趙 越， 宋 立 新， 回 德 俊

（大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

時(shí)間序列分析方法是生產(chǎn)和實(shí)際中經(jīng)常用到的研究手段，在經(jīng)濟(jì)、氣象和水利等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本文所要研究的對象是非線性隨機(jī)序列，是指從非線性系統(tǒng)獲取的時(shí)間序列.當(dāng)系統(tǒng)具有混沌特征時(shí)，前人已論證了對非線性時(shí)間序列采用動(dòng)力系統(tǒng)方法進(jìn)行預(yù)測比較有效[1].實(shí)際上，通過觀測或?qū)嶒?yàn)獲得的時(shí)間序列往往含有噪聲，也可能不平穩(wěn)，需要進(jìn)行降噪處理，對含有隨機(jī)因素影響的原始觀測序列提取趨勢項(xiàng).常用的趨勢項(xiàng)提取方法有最小二乘法、平均斜率法和最佳擬合廣義多項(xiàng)式等方法，這些方法經(jīng)常用在信號(hào)處理、檢測技術(shù)等工程中[2、3].本文在趨勢項(xiàng)提取的判斷標(biāo)準(zhǔn)上引入一種新的衡量準(zhǔn)則，即基于Copula方法構(gòu)造積分絕對誤差函數(shù)，以此來判斷不同方法所提取的趨勢項(xiàng)合理性.最后將動(dòng)力系統(tǒng)[1]建立在所提取的趨勢項(xiàng)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上，針對次貸危機(jī)以來美國證券市場實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測.

1 衡量模型構(gòu)造

在實(shí)踐中可以得到容量為n的一組時(shí)間序列觀測值，同樣對該樣本序列進(jìn)行類似的分解，記為.應(yīng)用不同提取趨勢項(xiàng)的方法，可得到不同的估計(jì)，記為面對多組估計(jì)，要找到最接近真實(shí)的一組，思路如下：由在 得 到 一 組 估 計(jì) 值后，將殘差作為的估計(jì)值，若它是最接近正態(tài)分布N（0，Σ）的殘差向量，其所對應(yīng)的即是要找的趨勢項(xiàng)的最優(yōu)估計(jì).通過Copula函數(shù)，構(gòu)造了一個(gè)衡量模型來衡量積分絕對誤差，目標(biāo)完成.具體過程如下：對于任意的（u，v）∈I2＝ [0，1]2，由Sklar定理，可構(gòu)造二元Copula函數(shù)，記為CΣ（u，v）[4].設(shè)，其中，規(guī)定這里σ0為大于0的常數(shù).此時(shí)函數(shù)可寫為

式中：Nρ是二元正態(tài)分布函數(shù)，F(xiàn)（·）和G（·）分別為邊緣分布函數(shù)，Σ中σ1、σ2和相關(guān)系數(shù)ρ都是未知的.

記的秩為的秩為.則式（1）改寫為

2 基于IAE提取趨勢項(xiàng)

2.1 h－步平滑法

同理對Yi＋j≈bi＋εi＋j′，－h(huán)′≤j′≤h′，可得趨勢項(xiàng)bi的估計(jì).對應(yīng)一組（h，h′），可得一組趨勢項(xiàng)的估計(jì)，（h，h′）究竟取值多少才能使趨勢項(xiàng)的估計(jì)最優(yōu)，這個(gè)問題并沒有解決.設(shè)h、h′滿足已知，取最優(yōu)的（h，h′）為此范圍中使IAE達(dá)到最小者，此時(shí)得到的趨勢項(xiàng)的估計(jì)達(dá)到最優(yōu).下面介紹本文所要研究的時(shí)間序列觀測值，并用h－步平滑法提取趨勢項(xiàng).

例1h－步平滑法在股市上的應(yīng)用

選取具有代表性的美國標(biāo)準(zhǔn)普爾500和NASDAQ周收盤價(jià)為研究對象，從2007－01－03～2008－12－08共計(jì)有102組數(shù)據(jù)中xi為標(biāo)準(zhǔn)普爾500周收盤價(jià)，yi為NASDAQ周收盤價(jià).先利用h－步平滑法求出趨勢項(xiàng)的眾多估計(jì)值，然后在IAE衡量模型下找到一組使趨勢項(xiàng)的估計(jì)最優(yōu)的（h，h′），在（h，h′）＝ （4，9）下算得趨勢項(xiàng)的估計(jì)值并做圖1[5、6].

