嚴(yán)華云,關(guān)佶紅

(1.湖州師范學(xué)院信息與工程學(xué)院 湖州 313000；2.同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 上海 201804)

1 引言

在計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，信息的表示和查詢是核心問題，這兩個(gè)問題常常是相關(guān)的。其中，表示意味著根據(jù)一定的規(guī)則組織信息，查詢則意味著判斷一個(gè)給定屬性值的元素是否屬于某一集合。

Bloom filter[1]是一種節(jié)省空間、高效率的數(shù)據(jù)表示和查詢結(jié)構(gòu)。它利用位數(shù)組很簡潔地表示一個(gè)集合，并能以很高的概率判斷一個(gè)元素是否屬于這個(gè)集合。因此，這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)適合應(yīng)用在能容忍低錯(cuò)誤率的場合。

Burton H.Bloom于1970年提出Bloom filter用以解決某（些）元素是否為集合中元素的判斷問題。它突破了傳統(tǒng)哈希函數(shù)的映射和存儲(chǔ)元素的方式，通過一定的錯(cuò)誤率換取了空間的節(jié)省和查詢的高效。在20世紀(jì)70年代，其應(yīng)用價(jià)值并沒有體現(xiàn)出來。80年代，隨著PC應(yīng)用的推廣，Bloom filter的應(yīng)用開始推廣，如高效地解決拼寫檢查問題[2]，解決多處理器計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)庫的連接問題[3]。網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的到來使得Bloom filter具有越來越多的應(yīng)用，如應(yīng)用到分布式數(shù)據(jù)庫中進(jìn)行查詢[4,5]，應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)中取代ICP以進(jìn)行高速緩存查詢[6]，應(yīng)用到P2P中進(jìn)行高效的聯(lián)合查詢[7,8]等。肖明忠、Broder、謝鯤等分別于2003年、2004年、2007年寫了Bloom filter的綜述性文獻(xiàn)[9～11]。近幾年，Bloom filter及其應(yīng)用又取得了新的進(jìn)展，本文對(duì)Bloom filter在通信領(lǐng)域的研究進(jìn)行歸納和展望，并介紹了Bloom filter的典型應(yīng)用。

2 標(biāo)準(zhǔn)的Bloom filter

標(biāo)準(zhǔn)Bloom filter的工作原理如圖1所示。為了表達(dá)S={x1,x2,…,xn}這樣一個(gè)有n個(gè)元素的集合，Bloom filter使用k個(gè)相互獨(dú)立的哈希函數(shù)（hash function），它們分別將集合中的每個(gè)元素映射到位數(shù)組BFV的k個(gè)位中（BFV共有m位）。對(duì)任意一個(gè)元素x，第i個(gè)哈希函數(shù)映射的位置 hi(x)就會(huì)被置為 1（1≤i≤k），如果一個(gè)位置已經(jīng)為 1，那么隨后映射到該位置時(shí)其值將不變。

當(dāng)查詢?cè)貁i時(shí)，用Bloom filter中的k個(gè)哈希函數(shù)映射到BFV中，如果每一個(gè)哈希函數(shù)映射到的位都為1，則認(rèn)為zi屬于S，否則 zi不屬于S。

與經(jīng)典的哈希函數(shù)相比，Bloom filter最大的優(yōu)勢是它的空間效率。另外，由于Bloom filter不用處理碰撞，無論集合中元素有多少，也無論多少集合元素已經(jīng)加入到了位向量中，Bloom filter在增加或查找集合元素時(shí)所用的時(shí)間都為哈希函數(shù)的計(jì)算時(shí)間。由于Bloom filter對(duì)集合中的元素進(jìn)行了編碼，因此想從Bloom filter的位向量中恢復(fù)集合元素并不容易，如果不想讓別人直接看到集合元素，這樣的編碼處理相當(dāng)于一種加密，從而有利于保護(hù)隱私。

Bloom filter的這些優(yōu)點(diǎn)是有一定代價(jià)的：在判斷某一個(gè)元素zi是否屬于集合S時(shí)，有可能會(huì)把不屬于S中的元素誤認(rèn)為屬于S，這種情況稱為“假陽性”的“錯(cuò)誤率”（false positive），這個(gè)錯(cuò)誤率可以通過概率的方法計(jì)算出來。因此，Bloom filter不適合那些“零錯(cuò)誤”的應(yīng)用場合。

