葛 濤,劉保榮,王明洋

（1.94600部隊(duì),河南 鄭州 450000;

2.空軍后勤部機(jī)場(chǎng)營(yíng)房部,北京 100720;

3.解放軍理工大學(xué)工程兵工程學(xué)院,江蘇 南京 210007）

1 引 言

已有的關(guān)于混凝土中侵徹的研究成果集中于對(duì)侵徹半無限靶的研究,且多為經(jīng)驗(yàn)公式[1-3],而彈體貫穿靶體的研究卻很少,大多局限于彈體穿孔金屬板的報(bào)道[3]。混凝土材料在貫穿時(shí)表現(xiàn)出來的力學(xué)特性比金屬?gòu)?fù)雜得多,研究也更困難。即使是何時(shí)被視為貫穿過程的開始,即如何確定貫穿時(shí)刻,迄今也沒有確切的定論[4]。

本文中在侵徹水動(dòng)力模型[5]的基礎(chǔ)上,參照空腔膨脹理論,試圖從混凝土裂縫的不穩(wěn)定增長(zhǎng)的角度來研究如何確定貫穿的發(fā)生時(shí)刻:在裂縫超越出薄板背面以前,彈頭的阻抗力按照文獻(xiàn)[5]來確定,從裂縫超越出背面的那一瞬間,裂縫開始不穩(wěn)定增長(zhǎng),彈頭阻抗力的計(jì)算要考慮由于靶板背面發(fā)生崩落（雖然還與靶體相連）而造成的彈頭相對(duì)速度的降低,并求解貫穿過程中彈體的減加速度。

2 貫穿發(fā)生時(shí)刻的確定

對(duì)于彈頭侵徹前方,文獻(xiàn)[5]中將靶體分為理想流體區(qū)域（粉碎區(qū)r≤R）、徑向裂縫彈性區(qū)（R＜r≤Rc）和原始彈性區(qū)。在彈頭運(yùn)動(dòng)前方,裂縫朝著靶體背面的方向擴(kuò)展,裂縫區(qū)域?qū)⒁獢U(kuò)大,在某一個(gè)時(shí)刻就會(huì)變成不穩(wěn)定的區(qū)域,裂縫向球的外表面上擴(kuò)展的動(dòng)力過程就開始了。這個(gè)時(shí)刻被看作靶體背面對(duì)貫穿過程影響的開始時(shí)刻。基于以上分析,設(shè)混凝土靶體的厚度為H,現(xiàn)在來研究彈頭侵徹到距靶板背面為Rh時(shí)的情形,如圖1所示。

在理想流體區(qū)與裂縫區(qū)的交界r=R處有邊界條件

式中:r、θ、φ為球形坐標(biāo),σrr為徑向應(yīng)力,σrθ和σrφ為環(huán)向應(yīng)力,p為邊界壓應(yīng)力。

裂縫彈性區(qū)（R＜r≤Rc）是楔形桿狀的,也就是由側(cè)表面上沒有應(yīng)力、彼此間互相不發(fā)生作用的楔形桿組成,根據(jù)彈性動(dòng)力學(xué)方程

圖1 侵徹示意圖Fig.1 Schematic diagram of penetration

再利用邊界條件式（1）可得

在R＜r≤Rc的徑向裂縫區(qū)域中,徑向位移和應(yīng)力由彈性力學(xué)公式

確定

式中:u（r）為徑向位移,E為彈性模量,λ與μ為拉梅常數(shù),u（Rc）為r=Rc處的徑向位移。原始彈性區(qū)域?yàn)镽c＜r≤Rh,在它的邊界r=Rc上作用的法向應(yīng)力