2.2 指數(shù)加權(quán)平均法

h－步平滑估計(jì)用法簡單，其局限性在于忽略超出觀測時(shí)間范圍的那些數(shù)據(jù)，這種不對稱平均可能會(huì)產(chǎn)生邊界偏倚.通過引進(jìn)一個(gè)加權(quán)設(shè)計(jì)，可對滑動(dòng)平均估計(jì)進(jìn)行改善，具體改動(dòng)如下：其 中 權(quán) 數(shù)同理可得均是大于零的常數(shù).通過IAE法則算出一個(gè)最優(yōu)的權(quán)重λ1和λ2，使得積分絕對誤差最小.

例2 指數(shù)加權(quán)平均法在股市上的應(yīng)用

在IAE法則下尋找一個(gè)最優(yōu)的權(quán)重λ1和λ2.圖2是指數(shù)加權(quán)平均法給出的趨勢項(xiàng)的估計(jì)值.

在圖3中，虛線代表h－步平滑法提取趨勢項(xiàng)后的殘差波動(dòng)，實(shí)線代表加權(quán)平均法提取趨勢項(xiàng)后的殘差波動(dòng).兩者相比，加權(quán)平均法的殘差波動(dòng)近乎一條0均值的直線.注意，波動(dòng)幅度越小不代表趨勢項(xiàng)的估計(jì)效果越好，亦可能是時(shí)間序列中的波動(dòng)項(xiàng)沒有與趨勢項(xiàng)分離，加權(quán)平均法提取的趨勢項(xiàng)中必然含有方差較大的隨機(jī)因素.

圖1 h－步平滑法下針對兩類指數(shù)提取趨勢項(xiàng)Fig.1 Extracting trends of two indexes by h－step smoothing method

圖2 在加權(quán)平均法下分別對兩類指數(shù)提取趨勢項(xiàng)Fig.2 Extracting trends of two indexes by weighted average method

圖3 h－步平滑法與加權(quán)平均法針對兩類指數(shù)提取趨勢項(xiàng)后的殘差圖像的比較Fig.3 Comparison on residual error of extracting trends between the h－step smothing method and weighted average method

3 建立趨勢項(xiàng)序列的遞推函數(shù)關(guān)系

針對次貸危機(jī)下的美國證券市場系統(tǒng)，先從線性的角度來尋找函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行預(yù)測.

3.1 線性回歸法

模型如下：

其中p是正整數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)令p＝3，α1、α2和α3是

未知參數(shù)，有如下形式：

例3 線性回歸法在股市上的應(yīng)用

以例1中h－步平滑法估計(jì)出的趨勢項(xiàng)估計(jì)為原始數(shù)據(jù)，用趨勢項(xiàng)前半段數(shù)據(jù)得到了模型（5）的3個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)和圖4是由該線性模型模擬的證券市場走勢的圖像.

圖4 線性回歸法對兩類指數(shù)提取趨勢項(xiàng)Fig.4 Extracting trends of two indexes by linear regression method

易見此方法估計(jì)出來的市場走勢明顯與事實(shí)不符，由此初步斷定美國證券市場系統(tǒng)是非線性的.

3.2 二次多項(xiàng)式法

其中c1，c2，…，c6未知.應(yīng)用h－ 步平滑法求出趨勢項(xiàng)的估計(jì)值c＾1，c＾2，…，c＾6，得二次多項(xiàng)式模型

例4 二次多項(xiàng)式法在股市上的應(yīng)用

由例1中h－步平滑法估計(jì)趨勢項(xiàng)，得到趨勢項(xiàng)的估計(jì)值.用h－步平滑法得到的趨勢項(xiàng)估計(jì)值的前半段來估計(jì)二次多項(xiàng)式模型的6個(gè)未知參數(shù).圖5是二次多項(xiàng)式模型趨勢項(xiàng)的估計(jì)值圖.