在標(biāo)準(zhǔn)的Bloom filter中，對(duì)于使用k個(gè)哈希函數(shù)，向m位長的Bloom filter中裝入n個(gè)元素后，位向量中某一位仍然為0的概率p為：

則錯(cuò)誤率fp為：

在式(2)中，令g=-(m/n)ln(p)ln(1-p)，根據(jù)對(duì)稱性法則可知，當(dāng)p=1/2，g取到最小值，則fp取到最小值。

錯(cuò)誤率fp最小的條件為：

由此可見，標(biāo)準(zhǔn)Bloom filter中參數(shù)m、n的比值是已知的，為了保證錯(cuò)誤率最小，則要求k=(m/n)ln2，此時(shí)BFV中某一位為零的概率為1/2(即p=1/2)。將式(3)代入式(2)有：

由式(3)和式(4)可知，當(dāng)m和n的比值越大則要求哈希函數(shù)的個(gè)數(shù)k越大，并且其錯(cuò)誤率越小。

3 Bloom filter結(jié)構(gòu)的各種經(jīng)典變體

自從Bloom filter在通信領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用后，研究人員在不同的應(yīng)用背景下對(duì)Bloom filter進(jìn)行了一些改進(jìn)，下面對(duì)Bloom filter的一些典型變體進(jìn)行介紹。

3.1 可刪除元素的Bloom filter

由于在Bloom filter中不可以刪除元素，參考文獻(xiàn)[6]在對(duì)網(wǎng)頁進(jìn)行緩存時(shí)(集合中元素不重合)，為了更新并淘汰過時(shí)的網(wǎng)頁，設(shè)計(jì)了一種稱為Couting Bloom filter（計(jì)數(shù)型CBF）的變體，其具體辦法為：將圖1中向量BFV的每一位擴(kuò)展成幾位（詳細(xì)如圖2所示的CBFV，文中稱擴(kuò)展成的這幾位為一個(gè)計(jì)數(shù)器 (counter)）。

經(jīng)擴(kuò)展后，當(dāng)某一個(gè)元素要插入集合S時(shí)，分別用k個(gè)哈希函數(shù)映射到CBFV的k位計(jì)數(shù)器，將這些計(jì)數(shù)器增加1；當(dāng)某一個(gè)元素要從集合S刪除時(shí)，分別用k個(gè)哈希函數(shù)映射到CBFV上的k個(gè)計(jì)數(shù)器，并將這些計(jì)數(shù)器減少1個(gè)。通過擴(kuò)展BFV的位成為CBFV計(jì)數(shù)器后的CBF，就能夠處理元素刪除的操作。對(duì)于網(wǎng)頁緩存這類不重復(fù)元素問題，當(dāng)CBF中計(jì)數(shù)器用4位時(shí)，經(jīng)過相應(yīng)推導(dǎo)，出現(xiàn)溢出的概率為：

式(5)表示的是計(jì)數(shù)器中最大值大于等于16出現(xiàn)的概率，其中m是CBFV的長度。即使某一位計(jì)數(shù)器出現(xiàn)溢出，也不會(huì)導(dǎo)致馬上出現(xiàn)錯(cuò)誤，而是刪除元素直到該位計(jì)數(shù)器為零后才會(huì)出現(xiàn)所謂的 “假陰性”的 “錯(cuò)誤率”(false negative)，即把屬于該集合的元素誤認(rèn)為不屬于該集合的錯(cuò)誤，因此出現(xiàn)“假陰性”的“錯(cuò)誤率”的概率為式(5)的2倍。因此，將CBF的計(jì)數(shù)器設(shè)計(jì)成4位是合理的。

針對(duì)CBF可能溢出的問題，有一種解決方法叫做d-Left Counting Bloom filter(dlCBF)[12]。

dlCBF通過引入一種叫做d-Left hash的更均衡的哈希函數(shù)來降低CBF向量中counter的位數(shù)。在添加一個(gè)key時(shí)，先對(duì)其作一次hash，得到d個(gè)存儲(chǔ)位置和一個(gè)fingerprint，然后判斷d個(gè)位置中的負(fù)載情況，并在負(fù)載最輕的幾個(gè)位置中選擇最左邊的插入。如果選擇的位置已經(jīng)存儲(chǔ)了相同的fingerprint，就把那個(gè)cell的counter加1。在刪除一個(gè)key時(shí)，同樣地作一次hash，然后在d個(gè)存儲(chǔ)位置查找相應(yīng)的fingerprint，如果找到就將這個(gè)cell置空或者將相應(yīng)的counter減1。

