李海洋,王 磊

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,南陽 473009)

0 引 言

股票市場是一個非常復(fù)雜的經(jīng)濟系統(tǒng),關(guān)于其波動規(guī)律的研究分析一直是人們所熱衷的話題.被譽為＂分形之父＂的分形學(xué)創(chuàng)始人Mandelbrot指出,如果把股票市場走勢圖按一定比例放大或縮小,每年、每月的波動和每周甚至每日的波動,在一定范圍內(nèi),趨勢都是極其相似的.而這種體現(xiàn)＂自相似＂性的股市曲線,完全可以利用適用于分形理論的研究方法進行分析判斷.1997年,Mandelbrot創(chuàng)立了著名的資產(chǎn)收益率多重分形模型[1],用于描述金融資產(chǎn)價格變化規(guī)律,他進一步指出,多重分形分析可以復(fù)現(xiàn)波動劇烈的金融交易,提供關(guān)于市場動向的預(yù)計值,從而顯示出變幻莫測的金融市場的某些規(guī)律性.

多重分形去趨勢波動分析法(MF-DFA)是Kantelhardt于2002年提出的[2],該方法在研究分形信號時,能夠很好的揭示非平穩(wěn)時間序列中的長范圍相關(guān)性.自其創(chuàng)立之日起,MF-DFA就被頻繁的應(yīng)用于研究金融股票市場的多重分形結(jié)構(gòu),并取得了一些有益的結(jié)論.本文依據(jù)分形理論,基于MF-DFA方法,選取了國內(nèi)外股票市場中的一些數(shù)據(jù),即每日收益來研究分析其多重分形結(jié)構(gòu),并給出了結(jié)論.

1 MF-DFA簡介

去趨勢波動分析法(DFA)[3]是目前常用來分析分形信號性質(zhì)和確定非穩(wěn)態(tài)時間序列相關(guān)性的一種數(shù)學(xué)工具,而MF-DFA是對DFA的一種推廣,其步驟如下:

(1)首先對于一個原始的時間序列x(i),i=1,2,…,N,我們考察它的輪廓(Profile)其中N表示該時間序列的長度表示取平均值.

(4)將F2(v,n)在所有具有長度n的部分上作平均,相應(yīng)的q次波動函數(shù)可以由下式給出:

(5)Fq(n)的主要性質(zhì)是,對于一個分形信號,它揭示了冪定律的尺度關(guān)系.固定階數(shù)q,通過在雙對數(shù)圖中分析,Fq(n)與的關(guān)系如下:

此時,對每一個分割長度n,可求出相應(yīng)的一個波動函數(shù)值Fq(n),作出ln Fq(n)～ln n函數(shù)關(guān)系圖,其斜率即為 q階廣義 Hurst指數(shù) h(q).當h(q)不依賴于q,即h(q)為常數(shù)時,這就是單分形的情況;在多重分形的情況下,h(q)關(guān)于q是單調(diào)下降的.

(6)通過以上步驟而得到的h(q)與Renyi指數(shù)τ(q)相關(guān),具體關(guān)系如下:

其中α刻畫了奇異性強度,f(α)即被看成是原序列中具有奇異性α的子集的分形維數(shù).

2 股市多重分形結(jié)構(gòu)研究

在這里我們選取了一些主要國家股票市場中的每日收益數(shù)據(jù)來進行多重分形研究,使用的數(shù)據(jù)是從www.finance.yahoo.com上獲得的,以下分析過程中相關(guān)數(shù)據(jù)的運算和圖像的繪制均由MATLAB完成.

首先是18組來自不同國家的股票價格指數(shù),選取的是2000-2009年這段時間內(nèi)各個股市每日收盤指數(shù),忽略其中的非交易日,每個序列大約有2500-3500個數(shù)據(jù).這18組數(shù)據(jù)分別來自:SP500(美國)、GSPTSE(加拿大)、IPC(墨西哥)、MERV(阿根廷)、CAC(法國)、DAX(德國)、FTSE100(英國)、MIBTEL(意大利)、OSEAX(挪威)、XU100(土耳其)、NIKKEI(日本)、KOSPI(韓國)、STI(新加坡)、HSI(香港)、ISEC weighted(臺灣)、SSEC(中國大陸)、BSE(印度)、KLSE(馬來西亞).在這里需要指出的是,我們獲得的是原始數(shù)據(jù)是大盤每日收盤的價格序列,而考察的是它的對數(shù)價格增量

由前面所述步驟,首先計算q次波動函數(shù)F q(n),對(5)式兩邊取對數(shù),得到一組h(q).從圖1中可以看出(以 SP500、DAX、HSI、NIKKEI為例),對應(yīng)不同的q,h(q)是不同的,并且是關(guān)于q的單調(diào)下降函數(shù),即考察的時間序列符合重分形的特征.

