顏保凡，郭垂江，廖 勇

(1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 運(yùn)輸管理系，湖南 株洲 412000；2.西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，四川 成都 610031)

在新否建滿鐵足路設(shè)或計既通有過線能改力造和時列，車需安驗(yàn)全證運(yùn)線行路的平要縱求斷，面但是不具備列車牽引試驗(yàn)的條件，可用列車運(yùn)行時分計算 (列車牽引計算) 替代，通過仿真獲得比較精確的數(shù)據(jù)。在實(shí)踐中，列車力學(xué)模型對計算結(jié)果的影響，不同的專家看法不一。一些專家認(rèn)為，單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型具有易于建模和良好的數(shù)學(xué)特性，特別是列車自動計算的算法易于實(shí)現(xiàn)，并且對區(qū)間運(yùn)行時分的影響不大。另一些專家認(rèn)為，單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型不能如實(shí)反映列車運(yùn)行過程中受力的動態(tài)變化，計算結(jié)果偏差較大，因此提倡多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型。以下對列車運(yùn)行模擬中的單質(zhì)點(diǎn)和多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型給出各自的數(shù)學(xué)模型，通過模擬仿真分析不同模型對列車運(yùn)行的影響。

1 單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型

單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型將整列車視為一個剛性的質(zhì)點(diǎn)，忽略了列車的長度和車輛之間的相互作用力，當(dāng)列車跨越變坡點(diǎn) (曲率變化點(diǎn)) 時，列車的附加阻力發(fā)生突變。如圖1所示，列車進(jìn)入坡段 AB，自 A 點(diǎn)到坡段末端 B 點(diǎn)列車受到的單位附加阻力均為 iAB。當(dāng)列車越過變坡點(diǎn) B 后，列車的單位附加阻力由 iAB突變到 iBC，一直保持到 C 點(diǎn)出坡。簡化的單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型偏離了列車真實(shí)的縱向力學(xué)特性，不能精確地反映列車在運(yùn)行過程中力學(xué)的動態(tài)變化。但由于在分析計算過程中其計算量小，易于操作和利于圖解等特點(diǎn)，在手工作業(yè)和電算初期采用較為廣泛。

列車在運(yùn)行過程中除受到牽引力、基本阻力和制動力外還受到坡段附加阻力、隧道附加阻力和曲線附加阻力。3 種附加阻力可折算成單位加算附加阻力：

式中：wj為單位加算附加阻力，N/kN；i 為坡段的坡度，‰；l 為坡段的長度，m；Rm為坡段內(nèi)第 m 個曲線的半徑，m；n2為坡段內(nèi)曲線的數(shù)量；lqm為坡段內(nèi)第 m 個曲線的長度 (未在坡段內(nèi)的部分長度除外)，m；wsf為坡段內(nèi)第 f 個隧道的單位附加阻力，N/kN；lsf為坡段內(nèi)第 f 個隧道的長度 (未在坡段內(nèi)的部分長度除外)，m；n3為坡段內(nèi)隧道的數(shù)量。

單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中作用于列車的單位合力為：

式中：c 為列車的單位合力，N/kN；F 為列車牽引力 (非牽引工況下為 0)，kN；D 為動力制動力 (動力制動不作用時為 0)，kN；b 為緊急制動工況下列車的單位空氣制動力 (空氣制動不作用時為 0)，N/kN；βc為常用制動系數(shù)；w0為列車的單位基本阻力，N/kN；g 為重力加速度，m/s2；Mh為列車的換算質(zhì)量，t；M 為列車的質(zhì)量，t；Ge為轉(zhuǎn)動慣量常數(shù)。

單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中的列車運(yùn)動學(xué)方程為[2]：

式中：v1為列車的初速度，km/h；v2為列車的末速度，km/h；Δt 為列車由速度 v1運(yùn)行到 v2的時間，s；Δs 為列車由速度 v1運(yùn)行到 v2的距離，m。

2 多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型

多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型是將每輛車簡化成一個質(zhì)點(diǎn)，構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)鏈，能夠反映列車編組、長度對受力和運(yùn)行的影響。多質(zhì)點(diǎn)列車模型仍以解析法為計算基礎(chǔ)，單獨(dú)計算車輛間的縱向車鉤力。如圖2 所示，列車的單位加算附加阻力為：

