陳 達(dá)

山東省常樂(lè)二中，山東濰坊 262400

歸納、猜想及證明等差數(shù)列前n項(xiàng)平方和公式

陳 達(dá)

山東省常樂(lè)二中，山東濰坊 262400

在不少題目中，當(dāng)遇到有關(guān)“等差數(shù)列前n項(xiàng)平方和”的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，求解很麻煩，大家都很希望有一個(gè)解此問(wèn)題的易理解的固定公式，因此筆者運(yùn)用 “歸納推理法”加之“數(shù)學(xué)歸納法”證明推導(dǎo)了“等差數(shù)列前n項(xiàng)平方和”公式。

歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法；等差數(shù)列；平方和；公式

本文所述內(nèi)容是根據(jù)筆者歸納猜想證明出了“等差數(shù)列前n項(xiàng)平方和”公式，即：

1 想法的由來(lái)

2 規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與歸納

寫(xiě)出幾個(gè)等差數(shù)列中的幾項(xiàng)，通過(guò)計(jì)算得，這兩個(gè)值并不是總相等，只有n=1或d=0時(shí)才相等且=中位數(shù)的平方乘以其個(gè)數(shù)+R 。并且可斷定R定可以寫(xiě)成dm(nk? 1 )的形式，筆者寫(xiě)了一列式子（n≥4，∵n≤3時(shí)很難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律）通過(guò)他們之間的規(guī)律進(jìn)行了歸納猜想

3 猜想及表達(dá)

且每組的m1有一定規(guī)律：

根據(jù)這一點(diǎn)猜想歸納出n≥4時(shí)求的思路方法步驟進(jìn)而寫(xiě)出其整體表達(dá)式。

思路方法步驟：

1）求項(xiàng)數(shù)，之后求出與其項(xiàng)數(shù)相連的四個(gè)項(xiàng)數(shù)n1、n2n3n4，且n1、n4必為偶數(shù) ，n2、n3必為奇數(shù)。

3）表示：項(xiàng)數(shù)分為4種情況：

4）推理公式：

觀察上面4種情況的最后結(jié)果可得都符合一個(gè)通式，即：

其中n為項(xiàng)數(shù)（n≠3Z，，且n≥4，n∈N+），d為公差。另外考慮當(dāng)n=3Z或n≤3， n∈N+時(shí)等式是否成立，為了驗(yàn)證是否在n=3Z或n≤3， n∈N+時(shí)等式也成立，我隨便舉幾個(gè)例子，看看例子是否成立，如果例子成立，我再進(jìn)行證明即可。

舉例：1）當(dāng)n=3時(shí)，不妨設(shè)數(shù)列為{1、2、3}，則左邊=12+22+32=14

2）當(dāng)n=6時(shí)，不妨設(shè)數(shù)列為{1、2、3、4、5、6}則左邊=12+22+32+42+52+62=91

由上面的舉例可以看出，在n=3、6時(shí)都成立，于是筆者猜想n=3Z或n≤3， n∈N+時(shí)等式也成立。通過(guò)這些規(guī)律等式我大膽的提出一個(gè)結(jié)論：等差數(shù)列前n項(xiàng)平方和公式：

4 “數(shù)學(xué)歸納法“證明

2）假設(shè)當(dāng)n=x時(shí)，等式成立。（x≥1，x ∈N+）

∴n=x+1時(shí)公式成立

綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)，公式恒成立，即等差數(shù)列前n項(xiàng)平方和公式：

[1]人教B版.高中《數(shù)學(xué)必修5》之“數(shù)列”知識(shí)點(diǎn).

[2]人教B版.高中《數(shù)學(xué)選修2-1》之“推理與證明”知識(shí)點(diǎn)以及“數(shù)學(xué)歸納法”知識(shí)點(diǎn).

O13

A

1674-6708（2010）30-0164-02

陳達(dá)，學(xué)生，所在學(xué)校：山東省常樂(lè)二中