線性表示

a）距離估計(jì)誤差的線性表示

由微分法則知：若 r ＝ f(x,y)，則有

上式中的dr為r的微分，也可以認(rèn)為是其偏差。

假定 t時(shí)刻目標(biāo)相對(duì)于觀測(cè)平臺(tái)的位置坐標(biāo)為（x( t )y(t )），則有下式成立：

其中，r(t)為t時(shí)刻目標(biāo)相對(duì)觀測(cè)平臺(tái)的距離。則可以得到下式：

由上式即得r(t)的估計(jì)誤差的方差為：

其中，

FIM-1(t )為t時(shí)刻的FIM的逆陣。

故距離估計(jì)誤差的線性表示為

其離散形式為

b）速度估計(jì)誤差的線性表示

設(shè)目標(biāo)速度為V(t)，其在x軸和y軸的分量分別為Vx(t),Vy(t )，顯然有下式成立：

由微分法則得：

其中 d V, dVx,d Vy分別為目標(biāo)速度及其分量的微分。因此速度估計(jì)誤差為：

其中，

FIM-1(t )為t時(shí)刻的FIM的逆陣。故速度估計(jì)誤差的線性表示為

其離散形式為

c）航向估計(jì)誤差的線性表示

設(shè)目標(biāo)航向?yàn)镃(t)，目標(biāo)速度在x軸和y軸的分量分別為 Vx(t), Vy(t )，則有下式成立：

式（19）隨著航向大于90°或大于180°（對(duì)稱情形，只考慮小于180°即可）會(huì)有改變，但不影響下面的推導(dǎo)。上式兩邊取微分得：

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變化，可以得到：

其中， d Vx,d Vy分別為目標(biāo)速度及其分量的微分。則航向估計(jì)誤差方差為：

式中，

FIM-1(t )為t時(shí)刻的FIM的逆陣。故航向估計(jì)誤差的線性表示為：

其離散形式為：

1.2.2抽樣表示

假定目標(biāo)勻速直航，首先計(jì)算出目標(biāo)初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)參數(shù)的精度，然后以計(jì)算的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)精度為方差進(jìn)行抽樣，利用樣本方差統(tǒng)計(jì)方法可得到運(yùn)動(dòng)參數(shù)均方根誤差。

2 多平臺(tái)目標(biāo)定位誤差估計(jì)算法

使用線性表示或基于抽樣表示計(jì)算目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差必須首先知道：目標(biāo)位置、速度、航向、方位誤差方差、目標(biāo)到平臺(tái)的距離、量測(cè)方位以及平臺(tái)位置等參數(shù)。實(shí)際估計(jì)時(shí)，目標(biāo)初始位置、速度、航向及到平臺(tái)的距離信息可由定位算法估計(jì)得到，方位誤差方差可由平均法[3]估計(jì)得到，量測(cè)方位及平臺(tái)位置為已知信息。計(jì)算過(guò)程中選用抽樣算法用于計(jì)算目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真數(shù)據(jù)生成

a）航路態(tài)勢(shì)

航路態(tài)勢(shì)參數(shù)選取見(jiàn)表1。

表1 航路態(tài)勢(shì)參數(shù)取值

b）仿真條件

1）假定目標(biāo)勻速直航，兩觀測(cè)平臺(tái)間距為20 km，速度6 kn，航向90°；

2）方位測(cè)量隨機(jī)誤差均方根為2.5°，平臺(tái)導(dǎo)航誤差均方根為0.1 kn、0.25°；

3）平臺(tái)之間的信息周期傳輸、誤碼率為零，采樣周期及解算周期均為10 s；

4）航路運(yùn)行時(shí)間為30 min，運(yùn)行1000航次。

c) 典型態(tài)勢(shì)：D0=80 km，Vm=18 kn，Cm=150°。

3.2 理論C-R下界與統(tǒng)計(jì)結(jié)果一致性驗(yàn)證

典型態(tài)勢(shì)目標(biāo)定位算法的蒙特卡羅統(tǒng)計(jì)結(jié)果與理論C-R下界的比較結(jié)果如圖1所示。

圖1 典型態(tài)勢(shì)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果比較

由典型態(tài)勢(shì)的仿真結(jié)果可知：目標(biāo)初始狀態(tài)的實(shí)際解算誤差與其理論 C-R下界有著較好的吻合度，說(shuō)明我們提出的目標(biāo)定位算法的性能已達(dá)到最優(yōu)，因此在目標(biāo)定位誤差估計(jì)中完全可以利用理論C-R下界來(lái)刻畫(huà)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)的估計(jì)誤差。

