楊榮福

（廈門(mén)榮廈機(jī)電工程有限公司，福建廈門(mén)361009）

中國(guó)的PCB產(chǎn)量已居世界第一，但仍是PCB進(jìn)口國(guó)家，所以PCB工業(yè)要向更深層次發(fā)展，才能滿(mǎn)足我國(guó)信息產(chǎn)業(yè)的要求?，F(xiàn)在面臨的挑戰(zhàn)為：轉(zhuǎn)型、成本和環(huán)保方面三大主題[1]。具體到制造過(guò)程中，就是要提高PCB的制造精度，降低成本。這需要制造技術(shù)人員改善工藝，進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn)，分析實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，這些就成為工藝技術(shù)人員和品質(zhì)檢驗(yàn)人員工作的重點(diǎn)。而最小二乘法是科研人員和工程人員最普遍使用的方法之一，若用手算實(shí)現(xiàn)，則非常復(fù)雜，當(dāng)用Excel和MATLAB實(shí)現(xiàn)起來(lái)，則輕松簡(jiǎn)單了。本文以PCB板厚估計(jì)的曲線(xiàn)擬合為例，說(shuō)明了最小二乘法與Excel及MATLAB結(jié)合在PCB制造過(guò)程中的應(yīng)用。

1 最小二乘法基本原理

在對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析研究工作中，常需從一組觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)

（xi,yi）（i=1,2…,N）中，

求得變量x與y之間的某種近似關(guān)系y=φ（x）。

從幾何圖形上看，就是根據(jù)N個(gè)給定的點(diǎn)（xi,yi）（i=1,2…,N）求一條近似曲線(xiàn)，由于一般實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很多，而且觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)本身還有誤差，因此所求的曲線(xiàn)不要求過(guò)所有的給定點(diǎn)（xi,yi），即不要求

而只要求函數(shù)y=φ（x）能反映數(shù)據(jù)的基本變化趨勢(shì)，滿(mǎn)足

按這樣確定的更一般的提法是：對(duì)于給定的數(shù)據(jù)

（xi,yi）（i=1,2…,N），

選取線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)族Σφ（xiΣ） 及權(quán)函數(shù) ω（x），要求在函數(shù)類(lèi)

φ*（x）=aφ0+aφ1+…+aφm（m ＜ N），使

顯然上式是（m+1）個(gè)變量a0,a1,…，am的二次函數(shù)

由多元函數(shù)極值的必要條件，有

引入內(nèi)積

方程組就可用矩陣形式表示為

稱(chēng)為法方程，

則可寫(xiě)成

ATWAα=ATWY

由于 φ0,φ1,…,φm線(xiàn)性無(wú)關(guān)，

法方程存在惟一解

從而得

最小平方誤差為

若 φ0,φ1,…，φm還是標(biāo)準(zhǔn)正交系，則

這種方法叫做最小二乘法[2]。

2 PCB板厚估計(jì)問(wèn)題的提出

多層PCB的板厚是其制造過(guò)程中品質(zhì)控制的重要項(xiàng)目，因多層PCB板厚有如下規(guī)律[3]：中央厚，四周?。ㄒ?jiàn)圖1）。為了所有板厚達(dá)到規(guī)定范圍，則要求制造過(guò)程中板面積不能太大，但太小浪費(fèi)成本，故確定一個(gè)合適的面積，是制造前要考慮的。但具體相對(duì)中心點(diǎn)各半徑處的厚度與半徑有何規(guī)律，則尚無(wú)確定的數(shù)量關(guān)系。故可做專(zhuān)門(mén)的試驗(yàn)，獲得原始數(shù)據(jù)，再用最小二乘法進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，找出二者之間的近似關(guān)系函數(shù)，在實(shí)際產(chǎn)品投入時(shí)，就可以此公式計(jì)算，從而可在PCB拼版時(shí)確定一個(gè)合適的面積。

