黃才安，趙曉冬，周濟(jì)人

（1.揚(yáng)州大學(xué)水利科學(xué)及工程學(xué)院，揚(yáng)州225009；2.南京水利科學(xué)研究院河流海岸研究所，南京210024）

明渠水力設(shè)計(jì)中的能耗極值假說

黃才安1，趙曉冬2，周濟(jì)人1

（1.揚(yáng)州大學(xué)水利科學(xué)及工程學(xué)院，揚(yáng)州225009；2.南京水利科學(xué)研究院河流海岸研究所，南京210024）

最小能耗率理論和最大能耗率理論是水力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)研究中容易混淆的兩種假說。文章從明渠的最優(yōu)水力斷面設(shè)計(jì)、臨界渠道設(shè)計(jì)、沖積河流河相關(guān)系3個(gè)方面出發(fā)，在理論上證明了能耗極值假說的存在，說明能耗極值假說取最小值和最大值與約束條件、已知條件之間的關(guān)系，并將計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有成果進(jìn)行了比較。

能量耗散；極值假說；水力學(xué)；明渠水流

近年來，不同的極值理論和假設(shè)被用來解決流體力學(xué)、水力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)問題。這些理論和假設(shè)常常將一個(gè)系統(tǒng)在一定約束條件下的某一個(gè)或幾個(gè)變量，進(jìn)行極小化或極大化處理。采用極小化方法還是極大化方法，往往在學(xué)術(shù)上引起混淆，以致于人們對極值假說的有效性產(chǎn)生了懷疑。這些懷疑在很大程度上源于2點(diǎn)：一是對系統(tǒng)本身缺乏嚴(yán)格的定義；二是對優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)和約束條件及已知條件之間的關(guān)系缺乏認(rèn)識(shí)。因此有必要進(jìn)一步研究，澄清其中易混淆的概念。

能耗率極值原理可以敘述為：流體或摻有固體的多相流體，當(dāng)處在一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)內(nèi)，在給定的初始和邊界條件下流動(dòng)時(shí)，任何時(shí)刻的某因變物理量總是這樣的分布，使得系統(tǒng)整體的能量耗散率隨時(shí)為一個(gè)極值。將這一原理在不同條件下，用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來，就構(gòu)成了數(shù)學(xué)上的極值問題。能耗率極值原理有2種，一是以楊志達(dá)、張海燕［1-3］為代表的最小能耗率原理；二是以黃萬里［4-5］為代表的最大能耗率原理。

最小能耗率原理將動(dòng)態(tài)平衡與靜態(tài)平衡相類比，認(rèn)為對于一個(gè)在動(dòng)力平衡狀態(tài)下的封閉耗散系統(tǒng)而言，其能量耗散率總是達(dá)到最小值，此最小值取決于系統(tǒng)的約束條件。但系統(tǒng)不是處于動(dòng)力平衡狀態(tài)時(shí)，其能量耗散率就不是最小值，系統(tǒng)將進(jìn)行自我調(diào)節(jié)，使得其能量耗散率達(dá)到最小，并重新達(dá)到平衡。對一般的均勻流輸水系統(tǒng)，其最小能耗率原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：ρ為水的密度；g為重力加速度；Q為流量；J為水力坡度。最小能耗率原理曾被廣泛用來研究沖積河流的泥沙運(yùn)動(dòng)與河床演變問題。

與最小能耗率原理相對應(yīng)的是最大能耗率原理。這一原理認(rèn)為，凡在運(yùn)動(dòng)中消散的機(jī)械能皆轉(zhuǎn)化為熱能，儲(chǔ)存在物體里，能量之消散在一定時(shí)刻一定溫度都使產(chǎn)熵增加，從而使能耗率達(dá)到最大。

從實(shí)際應(yīng)用來講，究竟是取最小值還是最大值，并不影響數(shù)學(xué)上的求解，因?yàn)閿?shù)學(xué)上取得最小或最大值的必要條件都是一樣的，對最終結(jié)果沒有影響。但從理論上來講，最小值和最大值是2個(gè)完全不同的概念，引起混淆將不利于極值假說的發(fā)展與運(yùn)用。