圖1 lnFq(n)～lnn函數(shù)關(guān)系圖,q=8,5,2,-1,-4

H=h(2)被稱為Hurst指數(shù).當序列是完全隨機的時候,;當序列具有正相關(guān)性時,H＞;當序列具有反相關(guān)性時,.我們將這18組數(shù)據(jù)對應(yīng)的h(0),h(1),h(2)在下表中給出:

美國 加拿大 法國 英國 意大利 德國 墨西哥 阿根廷 挪威h(0) 0.4928 0.5392 .4948 0.5198 0.5537 0.5320 0.5745 0.5805 0.5801 h(1) 0.4813 0.5148 0.4820 0.5081 0.5367 0.5162 0.5586 0.5630 0.5608 h(2) 0.4589 0.4848 0.4650 0.4911 0.5175 0.4987 0.5393 0.5422 0.5324△α 0.5153 0.4343 0.3305 0.4102 0.4779 0.5481 0.3945 0.3831 0.5402土耳其 日本 韓國 新加坡 香港 臺灣 中國 印度 馬來h(0) 0.5642 0.5287 0.5500 0.5641 0.5527 0.5606 0.5740 0.5621 0.6216 h(1) 0.5541 0.5080 0.5360 0.5560 0.5362 0.5488 0.5333 0.5362 0.5917 h(2) 0.5412 0.4877 0.5251 0.5413 0.5139 0.5344 0.5009 0.5094 0.5441△α 0.3435 0.5287 0.3433 0.4186 0.4591 0.3035 0.5723 0.5128 0.6631

由上表可以清楚的看到,對應(yīng)于成熟的股票市場,即美國 、加拿大 、法國 、德國、意大利、日本,都有來自其他新興市場的都

重分形奇異普給出許多重要信息來描述其內(nèi)部結(jié)構(gòu),在(7)式中的α刻畫了奇異性的強度而f(α)即被看成該結(jié)構(gòu)中具有奇異性 α的子集的分形維數(shù).通常一個結(jié)構(gòu)重分形特征的強弱可以從其譜的出來.△α也在上表中給出,顯然它沒有對應(yīng)于H那樣的一致性結(jié)果.

對于一個重分形序列,其重分形性質(zhì)源自兩個方面:一是該序列的非高斯分布,即具有“尖峰、胖尾”特征的分布;二是該序列的長程相關(guān)性.要分辨這兩種來源,一個簡單的方法是將該序列的次序充分的隨機打亂,破壞其相關(guān)性[5].在圖2中我們給出了這種變化前后的對比(以 SP500、DAX、HSI、NIKKEI為例).

可以看到:第一列對應(yīng) f(α)vs.α說明更強的重分形性對應(yīng)更“曲”的曲線;第二列對應(yīng)τ(q)vs.q,當序列被隨機打亂后,其譜的寬度明顯變窄了.同時可以看到原序列最大的 f(α)位于α=0.5附近,表明具有較弱的自相關(guān)性;而隨機打亂的序列,其最大的f(α)都位于α=0.5處.我們考察次序打亂前后的譜寬比沒有發(fā)現(xiàn)像Hurst指數(shù) H那樣的一致性結(jié)果.

圖2 左列為不同的股票指數(shù)對應(yīng)的奇異譜 f(α),右列為τ(q)關(guān)于q的關(guān)系.

其中實線對應(yīng)原始序列(original series),虛線對應(yīng)隨即打亂后的序列(shuffled series).

3 結(jié) 語

通過以上考察,我們可以清楚看到股市多重分形特征的存在,其序列分布較之高斯分布具有典型的＂尖峰、胖尾＂特征,也發(fā)現(xiàn)了發(fā)達國家成熟的股票市場與發(fā)展中國家不太成熟的股票市場之間所存在明顯差異,揭示了一些對預(yù)測股市變化有益的一些規(guī)律,這對于我們深入了解與把握股票市場的變化趨勢都是具有積極意義的.

同時也可以看出,MF-DFA作為一種新的方法,在研究分形結(jié)構(gòu)時具有較好的準確度和穩(wěn)定性.雖然當前關(guān)于金融市場多重分形理論的研究仍處于初步階段,還有一些問題有待解決[6],但是基于MF-DFA的股市多重分形結(jié)構(gòu)研究卻是有著相當重要的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價值的.

[1]Mandelbrot B B,Fisher A,Calvert L.A Multifractal Model of Asset Returns[J].Yale University,Working Paper,1997.

[2]Jan W.Kantelhardt,Stephan A.Zschiegner,Eva Koscielny-Bundeet al.Multifractal Detrended Fluctuation Analysis of Nonstationary Time Series[J].Physica A,2006,316:87-114.

[3]C.K.Peng,S.V.Buldyrev,S.Havlin et al.M osic Organization of DNA Nucleotides,Phys.Rev.E,1994,49:1685-1689

[4]Eva Koscielny-Bunde,Jan W.Kantelhardt,Braun P,et al.Long-termPersistence and Multifractal of River Runoff Records:Detrended fluctuation studies[J].Journal of Hydrology,2006,322:120-137

[5]田 軍,胡 偉.金融市場的分形特征分析[J].財經(jīng)科學(xué),2000,(5):37-39.

[6]張成虎,吳發(fā)燦,趙 龍.分形理論在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用[J].統(tǒng)計與決策,2009,(1):158-159.