在r=Rh處顯然有邊界條件

在Rc＜r≤Rh的區(qū)域中,根據(jù)彈性力學(xué)方程式和條件（5）、（6）,同樣可以得出

從式（7）中求出u（Rc）,代入式（4）中可以求出Rc＜r≤Rh徑向裂縫區(qū)中位移的表達(dá)式,進(jìn)而可以求出r=R處的位移

裂縫區(qū)的邊界r=Rc處要根據(jù)裂縫增長(zhǎng)的能量準(zhǔn)則來確定[6]。Rc增加時(shí)所釋放的能量與裂縫增長(zhǎng)所需要的能量相等,后者就是Rc變化時(shí)表面增大所需要的有效表面能γ,釋放出來的能量等于外力所做的功的一半,所以若Rc增加,則有

式中:l為裂縫與界面r=Rc交線的總長(zhǎng)度,γ=π（1-ν）（1+ν）/（2E）,Kc為混凝土的斷裂韌度,ν為泊松比。將式（8）代入式（9）中得到

當(dāng)p=σ時(shí)（σ為抗壓強(qiáng)度,已知）,根據(jù)穩(wěn)定性定義,式（10）的左邊部分對(duì)Rc求導(dǎo)為0時(shí),裂縫就出現(xiàn)不穩(wěn)定性增長(zhǎng),也即裂縫已達(dá)到靶體背面,由此求出

根據(jù)式（8）第2式可知比值

根據(jù)式（10）與式（12）可得臨界狀態(tài)時(shí)彈頭到靶體背面的距離

從上述公式中可以看出比例尺效應(yīng):當(dāng)彈體向前運(yùn)動(dòng)時(shí),臨界距離與比值的臨界值與成正比例增長(zhǎng)。可以利用公式（13）來計(jì)算臨界距離,彈體侵徹到這個(gè)距離時(shí),裂縫超越出背面,并且開始對(duì)彈頭運(yùn)動(dòng)前方的阻抗力產(chǎn)生削弱影響,也即進(jìn)入了貫穿階段,稱該時(shí)刻為貫穿的發(fā)生時(shí)刻。

3 貫穿過程分析

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的論述,轉(zhuǎn)換為平面問題考慮時(shí),直到Rh＞以前,彈體的運(yùn)動(dòng)都根據(jù)文獻(xiàn)[5]計(jì)

算。根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的式（14）求出與圓柱形管R等效的槽寬L（彈體在其中運(yùn)動(dòng)）為

式（14）各量參見文獻(xiàn)[5]。在計(jì)算彈體端部進(jìn)入混凝土靶體的階段時(shí),所有公式中的半徑r0顯然都應(yīng)由與靶體表面重合的彈體端部截面的半徑來代替,該半徑由侵徹深度決定。

假定t=t*為貫穿發(fā)生時(shí)刻,這時(shí)彈頭距離靶體背面距離為時(shí),裂縫超越出背面,貫穿的崩落過程就開始了,臨界比值/R按式（12）計(jì)算。嚴(yán)格地講,應(yīng)當(dāng)考慮裂縫超越背部的延遲作用,也就是考慮裂縫擴(kuò)展速度的有限性,這里由于沖擊時(shí)裂縫擴(kuò)展速度很大,就忽略了這一點(diǎn)。

當(dāng)貫穿發(fā)生時(shí),要考慮貫穿塊的滑動(dòng)對(duì)侵徹阻抗力的消減作用,可采用下式表述此時(shí)的阻抗力[7]

式中:Q1為作用在彈頭上的阻抗力,也即作用在貫穿塊上的推動(dòng)力;Q為貫穿發(fā)生前的阻抗力,可根據(jù)文獻(xiàn)[7]確定;v1為彈體前方貫穿塊的滑動(dòng)速度。

貫穿塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中:t為侵徹時(shí)間,ρ為混凝土密度,2ρ為貫穿塊質(zhì)量。

彈體的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中:h為侵徹深度,m為彈體質(zhì)量,v為侵徹速度。