在集合中刪除元素時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)：不同的兩個(gè)元素的hash值（fingerprint）相同，從而刪除元素時(shí)不好判斷將哪一個(gè)counter減1。為了解決這個(gè)問題，該文引入隨機(jī)置換避免了位置重合，從而使問題得以解決。

為了節(jié)省CBF的存儲(chǔ)空間，提出了MultiLayer compressed counting bloom filter[13],該 Bloom filter也支持集合中刪除元素的操作。

3.2 可統(tǒng)計(jì)元素頻次的Bloom filter

當(dāng)應(yīng)用中需要統(tǒng)計(jì)元素出現(xiàn)的頻次(即重復(fù)元素問題)時(shí)，由于CBF的計(jì)數(shù)器采用固定長度的位數(shù)，會(huì)產(chǎn)生溢出(overflow)的問題。為了解決這種溢出，相關(guān)文獻(xiàn)提出了兩種方法：一種是參考文獻(xiàn)[14]提出的Spectral Bloom filter（SBF），由于SBF中要建立索引，查詢起來比較費(fèi)時(shí)；為進(jìn)一步解決SBF訪問速度的問題，參考文獻(xiàn)[15]提出了另一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)Dynamic count filter(DCF)。對(duì)于動(dòng)態(tài)計(jì)數(shù)型的Bloom filter，下面選擇DCF進(jìn)行介紹。

DCF的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖2所示，它由兩部分組成，一部分是前面提到的CBFV向量，其位長度x由集合中數(shù)據(jù)元素的總個(gè)數(shù)M和集合中不同元素的總個(gè)數(shù)n的比值取2為底的對(duì)數(shù)確定；另一部分是為了處理CBFV溢出而設(shè)計(jì)的OFV向量，其位數(shù)y值是動(dòng)態(tài)變化的（DCF的動(dòng)態(tài)體現(xiàn)在這里），其值由集合中元素出現(xiàn)的最高頻次所決定。DCF中計(jì)數(shù)器的值Value是由OFV和CBFV中相同下標(biāo)位的二進(jìn)制數(shù)連接而成。當(dāng)需要查詢某元素在DCF的出現(xiàn)頻次時(shí)，就用DCF的k個(gè)哈希函數(shù)映射到DCF數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上，其中的最小值(value)就被認(rèn)為是其頻次(最小值不是頻次的情況是k個(gè)位置同時(shí)出現(xiàn)了碰撞，這個(gè)概率和誤判率的概率相同)。

3.3 可處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)集的Bloom filter

前面所介紹的Bloom filter應(yīng)用有一個(gè)共同點(diǎn)，即事先能夠確定集合S中的元素個(gè)數(shù)m。事實(shí)上，很多應(yīng)用在事先并不清楚要處理多大的數(shù)據(jù)集；或者要處理很大的一個(gè)數(shù)據(jù)集，但數(shù)據(jù)元素的加入是緩慢的。參考文獻(xiàn)[16]稱這種問題為增長問題，這種情況在P2P環(huán)境中經(jīng)常出現(xiàn)。為了處理這類問題，出現(xiàn)了一類可以拉伸位數(shù)組 (BF)個(gè)數(shù)的Bloom filter[16～19]。下面介紹 Dynamic Bloom filter(DBF，動(dòng) 態(tài)Bloom filter)。

DBF的辦法是先用一個(gè)能處理較少元素的Bloom filter來處理，當(dāng)此Bloom filter達(dá)到處理元素的極限時(shí)，再生成一個(gè)和初始Bloom filter長度相同的Bloom filter，如此這般。新元素加入時(shí)映射到最新生成的Bloom filter中，查詢時(shí)在幾個(gè)子Bloom filter都同時(shí)進(jìn)行查詢，只要映射到DBF中的一個(gè)子Bloom filter的k個(gè)位置的值都為1，則認(rèn)為該元素為集合中的元素。

由于這種方法可以看成由多個(gè)Bloom filter向量組成的一個(gè)矩陣，由應(yīng)用需要取其中一個(gè)或多個(gè)Bloom filter進(jìn)行使用，因此參考文獻(xiàn)[16]稱之為拆分型Bloom filter。

