俞銀晶,朱旭生,李 翠

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌330013)

本文研究了一類帶有球?qū)ΨQ性質(zhì)的等熵可壓縮氣體動力學(xué)的歐拉方程組,方程組形式為

式中:標(biāo)量函數(shù)ρ,u分別表示氣體密度、速度;r＞0為空間變量;t＞0為時間變量;P表示氣體壓強,并滿足P(ρ)=a2ργ;a為正常數(shù);γ為絕熱指數(shù);-α ρ u表示阻尼項;α為常數(shù)。

對于一維歐拉方程,經(jīng)典解的存在性和爆破問題已經(jīng)被很多人研究過了,在文獻[1]中研究了一維帶阻尼項的Euler方程組初邊值問題的齊次Dirichlet邊值情形。當(dāng)初值在平衡解附近小擾動時,得到了時間整體解的存在唯一性,在文獻[2]中介紹了大初值條件下,一維歐拉方程組經(jīng)典解的爆破。因此,本文考慮把三維歐拉方程轉(zhuǎn)化為一維歐拉方程,即通過球?qū)ΨQ變換,降低維數(shù),進而簡化運算,得到解的存在性。

首先,方程組(1)轉(zhuǎn)化為對稱雙曲型方程,進而得到局部解的存在性;其次,在等溫情形下,利用方程的轉(zhuǎn)化和在文獻[3]中提到的Lagrangean質(zhì)量坐標(biāo)的引入,方程組(1)被轉(zhuǎn)化為p-系統(tǒng)?？紤]到p-系統(tǒng)的研究成果很多,本文通過已研究的帶線性阻尼項的p-系統(tǒng)的理論,以及文獻[4]對非齊次項的考慮,得到了方程的近似解,最后,推得在有限時間區(qū)間里,近似解收斂,并證明它為一個弱解。

1 局部解存在性

沿著粒子軌跡,對密度求導(dǎo)得

解此常微分方程得

由此可見,引理成立。

由對稱雙曲型方程組Cauchy問題解的局部存在性理論[5],上述式子(3)(4)有關(guān)于時間的局部存在性結(jié)論。

2 弱解的存在性

已知對于三維歐拉方程組,整體解的存在性很難得到,下面證明三維等熵歐拉方程組整體弱解存在。首先,把方程組轉(zhuǎn)化為p-系統(tǒng)。

由方程組(1)可知,在r=0處有奇異點。因此,設(shè)1≤r＜∞,也就是在單位球的外部討論該方程的初邊值問題:

由文獻[3],引入lagrangean質(zhì)量坐標(biāo)

計算得

下面考慮方程組(7)的初邊值問題:

證明 先給出弱解的定義。

引理3[6]如果存在,使得

那么稱u,v為式子(7)(8)的弱解。

為了證明定理2,我們利用Glimm模式[7]先建立一組近似弱解;然后由其收斂,并通過細致的驗算可以得到式子(9)成立。具體過程如下:

根據(jù)文獻[7]中定理5.1.3有:

4.4 對同一年份春季干旱評估，相對濕潤度指數(shù)(M指數(shù))及標(biāo)準化降水指數(shù)(SPI指數(shù))的等級劃分不同，天峻地區(qū)春季“十年九旱”的實際情況，相對濕潤度指數(shù)(M指數(shù))對天峻干旱等級的評估更合理。

存在收斂于0+的數(shù)組使得對所有 m,當(dāng)變量時,有

黎曼問題的中心在t=0,x=jΔx,這里j為奇數(shù)。

對于初邊值問題:

假如 uh,vh已經(jīng)被定義在0＜t＜nΔt,對于nΔt≤t＜(n+1)Δt,jΔx≤x ＜(j+2)Δt,這里j為奇數(shù)。定義

這里uh0,vh0表示如下:

于是就得到了近似解uh,vh,再由定理的條件以及引理4,可得uh,vh有界。那么存在u,v,使得 uh,vh在局部可積空間中唯一收斂到u,v。

下面證明u,v為弱解,也就是式子(9)成立。令函數(shù)φ,ψ為對于區(qū)間{(x,t):0＜x＜∞,0＜t＜T}的緊集,并有先證方程組(9)中第一式,由于 uh為弱解,那么滿足:

對 n求和,有

這里 N=T/Δt,當(dāng)N →∞時,上述方程的右邊趨向于零,左邊 uh→u,vh→v,則

由于 vh為弱解,滿足

等式右邊 =-I1-I2。這里

當(dāng)N →∞時,Δ t→0,表示了網(wǎng)格分得足夠細時I1→0。

當(dāng)N →∞時,Δt→0,表示了網(wǎng)格分得足夠細時I2→0。

式子(16)左邊當(dāng)N→∞時,uh→u,vh→v,那么方程組(9)的第二式成立。

綜上可知,定理2成立。

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