王 麗 燕， 郝 亞 麗， 張 海 嬌， 楊 德 禮

（1.大連大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622；2.中央財經(jīng)大學(xué) 國際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，北京 102206；3.大連理工大學(xué) 管理學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

壽險中的利率隨機(jī)性問題，在近年來的保險精算研究中逐步得到人們的關(guān)注.對保險公司來說，利率隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險是相當(dāng)大的.隨著精算理論研究的深入，利率風(fēng)險吸引了越來越多的學(xué)者從事利率隨機(jī)性的研究.

1971年，Polland首次把利息力視為隨機(jī)變量，對精算函數(shù)進(jìn)行了研究，其后一批學(xué)者開始采用各種隨機(jī)模型來模擬隨機(jī)利率.1976年，Boyel考慮了壽險與年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況，即所謂的“雙隨機(jī)性”；隨后，Panjer和Bellhouse、Giaccotto、Dhaene、Hürlimann等有過這方面的研究.對于隨機(jī)利率，他們都是以時間序列方法建模的，例如白噪聲過程、AR（2）過程和ARIMA過程等[1].20世紀(jì)90年代，一批學(xué)者利用攝動方法建模，得到了具有“雙隨機(jī)性”的確定年金及壽險的一系列結(jié)果：Beekman等[2、3]分別將息力累積函數(shù)用O－U過程和 Wiener過程建模，得到某些年金現(xiàn)值的前二階矩；1993年他們又得到了息力由O－U過程和Wiener過程建模的終身壽險給付現(xiàn)值的前二階矩[4].De Schepper等[5～7]得到了息力由 Wiener過程建模的某些年金的矩母函數(shù)、分布函數(shù)和Laplace變換.何文炯等[8]對隨機(jī)利率采用Gauss過程建模，得到了一類即時給付增額壽險的給付現(xiàn)值的各階矩，并在死亡均勻分布假設(shè)下，得到了矩的簡潔表達(dá)式.劉凌云等[9]則將息力采用Gauss過程和Poisson過程聯(lián)合建模，也給出了一類即時給付增額壽險給付現(xiàn)值的各階矩，發(fā)展了文獻(xiàn)[8]的結(jié)果.以上都是將利息力采用息力累積函數(shù)i（t）＝δt＋z（t）建模，其中δ是與z（t）無關(guān)的隨機(jī)變量或?qū)嵆?shù).與此相聯(lián)系的問題是z（t）將可能變成負(fù)的.但實際上，保費收入一般投資于基金和債券，所以z（t）絕不可能是負(fù)的.Perry等[10、11]將隨機(jī)利率采用反射 Brownian運動（RBM）建模，得到確定年金的期望值公式.Zaks也將隨機(jī)利率采用反射Brownian運動建模，討論了確定年金的計算問題[12].無論是Wiener過程、Gauss過程還是反射Brownian運動，它們都是處處連續(xù)的擴(kuò)散過程，但現(xiàn)實的隨機(jī)利率是不頻繁卻又在某些點離散跳躍的過程.隨機(jī)跳躍是因突發(fā)事件對利率產(chǎn)生了影響，因此利率的動態(tài)過程分為連續(xù)部分和跳躍部分.Ngwira等[13]討論了養(yǎng)老金在隨機(jī)環(huán)境下的泊松跳躍問題，研究結(jié)果表明平均泊松跳躍的增加減少了風(fēng)險資產(chǎn)的分配，并增加了無風(fēng)險資產(chǎn)的分配.

本文在上述研究工作的基礎(chǔ)上，建立一個具有儲蓄功能的生死兩全保險模型，模型中引入增額生存年金、增額終身壽險以及儲蓄還本部分.考慮到保費的實際投資情況和突發(fā)事件對利率的影響，用反射Brownian運動來描述隨機(jī)利率的連續(xù)變化部分，而用Poisson跳躍過程來描述不可預(yù)測的隨機(jī)事件對利率連續(xù)性的破壞.將隨機(jī)利率采用反射Brownian運動和Poisson過程聯(lián)合建模.給出保單全部價值的計算公式，并進(jìn)一步得到死亡均勻分布時的簡潔計算公式.

1 準(zhǔn)備知識

以X記被保險人在死亡時的年齡，則X是一個隨機(jī)變量，以F（x）記X的分布函數(shù)，則

s（x）＝1－F（x），稱為生存函數(shù).用（x）表示年齡為x歲的人，也稱x歲生命，X為（x）的壽命，用T（x）表示其剩余壽命，T（x）＝X－x，則T（x）的密度函數(shù)為

其中tpx表示（x）至少活到x＋t歲的概率；某生命在瞬間的死亡概率表示（x）在年齡x＋t處的死亡力.

