王立民,楊振宇,白漢斌,李俊美

(1.北京系統(tǒng)工程研究所,北京100101;2.軍事科學(xué)院,北京100091)

0 引言

層次分析法是系統(tǒng)分析工具之一,它通過兩兩比較的方式確定層次中諸元素的相對重要性,然后綜合決策者判斷,確定諸元素相對重要性的總排序。整個(gè)過程體現(xiàn)了人的決策思維的基本特征,即分解、判斷、綜合,為許多定性分析研究提供了定量分析的簡便方法[1]。在層次分析法應(yīng)用過程中,最重要步驟就是對同一層次各元素的重要性進(jìn)行兩兩比較,從而構(gòu)造判斷矩陣。如果能對兩兩比較的重要性程度進(jìn)行定量測量,就可發(fā)揮定量分析的作用,這個(gè)定量測量的工具就是標(biāo)度[2]。

1 層次分析法

用層次分析法作系統(tǒng)分析,首先要根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo),將其分解為不同組成元素,并按元素間的相互關(guān)聯(lián)影響及隸屬關(guān)系將元素按不同層次組合,形成一個(gè)多層次分析結(jié)構(gòu)模型,并最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為底層相對于高層的相對重要性權(quán)值確定或相對優(yōu)劣次序的排序問題。在排序計(jì)算中,每一層次的排序可簡化為一系列成對元素的判斷比較,并根據(jù)一定的比率標(biāo)度將判斷定量化,形成比較判斷矩陣;通過計(jì)算判斷矩陣的最大特征值和它的特征向量,即計(jì)算出某層次元素對于上一層次中某一元素的相對重要性權(quán)值,這種排序計(jì)算稱為層次單排序,為了得到某一層次相對上一層次的組合權(quán)值,用上一層次各個(gè)元素分別作為下一層次各個(gè)元素間相互比較判斷的準(zhǔn)則,得到下一層次元素相對于上一層次各個(gè)元素的相對重要性權(quán)值,然后用上一層次元素的組合權(quán)值加權(quán),即得到下一層次元素相對于上一層次整個(gè)層次的組合權(quán)值,這種排序計(jì)算稱為層次的總排序。依次沿遞階層次結(jié)構(gòu)由上而下逐層計(jì)算,即可計(jì)算出底層元素相對于高層的相對重要性權(quán)值或相對優(yōu)劣的排序值。

從層次分析法步驟中可看出,為形成判斷矩陣,通常引入了1-9比率標(biāo)度方法,這使得決策者判斷思維數(shù)學(xué)化[3]。這種將判斷思維數(shù)學(xué)化的方法大大簡化了問題的分析,使復(fù)雜定量問題分析成為可能,此外這種數(shù)學(xué)化方法還有助于決策者檢查并保持判斷思維的一致性,這充分體現(xiàn)了定性與定量相結(jié)合的思想,也即合理地對兩兩比較的重要性程度進(jìn)行定量測量,如果定量測量可以做到,就可以發(fā)揮數(shù)學(xué)中定量分析的作用,決策過程也會(huì)比較容易。因此,層次分析法的基礎(chǔ)和核心問題是標(biāo)度問題。

2 層次分析法的標(biāo)度

所謂標(biāo)度是將定性分析轉(zhuǎn)化為定量判斷的一種數(shù)量指標(biāo),是根據(jù)人們對客觀事物觀察所得經(jīng)驗(yàn)決定的[4]。標(biāo)度分為絕對標(biāo)度和相對標(biāo)度。在層次分析法中,為了形成判斷矩陣,通常引入了1-9比率標(biāo)度方法,但在實(shí)際應(yīng)用中,通常采用的1-9比率標(biāo)度方法暴露出許多不足,如標(biāo)度的比值與人們實(shí)際的判斷相差太遠(yuǎn);矩陣一致性與思維一致性脫節(jié);實(shí)際結(jié)果與思維判斷不一致等等問題[5]。因此,很多學(xué)者從不同的觀點(diǎn),提出了許多不同的標(biāo)度系統(tǒng),如互反型標(biāo)度、互補(bǔ)型標(biāo)度等。互反型標(biāo)度是指采用一些離散的點(diǎn)標(biāo)度來構(gòu)造互反判斷矩陣,其中1-9標(biāo)度、指數(shù)標(biāo)度和分?jǐn)?shù)標(biāo)度如表1所示?；パa(bǔ)型標(biāo)度是通過元素間重要性程度之差得到的,幾種常用的互補(bǔ)型標(biāo)度如表2所示。