貫穿的初始條件為

式中:v為貫穿塊形成時(shí)刻彈體的速度。

聯(lián)合式（15）、（16）與式（17）結(jié)合初始條件（18）及可以求出貫穿過程的阻抗力Q1。將貫穿塊速度與彈體速度相同視為貫穿過程的結(jié)束時(shí)刻。根據(jù)未貫穿時(shí)的阻抗力Q與貫穿過程中阻抗力Q1,可以求出彈體侵徹與貫穿混凝土靶體全過程中的減加速度-Q/m與-Q1/m。

4 彈體減加速度實(shí)例計(jì)算

由于彈體侵徹混凝土靶體的力學(xué)環(huán)境惡劣,減加速度能達(dá)到數(shù)萬個(gè)重力加速度,測(cè)量起來很困難。

利用文獻(xiàn)[8]中實(shí)驗(yàn)所用的彈體與混凝土材料,斷裂韌度Kc利用文獻(xiàn)[6]中提供的數(shù)據(jù)。利用本文的侵徹與貫穿全過程的減加速度計(jì)算方法進(jìn)行了計(jì)算,并與文獻(xiàn)[8]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及該文中的模型做了對(duì)比。

實(shí)例1 彈體質(zhì)量m=13 kg,彈徑為0.076 m,長(zhǎng)徑比為1.5,侵徹初速度v0=139 m/s。混凝土靶體抗壓強(qiáng)度σ=23 MPa,斷裂韌度Kc=0.73 MN/m3/2,密度ρ=2 450 kg/m3,靶體厚H=0.3 m。計(jì)算結(jié)果如圖2（a）所示。橫坐標(biāo)t為侵徹作用時(shí)間,縱坐標(biāo)a為減加速度值,g為重力加速度,下同。

實(shí)例2 選用與實(shí)例1相同的彈體,侵徹初速度v0=314 m/s?；炷涟畜w抗壓強(qiáng)度σ=39 MPa,斷裂韌度Kc=0.81 MN/m3/2,密度 ρ=2 450 kg/m3,靶體厚H=0.5 m。計(jì)算結(jié)果如圖2（b）所示。

圖2 貫穿不同靶體的減加速度曲線Fig.2 Deceleration-time curves for projectiles perforating concrete targets with different thickness

從圖2（a）可以看出計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比偏小,且沒有Forrestal給出的模型更貼近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),這是由于當(dāng)彈體的侵徹速度與靶體材料的彈性波速比大于0.1時(shí),近區(qū)破碎驗(yàn)材料做為理想流體考慮最為合適[9],圖2（a）彈體速度偏小,使得減加速度值也偏小。從圖2（b）中可以看出,在彈體端部侵入靶體時(shí)減加速度上升迅速,因?yàn)樵趶楏w端部進(jìn)入靶體時(shí)由受力面積增長(zhǎng)而使阻力增長(zhǎng)的影響因素大于速度減小產(chǎn)生的消減因素。彈體端部完全侵入靶體后及至發(fā)生貫穿這一段過程,因彈體在類似于流體的“管道”中運(yùn)動(dòng),所承受的減加速度變化很小,即遇到的阻力或者說侵徹所消耗的能量流變化很小,形成一個(gè)平臺(tái)效應(yīng),而發(fā)生貫穿后減加速度下降很快。這是這種規(guī)律與在實(shí)驗(yàn)中所測(cè)得的曲線及擬合公式的計(jì)算結(jié)果也是相符的[10]。

5 結(jié) 論

（1）在水動(dòng)力侵徹模型的基礎(chǔ)上,從理論上確定了貫穿發(fā)生的時(shí)刻,并據(jù)此求出了貫穿發(fā)生的臨界厚度。求解發(fā)生貫穿后的減加速度時(shí),考慮了靶體背面崩落對(duì)貫穿阻力的影響。

（2）彈體端部侵入靶體時(shí)減加速度上升迅速,彈體端部完全侵入靶體后及至發(fā)生貫穿這一段過程彈體的減加速度變化很小,貫穿發(fā)生后減加速度又急劇下降。侵徹與貫穿全過程的減加速度計(jì)算結(jié)果與前人研究較吻合。

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