2 模型的建立

設(shè)被保險人現(xiàn)齡x歲，身體健康，每年交保費m次，每次R元（期初交付），交款至n歲（x＜n）.本文在不考慮稅收情況下討論生死兩全保險.

2.1 保險責(zé)任

（1）增額壽險部分：無論（x）何時死亡，都在死亡時即刻賠付保險金A（1＋α[T]）元，其中A＞0為確定的常數(shù)，α＞0為增長系數(shù)，[T]為被保險人整值剩余壽命.

（2）增額年金部分：如果被保險人生存至h（h≥n）歲，則h歲以后每年可一次性領(lǐng)取生存保險金B(yǎng)[1＋（k－h(huán)）l]元，直至死亡，其中B＞0為確定的常數(shù)，l＞0為增長系數(shù)，k＝h，h＋1，…，[T].

（3）儲蓄還本部分：當(dāng)被保險人去世時，退還至死所交保費的C倍（C＞0為確定的常數(shù)）.

2.2 保費的計算

首先計算出保險公司收入和支出的各項有關(guān)現(xiàn)值的數(shù)學(xué)期望，即精算現(xiàn)值，列出平衡方程，即可求出均衡年保費R的值.息力累積函數(shù)采用反射Brownian運動和Poisson過程聯(lián)合建模，即

其中｜Bt｜是反射Brownian運動，Zt是Poisson過程，Bt與Zt相互獨立且均與T（x）獨立，δ、β、γ是與t無關(guān)的隨機(jī)變量或?qū)嵆?shù)且均與Bt、Zt獨立.

設(shè)投保人每次交保費R元，一年交m次，連續(xù)交保費n－x年.若每次交付1個單位的保額，則其現(xiàn)值為e－y（k），k＝0，1，…，n－x－1.以¨an－x表示其精算現(xiàn)值，則共繳純保費mRa¨n－x，其中

因Zt是參數(shù)為λ的Poisson過程，所以

由反射Brownian運動的定義，有

從而

2.3 保單價值的計算

2.3.1 增額壽險部分 如果（x）在x＋t歲時死亡，得到的賠付額為1＋α[T]，則其現(xiàn)值為（1＋α[T]）e－y（T），若用Ax表示其精算現(xiàn)值，則

從而增額壽險的精算現(xiàn)值為AAx元.顯然，當(dāng)α＝0時，增額壽險變成了等額壽險.

2.3.2 增額年金部分 若被保險人（x）生存至h歲以后，第k年可獲得保險公司支付的1＋（kh）l個單位的年金，則其現(xiàn)值為[1＋（kh）l]e－y（k），以表示其精算現(xiàn)值，則

式中：qx＋k表示（x＋k）在1 a內(nèi)死亡的概率.

2.3.3 儲蓄還本部分 設(shè)被保險人死亡時所得到的返回部分是1個單位，則其現(xiàn)值為隨機(jī)變量e－y（t），記其精算現(xiàn)值為E（Y），則

根據(jù)平衡原則，得到平衡方程

由平衡方程可以計算出每次所交保費

如果在每一保單年度內(nèi)死亡是均勻發(fā)生的，將保險期［0，n）分成n等份， 則在每一［k，k＋1）上，T服從均勻分布，在這種情況下，對任意的t∈ ［k，k＋1），fT（t）＝tpx·qx＋k，于是式（1）變成

其中I［k，k＋1）（t）是示性函數(shù).對由l0個新生生命組成的群體，在第x年還生存的人數(shù)為lx，則在第x年死亡的人數(shù)為dx＝lx－lx＋1，于是

并注意到

則在死亡均勻分布條件下，將式（9）～（11）代入到式（4）～ （7）中，有

這樣用生命表就可以簡單地進(jìn)行保費的計算了.

3 結(jié) 論

本文建立了一個新的壽險精算模型，模型中含有終身壽險、年金和還本部分，對于投保人來說，這種保險具有保險和儲蓄的雙重功能，增加了保險的吸引力.而且保險公司可以根據(jù)不同的情況調(diào)整參數(shù)得到不同的保險產(chǎn)品.本文還同時考慮了利率的隨機(jī)性，在隨機(jī)利率中引進(jìn)Poisson過程，可以避免或減小突發(fā)事件所形成的利率風(fēng)險對保險公司的影響；而引進(jìn)反射Brownian運動，則避免了采用較高的固定利率計算保費給投保人造成的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān).模型充分考慮了投保人和保險公司的綜合利益，最終使投保人和承保人都有所收獲，可以確保保險經(jīng)營的正常進(jìn)行.

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