式中：ll為列車的長度，m；lAB為列車在坡段 AB 上的長度，m；i1為坡段 AB 的坡度，‰；i2為坡段 BC的坡度，‰。

公式⑹可視為以lAB為自變量、wj為因變量的函數(shù)，該函數(shù)為一次初等函數(shù)，在整個定義域內(nèi)連續(xù)。wj在過變坡點(diǎn)時是連續(xù)變化的。計算列車的運(yùn)行時分時，車輛間的相互作用是列車的內(nèi)力，對整個列車加速度的影響可忽略不計。為建模需要將列車簡化為質(zhì)點(diǎn)間無相對運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)鏈。列車所受到的各種附加阻力按長度平均分配，即按列車長度計算平均的加算附加阻力。由于計算機(jī)運(yùn)行速度快，采取的計算步長較小時，每個步長可以隨時按列車所覆蓋的坡段、曲線和隧道的長度加權(quán)平均計算，即按列車所覆蓋的地段計算列車所在位置的加算附加阻力[2]。此時，單位加算附加阻力為：

式中：ll為列車長度，m；ik為列車所覆蓋的第 k 個坡段的坡度，‰；lk為列車所覆蓋的第 k 個坡段的長度，m；Rm為列車所覆蓋的第 m 個曲線的半徑，m；lqm為列車所覆蓋的第 m 個曲線的長度 (未覆蓋的部分長度除外)，m；wsf為列車所覆蓋的第 f 個隧道的單位附加阻力，N/kN；lsf為列車所覆蓋的第 f 個隧道的長度 (未覆蓋的部分長度除外)，m；n1為列車覆蓋的坡段數(shù)量；n2為列車覆蓋的曲線數(shù)量；n3為列車覆蓋的隧道數(shù)量。

多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中第 n 輛車的加速度為：

式中：an為第 n 輛車的加速度，m/s2；Gqn為第 n 輛車前車鉤拉力，kN；Fn為第 n 輛車的牽引力 (非牽引工況為 0)，kN；Ghn為第 n 輛車后車鉤拉力，kN；W0n為第 n 輛車的基本阻力，kN；Bn為第 n 輛車的空氣制動力 (空氣制動不作用時為 0)，kN；Dn為第 n 輛車的動力制動力 (動力制動不作用時為 0)，kN；Wjn為第 n 輛車的加算附加阻力，kN；Mhn為第 n 輛車的換算質(zhì)量，t；Mn為第 n 輛車的實(shí)際質(zhì)量，t；Ge為轉(zhuǎn)動慣量常數(shù)。

考慮到各輛車的加速度相等：

以每輛車為對象，將公式⑼代入公式⑻中得：

由力的作用是相互的可知：

結(jié)合公式 ⑽—公式 ⑿ 得：

式中：F 為整個列車的牽引力，kN；W0為整個列車的基本阻力，kN；B 為整個列車的空氣制動力，kN；D 為整個列車的動力制動力，kN；Wj為列車加算附加阻力，kN。Wj的計算公式為：

由公式 ⒁ 可知，多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型以每一輛車為研究對象，在不考慮列車內(nèi)部的車輛相對作用時，可將列車視為整體計算列車的合力。由于考慮了列車長度，wj的計算必須采用公式⑺，再結(jié)合公式⑵計算單位合力，按照公式⑷、公式⑸計算時間和距離。

3 模型仿真與分析

3.1 仿真條件

列車動力模型仿真選用 SS4型電力機(jī)車，牽引滾動軸承重貨車 60 輛，牽引質(zhì)量 4 000 t，高磷鑄鐵閘瓦，列車的換算制動率為 0.28，列車長 650 m，常用制動列車管減壓量 80 kPa，常用制動系數(shù)為 0.53，列車管定壓為 500 kPa，區(qū)間長度為 6.415 km，以時間為迭代變量，迭代步長 0.01 s。線路的縱斷面數(shù)據(jù)和曲線數(shù)據(jù)如表1 和表2 所示。

表1 線路的縱斷面數(shù)據(jù)

表2 線路曲線數(shù)據(jù)

SS4型電力機(jī)車的牽引特性如圖3 所示，其牽引工況下的單位合力曲線如圖4 所示。SS4型電力機(jī)車的基本阻力為：

高磷閘瓦的換算摩擦系數(shù)為：

滾動軸承重貨車的基本阻力為：

3.2 列車受力分析

由于隧道附加阻力目前尚無具體的經(jīng)驗(yàn)公式可循，在仿真中不予考慮。列車在不同地點(diǎn)受到的單位加算附加阻力如圖5 所示。在單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型條件下，單位加算附加阻力曲線是間斷的，在變坡點(diǎn)發(fā)生突變；在多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型條件下，單位加算附加阻力曲線是連續(xù)的，隨列車的運(yùn)行距離變化平緩。由上述分析可知，單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型不能如實(shí)反映列車單位加算附加阻力的變化趨勢。如圖5 中，當(dāng)列車由坡段 10 進(jìn)入坡段 11 時，單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中坡度差的絕對值約為 7.5‰，越過變坡點(diǎn)后，單位加算附加阻力以該值發(fā)生突變；但是，在多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中考慮列車長度后，列車由坡段 10 進(jìn)入坡段 11 時，其單位合力不但沒有降低，反而持續(xù)上升。當(dāng)列車由坡段 14 進(jìn)入坡段15 時亦然。