3 最小二乘法在PCB板厚估算中的應(yīng)用

最小二乘法的使用，是基于所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的。經(jīng)過(guò)對(duì)試驗(yàn)PCB板厚的測(cè)量，數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，就可以根據(jù)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法做曲線(xiàn)擬合了。下面分別用EXCELL和MATLAB進(jìn)行實(shí)際操作，并進(jìn)行了結(jié)果對(duì)比，工程人員可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)狀況選擇所用的工具。

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)的板厚數(shù)據(jù)

3.1 用Excel實(shí)現(xiàn)曲線(xiàn)擬合結(jié)果

Excel數(shù)據(jù)處理，就是使用Micro office中的Excel數(shù)據(jù)處理軟件，利用公式和函數(shù)對(duì)工作表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行求和、分類(lèi)匯總和計(jì)算。打開(kāi)Excel文檔，先把試驗(yàn)數(shù)據(jù)填人數(shù)據(jù)表格中，然后插入圖表，并為數(shù)據(jù)添加趨勢(shì)線(xiàn)，選擇顯示公式和顯示R的平方值，就可以輕松地得到擬合曲線(xiàn)的公式及平方誤差了。取3階多項(xiàng)式擬合得近似公式

y=-8e-005x3+0.000 8 x2-0.017 5 x+2.016 6，

平方誤差

R2=0.998 9。

曲線(xiàn)結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖2 Excell擬合結(jié)果

圖3 Matab擬合結(jié)果

3.2 用Matlab實(shí)現(xiàn)曲線(xiàn)擬合結(jié)果

Matlab是一種功能十分強(qiáng)大、運(yùn)算效率很高的數(shù)學(xué)工具軟件。在matlab語(yǔ)言中，使用polyfit（X，Y，N）函數(shù)來(lái)求解最小二乘曲線(xiàn)擬合問(wèn)題[4]，其中

X，Y為相對(duì)應(yīng)所測(cè)數(shù)據(jù)，N為擬合階數(shù)。

取 X=x0，Y=y0，N=3

求近似公式得

Y=-6.791e-007x3+3.375 3 e-005 x2-0.003 49 x+2.016 6

平方誤差δ2=2.784 4 e-005。

曲線(xiàn)結(jié)果見(jiàn)圖3。

3.3 用Excel和MATLAB實(shí)現(xiàn)后的結(jié)果比較

通過(guò)以上例子可以發(fā)現(xiàn)：利用最小二乘法原理與Excel及MATLAB均可計(jì)算和畫(huà)出的曲線(xiàn)清晰美觀(guān)的關(guān)系圖，得出近似關(guān)系式及平方誤差。但兩者的結(jié)果不相同，由δ2=2.784 4 e-005遠(yuǎn)小于R2=0.998 9可知，MATLAB編程實(shí)現(xiàn)的結(jié)果精度要高，Excel則簡(jiǎn)單方便，直接可以將結(jié)果嵌在工作報(bào)告里了，在要求精度不高時(shí)，得到廣泛使用。

4 結(jié)束語(yǔ)

PCB制造資料整理，是PCB制造過(guò)程中從試驗(yàn)—試驗(yàn)資料整理—提交報(bào)告整個(gè)環(huán)節(jié)中，比較重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，其好壞直接決定著試驗(yàn)報(bào)告的水平和質(zhì)量。把最小二乘法原理與Excel及MATLAB數(shù)據(jù)處理工具用在資料整理工作中，將會(huì)大大提高工作效率，提高工作質(zhì)量。

[1]林金堵.中國(guó)PCB行業(yè)狀況與挑戰(zhàn)[J].印制電路信息，2009，（1）：16-19.

[2]李 紅.數(shù)值分析[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.

[3]周敏.最新印制電路設(shè)計(jì)制作工藝與故障診斷、排除技術(shù)實(shí)用手冊(cè)[M].吉林：吉林音像出版社，2003.

[4]周金萍.MATLAB6實(shí)踐與提高[M].河北：中國(guó)電力出版社，2001.