易知線性回歸法和二次多項(xiàng)式法對趨勢項(xiàng)估計(jì)很差，下面用分段線性函數(shù)來給美國證券系統(tǒng)建模.

圖5 二次多項(xiàng)式法對兩類指數(shù)提取趨勢項(xiàng)Fig.5 Extracting trends of two indexes by quadratic polynomials

3.3 分段線性方法

對于來自非線性系統(tǒng)的時(shí)間序列來說，分段線性函數(shù)簡單易行，分段線性數(shù)學(xué)模型如下：

設(shè)α＝t0＜t1＜…＜tm＝β是區(qū)間[α，β]上的一種分割，記Ij（t）＝I（tj－1≤t＜tj）（1≤j＜m－1），Im（t）＝I（tm－1≤t＜tm），b＝ （b0b1…bm）T，記

為依次連接點(diǎn) （t0，b0），（t1，b1），…，（tm，bm）的分段線性函數(shù)，稱b為Gm的系數(shù).

例5 分段線性法在股市上的應(yīng)用

由例1中h－步平滑法估計(jì)趨勢項(xiàng)，在本例中取m＝4，用h－步平滑法得到的趨勢項(xiàng)估計(jì)值的前半段數(shù)值，來估計(jì)分段線性模型的5個(gè)未知參數(shù)，然后預(yù)測后半段并與實(shí)際進(jìn)行比較，詳見圖6.

分段線性方法對趨勢預(yù)測比線性回歸法為好.不足之處：一是它沒有反映市場走勢的波動(dòng)，二是真實(shí)市場是劇烈震蕩向下發(fā)展，而預(yù)測卻是在高位平緩.由此引入動(dòng)力系統(tǒng)方法來研究美國股市，最終給出市場的走勢預(yù)測.

圖6 分段線性方法對兩類指數(shù)提取趨勢項(xiàng)Fig.6 Extracting trends of two indexes by piecewise linear method

4 動(dòng)力系統(tǒng)方法

對于未知數(shù)學(xué)模型的混沌動(dòng)力系統(tǒng)，通過觀測或?qū)嶒?yàn)手段可以獲得多變量時(shí)間序列[7].Takens和Mane的延遲嵌入定理證明了只要適當(dāng)選取延遲時(shí)間間隔τ和嵌入維數(shù)m，原未知數(shù)學(xué)模型的混沌動(dòng)力系統(tǒng)的幾何特征與重構(gòu)的m維狀態(tài)空間的幾何特征是等價(jià)的，這意味著原來未知數(shù)學(xué)模型的混沌動(dòng)力系統(tǒng)中的任何微分或拓?fù)洳蛔兞靠梢栽谥貥?gòu)的狀態(tài)空間中計(jì)算，并且可以通過在重構(gòu)的m維狀態(tài)空間中建立數(shù)學(xué)模型對原未知數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測.

記觀測到的多變量時(shí)間序列為｛xl，n｝Tn＝1（l＝1，2，…，L），假設(shè)T＝N＋P，前N個(gè)數(shù)據(jù)作為構(gòu)造模型所需的樣本，后P個(gè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測精度的度量.采用延遲重構(gòu)法，在相空間中重構(gòu)的狀態(tài)向量為

或者得到多元函數(shù)Gl：Rm→R，滿足

例6 動(dòng)力系統(tǒng)在股市上的應(yīng)用

用標(biāo)準(zhǔn)普爾500和NASDAQ周收盤價(jià)作為時(shí)間序列觀測樣本.觀測的范圍從1988－01－04～2009－02－09，共1102組數(shù)據(jù).將1988－01－04～2008－12－08共計(jì)1092組數(shù)據(jù)作為構(gòu)造模型所需的樣本，將最后10個(gè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測精度的度量，用這10個(gè)數(shù)據(jù)與動(dòng)力系統(tǒng)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較.

首先確定延遲時(shí)間間隔τ，采用自相關(guān)函數(shù)法，可得到兩類股市關(guān)于τ的圖像，觀察圖像，得到標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的CL（τ）第一次取0值時(shí)的時(shí)間間隔τ1＝31，NASDAQ指數(shù)的τ2＝30.