文獻(xiàn)［6］以明渠水力學(xué)常見問題為例，探討了最小能耗率原理、最大能耗率原理與優(yōu)化系統(tǒng)中目標(biāo)函數(shù)、約束條件之間的關(guān)系。并對定床明渠水流情況下能耗率極值原理進(jìn)行了分析，當(dāng)式（1）流量Q已知，能耗率取極小值；而當(dāng)式（2）能坡J已知時(shí)，能耗率取極大值。本文從一般明渠（含定床與動(dòng)床水流）的水流方程出發(fā)，以矩形斷面河槽為例，說明約束條件的不同，對能耗率極值取向的影響，并給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。

1 明渠能耗極值假說的理論分析

明渠水流的水流連續(xù)性方程為

式中：Q為明渠流量；A為過水?dāng)嗝婷娣e；V為斷面平均流速。

明渠阻力方程可由Manning公式表示

式中：n為明渠糙率；R為水力半徑；J為水力坡度。

結(jié)合式（3）和式（4），可得明渠水流方程

1）提防管理范圍內(nèi)，嚴(yán)禁種植根系發(fā)達(dá)的植物，臨大堤較近的范圍種植高大喬木，應(yīng)有隔根措施，防止發(fā)達(dá)根系破壞大堤的整體性。

對于矩形明渠，設(shè)其寬度為b，水深為h，則其寬深比為β=b/h，代入式（5）可得

式（6）為明渠水流的基本方程，也是研究能耗率極值原理的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。由于明渠中的流量模數(shù)因此式（6）所表示的目標(biāo)函數(shù)的物理意義就是流量模數(shù)。由于水深h根據(jù)約束條件的不同，目標(biāo)函數(shù)可能取極大或極小值。根據(jù)不同的明渠水流特征，水深的約束條件可能與流量Q、能坡J、寬深比β、輸沙率Qs等因素有關(guān)，一般可表示為

下面分定床明渠、臨界渠道、動(dòng)床渠道等3種情況，分別討論約束條件與目標(biāo)函數(shù)極值之間的關(guān)系。

1.1 定床明渠水力最優(yōu)斷面

明渠水力最優(yōu)斷面的設(shè)計(jì)是定床水力學(xué)中的一個(gè)基本問題。對于矩形明渠，其斷面面積A與水深h的關(guān)系可表述為

式（8）為明渠水力最優(yōu)斷面的設(shè)計(jì)中的約束條件，代入式（6）得

顯然，目標(biāo)函數(shù)X的極值為

即當(dāng)寬深比βm=2時(shí)，X取極值。又

即當(dāng)寬深比βm=2時(shí)，X取極大值。而目標(biāo)函數(shù)X中含3個(gè)物理量，即流量Q、能坡J和斷面面積A。在明渠糙率n一定時(shí)，可以得到以下3點(diǎn)結(jié)論：（1）若流量Q和斷面面積A已知，則能坡J取極小值；（2）若能坡J和斷面面積A已知，則流量Q取極大值；（3）若流量Q和能坡J已知，則斷面面積A取極小值。

根據(jù)上述分析，3種明渠水力最佳斷面定義所得到的結(jié)果一致，對于矩形明渠，其寬深比為2，與水力學(xué)中的結(jié)論完全一致［7］。

1.2 臨界渠道

臨界渠道（即不沖不淤渠道）設(shè)計(jì)，此時(shí)渠道邊界切應(yīng)力處處等于泥沙起動(dòng)切應(yīng)力。為簡單起見，假定泥沙起動(dòng)切應(yīng)力在邊界上是相同的。對矩形明渠而言，其臨界渠道的約束條件為

式中:τc為泥沙起動(dòng)切應(yīng)力。式（12）可改寫為

代入式（6）得

顯然，目標(biāo)函數(shù)Y的極值為

即當(dāng)寬深比βm=2時(shí)，Y取極值。又

即當(dāng)寬深比βm=2時(shí)，Y取極小值。由于泥沙起動(dòng)切應(yīng)力為已知，則目標(biāo)函數(shù)Y僅是流量Q和能坡J的函數(shù)。在明渠糙率n及泥沙起動(dòng)切應(yīng)力τc一定，當(dāng)流量Q為已知時(shí)，能坡J取極小值；而當(dāng)能坡J為已知時(shí)，流量Q也為極小值。

說明在臨界渠道中無論在何種情況下，能耗率都取極小值。這是與定床明渠水流不同之處。同時(shí)得到的臨界渠道寬深比仍為2，與明渠水力最佳斷面一致。

1.3 動(dòng)床渠道河相關(guān)系

動(dòng)床穩(wěn)定渠道即沖淤平衡渠道，有泥沙運(yùn)動(dòng)。此時(shí)的約束條件是輸沙方程，現(xiàn)有很多學(xué)者根據(jù)不同的物理概念或純經(jīng)驗(yàn)，提出了眾多輸沙方程，僅選擇一個(gè)有代表性的輸沙方程進(jìn)行分析。這里以Engelund-Hansen公式［8-9］為例，該公式的精度相對較高。