表1 1-9標(biāo)度、指數(shù)標(biāo)度和分?jǐn)?shù)標(biāo)度

表2 幾種常用的互補(bǔ)型標(biāo)度

眾多的標(biāo)度之間存在差異,由不同的標(biāo)度所構(gòu)造的判斷矩陣,其一致性也不相同,得出的方案的排序權(quán)值也不相同,有的甚至?xí)l(fā)生逆序。因此,如何選擇一種合理的標(biāo)度系統(tǒng)是一個(gè)亟待解決的問題,下面將對使用最多的互反型標(biāo)度作重點(diǎn)分析研究。

3 互反型標(biāo)度選擇問題研究

在層次分析法中,當(dāng)判斷矩陣的階數(shù)n=1,2時(shí),正反互判斷矩陣是完全一致的;當(dāng)n≧3時(shí),對于同一個(gè)決策問題,由不同標(biāo)度所構(gòu)成的判斷矩陣,一致性就存在差異現(xiàn)象。下面用數(shù)學(xué)方法證明常用的互反型標(biāo)度完全一致性互不相容。

設(shè)?aij∈A,?bij∈ B,aij=s,ajk=m,aik=t,由A的完全一致性可知:sm=t。

假若B完全一致:

當(dāng)s,m≥1時(shí),由表1標(biāo)度之間的對應(yīng)關(guān)系可知

由B的一致性:

當(dāng)s＞1,m≤1,t≥1時(shí),由表1標(biāo)度之間的對應(yīng)關(guān)系可知。

由B的一致性:

當(dāng)s＞1,m≤1,t≤1時(shí),由表1標(biāo)度之間的對應(yīng)關(guān)系可知

由B的一致性:

當(dāng)s＜1,m＜1,t＜1,此時(shí)與上述3種情況中的某一結(jié)果相同。

從證明過程可以看出,在 3種情況下,總有aik=ajk或ajk=aik,由于i,j,k的任意性,A中的任意3行元素至少有2行對應(yīng)相等,這與命題矛盾。同理可證明B,C,可見,表1中幾種常用的互反型標(biāo)度的完全一致性互不相容。

從以上結(jié)果可以看出,標(biāo)度系統(tǒng)的選擇對于決策結(jié)果至關(guān)重要,不同的標(biāo)度系統(tǒng)有可能會(huì)產(chǎn)生完全不同的結(jié)果,對于如何選擇合適的標(biāo)度系統(tǒng),下面用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行進(jìn)一步分析。

這里取A,B,C分別為1-9比率標(biāo)度,an指數(shù)標(biāo)度,9/9-9/1標(biāo)度下的判斷矩陣,對于同一個(gè)問題的判斷矩陣,使用一致性比例檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。

分別計(jì)算各個(gè)判斷矩陣的最大特征根λmax,然后計(jì)算一致性檢驗(yàn)指標(biāo)接著用Matlab程序計(jì)算樣本容量10 000的3～9階矩陣的RI值,其結(jié)果如表3所示,最后得到各個(gè)判斷矩陣相應(yīng)的CR值(CR=CI/RI)。按同樣方法,構(gòu)造不同標(biāo)度下的不同階數(shù)的判斷矩陣,通過Matlab程序進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn),100次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)平均如表4所示。

表3 3～9階判斷矩陣在不同標(biāo)度系統(tǒng)下的RI值

表4 3～9階判斷矩陣在不同標(biāo)度系統(tǒng)下的CR值

大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表明,在互反型標(biāo)度里面,指數(shù)標(biāo)度an的滿意一致性檢驗(yàn)比率較其他標(biāo)度的一致性檢驗(yàn)比率所占比例最高,可見指數(shù)標(biāo)度an比其他標(biāo)度更合理,因此,在使用層次分析法進(jìn)行分析時(shí),采用指數(shù)標(biāo)度會(huì)較之其他標(biāo)度具有更好的一致性。

4 結(jié)束語

用數(shù)學(xué)反證的方法證明了1-9比率標(biāo)度,an指數(shù)標(biāo)度,9/9-9/1標(biāo)度下的完全一致互不相容,并利用實(shí)驗(yàn)方法得出有實(shí)際意義的結(jié)論,該分析方法雖然還存在一些誤差,但該方法對于分析提高層次分析法的準(zhǔn)確度具有一定的實(shí)際意義。

[1]王連芬,徐樹柏.層次分析法引論[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,1990.

[2]徐樹柏.層次分析法原理[M].天津:天津大學(xué)出版社,1988.

[3]譚躍進(jìn).定量分析方法[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2006.

[4]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1990.

[5]杜 棟,龐慶華,吳 炎.現(xiàn)代綜合評價(jià)方法與案例精選[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008.