3.3 線性表示和抽樣表示結(jié)果與統(tǒng)計(jì)結(jié)果一致性驗(yàn)證

典型態(tài)勢(shì)蒙特卡羅統(tǒng)計(jì)結(jié)果與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)C-R下界的線性表示、抽樣表示的比較結(jié)果如圖 2所示。

圖2 典型態(tài)勢(shì)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素統(tǒng)計(jì)結(jié)果與兩種C-R下界表示的比較

由典型態(tài)勢(shì)的仿真結(jié)果比較可看出：目標(biāo)距離參數(shù)的實(shí)際解算誤差與其理論C-R下界的線性表示、抽樣表示有著較好的吻合度；目標(biāo)速度、航向參數(shù)的實(shí)際解算誤差與其理論C-R下界的抽樣統(tǒng)計(jì)能夠很好地吻合。因此在目標(biāo)定位誤差估計(jì)中可用理論C-R下界的抽樣統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)描述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的估計(jì)誤差。

3.4 多平臺(tái)目標(biāo)定位誤差估計(jì)模型的仿真驗(yàn)證

典型態(tài)勢(shì) 10個(gè)航次的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的理論與估計(jì)結(jié)果比較如圖3所示。

圖3 典型態(tài)勢(shì)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)10個(gè)航次理論與估計(jì)結(jié)果比較

由典型態(tài)勢(shì)仿真結(jié)果可看出：目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差的估計(jì)結(jié)果并不是在所有解算時(shí)刻都能與理論結(jié)果很好地吻合，但是，當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素的解算精度達(dá)到一定要求（即解算結(jié)果滿足設(shè)定的精度指標(biāo)，或 6、7分鐘后解算結(jié)果逐漸穩(wěn)定）時(shí)，目標(biāo)距離、速度、航向的估計(jì)結(jié)果可很好地與理論結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了誤差估計(jì)模型的適應(yīng)性、有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)選取的所有航路進(jìn)行仿真測(cè)試，測(cè)試結(jié)果表明：在仿真驗(yàn)證中，目標(biāo)初始狀態(tài)的實(shí)際解算誤差與其理論C-R下界有著較好的吻合度，說(shuō)明目標(biāo)定位算法的性能已達(dá)到最優(yōu)；目標(biāo)距離參數(shù)、速度、航向參數(shù)的實(shí)際解算誤差與其理論C-R下界的抽樣統(tǒng)計(jì)能夠很好地吻合；這些驗(yàn)證結(jié)論為多平臺(tái)目標(biāo)定位誤差估計(jì)模型的建立奠定了基礎(chǔ)。由多平臺(tái)目標(biāo)定位誤差估計(jì)算法的仿真結(jié)果可看出，定位誤差估計(jì)結(jié)果在經(jīng)過(guò)較短的時(shí)間之后可有效地與理論結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了定位誤差估計(jì)模型的適應(yīng)性、有效性，可以在工程實(shí)際中應(yīng)用。

[1]茆詩(shī)松,王靜龍,濮曉龍. 高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社;施普林格:施普林格出版社,1998.

[2]Taylor, J.H. The Cramer-Rao Estimation Error Lower Bound Computation for Deterministic Nonlinear Systems IEEE Trans.AC., 1979(2):343-344.

[3]肖碧琴,袁富宇. 聲納方位量測(cè)誤差均方根實(shí)時(shí)估計(jì)研究[D].連云港：第716研究所2007年度學(xué)術(shù)交流論文集,2007.

[4]袁亞湘,孫文瑜. 最優(yōu)化理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[5]孫德敏. 工程最優(yōu)化方法及應(yīng)用[M].合肥:中國(guó)科技大學(xué)出版社,1997.