3.4 壓縮型Bloom filter

在標(biāo)準(zhǔn)Bloom filter中，已知參數(shù)m、n的比值，為使錯(cuò)誤率最小，則要求k=(m/n)ln2(具體推導(dǎo)見參考文獻(xiàn)[10])。參考文獻(xiàn)[20]考慮在網(wǎng)絡(luò)中傳播消息時(shí)要進(jìn)行壓縮，這時(shí)Bloom filter不再是僅由m、n、k這3個(gè)參數(shù)決定錯(cuò)誤率，應(yīng)該加上z參數(shù)（表示Bloom filter的位向量被壓縮后的長度），這4個(gè)參數(shù)一起決定了錯(cuò)誤率，這就是所謂的Compressed Bloom filter(壓縮型BF)。由于壓縮編碼時(shí)要服從香農(nóng)編碼原理，即壓縮編碼后的最大壓縮比不小于信息熵H(P),即有最小的z=m H(P),引入z后的分析和標(biāo)準(zhǔn)的Bloom filter中的分析相同，即將z取代m代入錯(cuò)誤率的表達(dá)式中。經(jīng)過一定的變換分析得出：當(dāng)p=1/2時(shí)，其錯(cuò)誤率最大(此時(shí)的熵為1，即根本得不到壓縮,此時(shí)和標(biāo)準(zhǔn)BF中的正好相反)；當(dāng)p越接近0時(shí)(k趨于無窮，此種情況不符合實(shí)際應(yīng)用)和p越接近1時(shí) (k趨于0，實(shí)際應(yīng)用中1≤k≤(m/n)ln2)，其錯(cuò)誤率越小，其詳細(xì)推導(dǎo)見參考文獻(xiàn)[20]。為了對(duì)壓縮型BF有更深的了解，表1列出了各個(gè)參數(shù)和錯(cuò)誤率間的關(guān)系，其中z/n是固定的。

表1 壓縮型Bloom filter中各參數(shù)和錯(cuò)誤率的關(guān)系

表1中第一列數(shù)據(jù)（加粗的數(shù)據(jù)）是沒有壓縮的情況，此時(shí)需要k的個(gè)數(shù)最多，且錯(cuò)誤率最高。隨著壓縮比越大，則需要k的個(gè)數(shù)越少，錯(cuò)誤率也更低，這說明壓縮能夠降低錯(cuò)誤率。

3.5 各種典型Bloom filter的比較

表2列出了幾種經(jīng)典Bloom filter的性能比較。從該表可以看出：所有的Bloom filter都具有基本的功能，即進(jìn)行集合元素的表示和查詢；支持元素頻次查詢操作的Bloom filter一定支持刪除元素操作。

表2 幾種經(jīng)典Bloom filter的性能比較

4 Bloom filter的應(yīng)用

Bloom filter的應(yīng)用包括：它表示一種壓縮數(shù)據(jù)集合,可以替代原始的數(shù)據(jù)集合,完成元素是否在集合的查詢判斷,如數(shù)據(jù)庫操作、字典查詢和文件操作[2,3,21～24]方面；Bloom filter也廣泛應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域，包括P2P網(wǎng)絡(luò)[7,8,25,26]、資源路由[27]、數(shù)據(jù)幀路由標(biāo)簽[28]、網(wǎng)絡(luò)測量管理[29～32]、網(wǎng)絡(luò)入侵檢測[33]、傳感器網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)過濾和路由[34]等；第三類是元素表示的保密性。因此，凡是有上述3類要求的，并且能容忍一定錯(cuò)誤率的應(yīng)用都可以將Bloom filter派上用場。Broder和Mitzenmacher在2004年的綜述論文[10]中預(yù)言：當(dāng)前Bloom filter在網(wǎng)絡(luò)上的應(yīng)用還十分有限,隨著Bloom filter被越來越多的研究人員認(rèn)識(shí)和重視,它將在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和一些新的學(xué)術(shù)領(lǐng)域得到更為廣泛的應(yīng)用。確實(shí)，Bloom filter這幾年的應(yīng)用研究正在而且必將繼續(xù)印證該論斷。