3.3 仿真結(jié)果分析

單質(zhì)點(diǎn)和多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型的距離—速度仿真曲線分別反映了 2 種列車力學(xué)模型速度隨運(yùn)行距離的變化，如圖6 所示。圖6 中的速度曲線顯示，多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型條件下，列車的速度變化平緩；單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型條件下，速度在點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G處速度波動劇烈，分別由升速轉(zhuǎn)換為減速，或者由減速轉(zhuǎn)換為升速，該類速度趨勢的轉(zhuǎn)換點(diǎn)稱為速度拐點(diǎn)，在速度拐點(diǎn)處列車的合力為零。圖6 中a,b,c,d,e,f,g點(diǎn)為多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中的速度拐點(diǎn)。單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中加算附加阻力的突變是導(dǎo)致列車速度劇烈波動的原因；多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中加算附加阻力的變化是連續(xù)的，加速度變化平穩(wěn)，因此列車速度變化平緩。同時，由于2種不同模型中列車受力的差異，列車速度拐點(diǎn)出現(xiàn)在不同的運(yùn)行距離上。

在列車起動加速階段和制動停車階段，2 種模型的速度曲線擬合程度較高。這是由于車站附近的線路條件較好，同時列車在起動、停車時速度較低，其自身的牽引力或制動力較大，坡段變化對列車速度的影響有限。而在坡度變化較大的區(qū)段，列車速度較高，牽引工況下列車的牽引力隨速度的升高而降低，惰行工況下基本阻力有所提高；但相對于較大的坡道附加阻力而言，對列車速度產(chǎn)生的影響仍然有限，使2種模型的速度曲線吻合度較低。單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型條件下列車區(qū)間運(yùn)行時分為 514 s，多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型條件下列車區(qū)間運(yùn)行時分為 503 s，絕對誤差為 11 s，相對誤差約為 3%。

比較 2 種列車力學(xué)模型曲線的速度拐點(diǎn)，在進(jìn)入較大坡度的上坡段時，單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型的列車速度迅速下降，多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型的列車速度變化緩慢。例如，當(dāng)列車進(jìn)入 3 號上坡段時，由圖6 可知，列車速度約為 50 km/h；由圖4 可知，牽引工況下列車單位合力約為 9 N/kN；由圖5 可知，單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型的列車加算附加阻力為 18.32 N/kN，并且與列車運(yùn)行方向相反，因此，列車速度迅速降低。多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型條件下，列車的坡段附加阻力在一段距離內(nèi)低于 9 N/kN，列車速度上升，但隨著列車速度的升高加速度逐漸減小為 0，因此，列車速度變換平緩。同理，可以解釋在列車進(jìn)入坡度較大的下坡段時，單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中列車速度迅速上升，多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型中列車速度變化緩慢的特點(diǎn)。

4 結(jié)論

（1）在計算列車區(qū)間運(yùn)行時分和能耗時，將整個列車視為研究對象，車輛之間的相互作用是列車的內(nèi)力，對牽引計算的結(jié)果影響程度較小，因此，可將列車視為連續(xù)的質(zhì)點(diǎn)鏈。

（2）建立的數(shù)學(xué)模型反映了單質(zhì)點(diǎn)與多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型的本質(zhì)；兩者的外在區(qū)別是是否考慮列車長度，本質(zhì)區(qū)別是附加阻力在變坡點(diǎn)的變化是否連續(xù)。

（3）多質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型較好地考慮了列車長度，附加阻力的變化是連續(xù)的；單質(zhì)點(diǎn)列車力學(xué)模型未考慮列車長度，附加阻力在變坡點(diǎn)突變，不符合列車的實(shí)際受力過程。

[1]饒 忠. 列車牽引計算[M]. 北京：中國鐵道出版社，1999.

[2]張中央，孫中央. 列車附加阻力計算中計入列車長度的辨析[J]. 鐵道機(jī)車車輛，2000(2)：36-39.

[3]毛保華，何天鍵，袁振洲，等. 通用列車運(yùn)行模擬軟件系統(tǒng)研究[J]. 鐵道學(xué)報，2000，22(1)：1-5.