其次確定相空間的維數(shù)m，由于觀測數(shù)據(jù)是二維的，有m＝m1＋m2.于是用虛假鄰點(diǎn)方法估計(jì)，得m1＝4和m2＝5[7].進(jìn)一步，對于原始時(shí)間序列｛xl，n｝1092n＝1（l＝1，2），采用延遲重構(gòu)法進(jìn)行相空間重構(gòu).通過局部多項(xiàng)式預(yù)測法對未知系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并對系統(tǒng)的走勢進(jìn)行了短期預(yù)測，為了便于分析截取了包含10個(gè)預(yù)測數(shù)值的后102個(gè)數(shù)據(jù)作圖，最終得到圖7.

圖7 動(dòng)力系統(tǒng)對兩種指數(shù)短期預(yù)測Fig.7 Shortdated prediction on two indexes using dynamical method

圖7中最后一小段10個(gè)數(shù)值是動(dòng)力系統(tǒng)方法對該系統(tǒng)預(yù)測值.從圖中直觀上可以看出動(dòng)力系統(tǒng)方法對NASDAQ指數(shù)市場走勢預(yù)測得很好，但是對標(biāo)準(zhǔn)普爾500市場指數(shù)預(yù)測得不是很好.原因在于，NASDAQ指數(shù)的特點(diǎn)是收集和發(fā)布包含場外交易非上市股票的證券商報(bào)價(jià)的平均指數(shù)，股指中對股票的選擇變動(dòng)不大.而標(biāo)準(zhǔn)普爾500是由上市公司股票500只成分股組成的，并且該指數(shù)的成分股是變動(dòng)的，對美國證券市場的指數(shù)選擇不同對分析結(jié)果可能會(huì)有影響.從波動(dòng)的同步性看，對最后10個(gè)數(shù)值預(yù)測的走勢與真實(shí)數(shù)值的走勢具有比較同步的波動(dòng)，不論是震蕩的幅度還是方向都與真實(shí)的走勢相一致，只是數(shù)值上比真實(shí)數(shù)值普遍大400左右.數(shù)值上的差異可以用經(jīng)濟(jì)環(huán)境的異常來解釋.最后10個(gè)數(shù)值所處的時(shí)間段是2008年12月至2009年2月初，這段時(shí)間內(nèi)美國的經(jīng)濟(jì)徘徊在崩潰的邊緣.銀行機(jī)構(gòu)繼華爾投行后又掀起一輪破產(chǎn)潮，美國的實(shí)體經(jīng)濟(jì)以三大汽車生產(chǎn)商為代表流動(dòng)性枯竭，政治上美國總統(tǒng)換屆，經(jīng)濟(jì)刺激方案面臨著極大的不確定性.面對如此惡劣的經(jīng)濟(jì)環(huán)境，標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的走勢已經(jīng)不再沿著歷史正常波動(dòng)，所以用20 a的歷史數(shù)據(jù)來建立動(dòng)力系統(tǒng)模型，是對處于正常狀態(tài)的指數(shù)走勢的預(yù)測，那么在異常狀態(tài)下必然會(huì)與真實(shí)值有所差別.對于異常狀態(tài)的美國股市，經(jīng)濟(jì)分析師都會(huì)下調(diào)股指走勢的預(yù)期，預(yù)測值和真實(shí)值之間的差別可以很好地處理，用動(dòng)力系統(tǒng)預(yù)測的指數(shù)震蕩的幅度和方向還是比較準(zhǔn)確的，因此可以作為經(jīng)濟(jì)決策的輔助數(shù)據(jù).從這一點(diǎn)看來，動(dòng)力系統(tǒng)方法在美國股市這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)上的預(yù)測還是很有意義的.

5 結(jié) 語

時(shí)間序列趨勢項(xiàng)的提取是時(shí)間序列分析研究中的重要課題.本文提出了一種基于Copula函數(shù)構(gòu)造的誤差衡量模型，基于美國股票數(shù)據(jù)，對各種提取方法進(jìn)行評判分析.運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)方法，在美國金融危機(jī)的背景下，對兩種股票指數(shù)進(jìn)行了短期預(yù)測，效果較好，為這一領(lǐng)域提供了一個(gè)新的研究視角.

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