4.1 Bloom filter典型的分布式應(yīng)用

圖3為Bloom filter在分布式系統(tǒng)中的應(yīng)用例子。當(dāng)客戶向服務(wù)器A提出請(qǐng)求時(shí)：A首先檢查本身的緩存和其他近鄰Proxy(如B)的緩存，這些緩存的目錄摘要用Bloom filter表示,如果A及其近鄰Proxy的緩存目錄摘要里有文檔信息,則向相應(yīng)的近鄰Proxy請(qǐng)求以獲取文件,如果沒有,就直接向上級(jí)服務(wù)器發(fā)送請(qǐng)求。

4.2 Bloom filter的網(wǎng)絡(luò)資源

[35]是Bloom filter源代碼的下載地址，該源碼用Java語言實(shí)現(xiàn)，該源碼由Indiana大學(xué)的Liu Hongbin和Jerzak提供，它實(shí)現(xiàn)了兩種Bloom filter：一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)的Bloom filter，它用BitSet表示；另一個(gè)是支持刪除元素的Counting Bloom filter，它用一個(gè)數(shù)組表示。HashFactory(m,k)是生成BF的接口，其中需要給出兩個(gè)參數(shù)m和k（即BF的長度和哈希函數(shù)的個(gè)數(shù)），其中可供選擇的哈希函數(shù)個(gè)數(shù)k共有10個(gè)（即k不能超過10，當(dāng)然自己可以根據(jù)需要擴(kuò)展）。

5 總結(jié)與展望

使用Bloom filter可達(dá)到兩方面的性能：壓縮數(shù)據(jù)和高查詢效率 (時(shí)間為計(jì)算哈希函數(shù)的時(shí)間)。只要在具體應(yīng)用中需要Bloom filter的任何性能，并能夠容忍較小的錯(cuò)誤率，都可以引入Bloom filter。

Bloom filter雖然根據(jù)不同應(yīng)用需求具有了很多變體，但是其仍有很多應(yīng)用需要改進(jìn)，主要有以下3方面。

（1）網(wǎng)絡(luò)傳輸中壓縮型Bloom filter的實(shí)現(xiàn)

由于Bloom filter及其變體被廣泛應(yīng)用于分布式數(shù)據(jù)庫、Proxy的Cache、對(duì)等網(wǎng)等網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，在網(wǎng)絡(luò)傳輸中如何進(jìn)行壓縮是一個(gè)問題。參考文獻(xiàn) [20]從理論上提出了CBF，但文中沒有給出具體的實(shí)現(xiàn)。另外，在DCF的推理中用到了極限熵進(jìn)行壓縮編碼，我們知道一般編碼是很難達(dá)到極限熵的，對(duì)特定數(shù)據(jù)集能夠達(dá)到極限熵編碼，對(duì)其他數(shù)據(jù)未必就能達(dá)到極限熵編碼，例如常見的哈夫曼編碼就是一個(gè)例子。因此，Bloom filter網(wǎng)絡(luò)傳輸問題的壓縮編碼算法還有待研究。

（2）Bloom filter結(jié)構(gòu)在海量數(shù)據(jù)問題中的擴(kuò)展

在對(duì)等網(wǎng)、信息檢索領(lǐng)域中，所涉及的數(shù)據(jù)量非常大，并且沒辦法估計(jì)數(shù)據(jù)量的大小，或者考慮到數(shù)據(jù)量是漸增和動(dòng)態(tài)變化的，沒必要一開始就建立一個(gè)很大的Bloom filter，在數(shù)據(jù)量漸增和動(dòng)態(tài)變化的過程中需要能夠建立一種能夠動(dòng)態(tài)伸縮的Bloom filter。

（3）并行 Bloom filter的需求

在網(wǎng)絡(luò)Cache和一些信息安全領(lǐng)域用到Bloom filter時(shí)，需要Bloom filter具有快捷的速度。這種情況下，需要將Bloom filter做到硬件中，并且最好能夠提供并行計(jì)算的功能，目前Bloom filter的變體基本上都不支持并行計(jì)算的功能。Bloom filter的并行性需求有待我們?nèi)パ芯俊?/p>

總之,自從Burton Bloom在1970年提出Bloom filter之后，Bloom filter就被廣泛用于拼寫檢查和數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中。隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和發(fā)展，Bloom filter的研究和應(yīng)用迅猛發(fā)展，新的Bloom filter變種和新的應(yīng)用不斷出現(xiàn)?？梢灶A(yù)見，隨著互聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，Bloom filter的新變種和應(yīng)用將會(huì)繼續(xù)出現(xiàn)。

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