式中：gs為以重量計(jì)的單寬床沙質(zhì)輸沙率；ρs為泥沙的密度；d為泥沙中值粒徑；f和τ分別為阻力系數(shù)和床面切應(yīng)力，其定義分別為

將式（18）和式（19）代入式（17），可得單寬輸沙率gs

將明渠流速公式（4）代入式（20），得到

將單寬輸沙率gs乘以明渠寬度b，即為斷面輸沙率Qs，并考慮寬深比，則

即

其中

將式（23）代入式（6）中，得到目標(biāo)函數(shù)

顯然，目標(biāo)函數(shù)Z的極值為

即當(dāng)寬深比β=46/7時(shí)，Z取極值。又

即當(dāng)寬深比βm=46/7時(shí)，Z取極小值。而目標(biāo)函數(shù)Z中包含3個(gè)物理量，即流量Q、能坡J和輸沙率Qs。在明渠糙率n及泥沙粒徑d一定時(shí)，可以得到以下3點(diǎn)結(jié)論：（1）若流量Q和輸沙率Qs已知，則能坡J取極小值；

（2）若流量Q和能坡J已知，則輸沙率Qs取極小值；（3）若能坡J和輸沙率Qs已知，則流量Q取極大值。

結(jié)論（1）就是楊志達(dá)、張海燕等提出的最小能耗率［1-3］，結(jié)論（2）是White等提出的最大輸沙率［10］。而結(jié)論（3）是最小能耗率的又一種提法。說明在動(dòng)床穩(wěn)定渠道（即河相關(guān)系）設(shè)計(jì)中，能耗率取極小值。而其中得到的寬深比βm=46/7，是根據(jù)Engelund-Hansen輸沙公式得到的，不同的輸沙公式得到的寬深比不同，因此這一寬深比在具體動(dòng)床穩(wěn)定渠道設(shè)計(jì)中僅供參考。上述3個(gè)結(jié)論在不同的輸沙公式時(shí)一般均成立。

當(dāng)采用含有泥沙起動(dòng)切應(yīng)力項(xiàng)的輸沙公式時(shí)，能同時(shí)得到臨界渠道和動(dòng)床穩(wěn)定渠道中的結(jié)論。由于其分析過程中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)較為復(fù)雜，這里不作介紹。

2 結(jié)語

最小能耗率理論和最大能耗率理論是水力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)研究中容易混淆的2種假說。本文從明渠水流運(yùn)動(dòng)的基本方程出發(fā)，對明渠設(shè)計(jì)中的能耗率極值假說作了進(jìn)一步研究。從定床最優(yōu)水力斷面設(shè)計(jì)、臨界渠道設(shè)計(jì)、沖積河流河相關(guān)系3個(gè)方面，指出能耗率極值假說是取最小值還是最大值與明渠水流的約束條件和已知條件有關(guān)，并給出了數(shù)學(xué)證明。

上述分析僅針對矩形明渠，其結(jié)論對其他斷面形式的明渠同樣適用。

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Extremal hypotheses of energy dissipation used in open channel design

HUANG Cai-an1，ZHAO Xiao-dong2，ZHOU Ji-ren1
（1.College of Hydraulic Science and Engineering，Yangzhou University，Yangzhou 225009，China；2.Department of River and Ocean Engineering，Nanjing Hydraulic Research Institute，Nanjing 210024，China）

In hydraulics and river dynamics studying，there are two confused hypotheses:minimum energy dissipation rate theory and maximum energy dissipation rate theory.From hydraulic efficient cross-section，threshold channel design and hydraulic geometry of alluvial channel in open-channel flow，the existence of extremal value of energy dissipation rate was proved in this paper.Two extremal hypotheses depend on the constraint and given conditions were also proposed.The results were compared with the relating hydraulic theories.

energy dissipation；extremal hypotheses；hydraulics；open-channel flow

TV 133

A

1005-8443（2010）05-0330-05

國家自然科學(xué)基金（50779060）

黃才安（1966-），男，江蘇省江都人，教授，博士，主要從事水力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)方面的研究。

Biography：HUANG Cai-an（1966-），male，professor.