鄭紅艷，夏樂(lè)天

（河海大學(xué) 理學(xué)院，南京 210098）

1 異方差模型

經(jīng)典線性回歸模型的一個(gè)重要假設(shè)就是回歸方程誤差項(xiàng)εi具有相同的方差，也稱方差齊性，其經(jīng)典線性回歸模型可以表示為

假設(shè)有 n 組觀察值(yi，xi2，xi3，…，xik)，i=1，2，…，n，則(1)式可表示為

用矩陣可表示為

其中Y是被解釋變量觀察值的n維向量，X是解釋變量的n×p矩陣，β為p維的未知系數(shù)向量，ε是n維的隨機(jī)誤差項(xiàng)向量。

如果在回歸模型(2)中，不管x取什么值，εi的方差都是同一常數(shù)，我們就說(shuō)εi具有同方差性（也稱方差齊性）。然而，在現(xiàn)實(shí)中，人們發(fā)現(xiàn)有不少現(xiàn)象與方差齊性相違背。當(dāng)方差齊性假定不滿足，也就是說(shuō)誤差項(xiàng)εi的方差不等于一個(gè)常數(shù)，即

則稱誤差項(xiàng)εi具有異方差性。在模型(3)中，除誤差項(xiàng)具有異方差性外，其它基本假設(shè)都能滿足，則稱這種模型為異方差的線性回歸模型，簡(jiǎn)稱異方差模型[1-2]。

特別是當(dāng)討論橫截面數(shù)據(jù)時(shí)，異方差性通常是不可避免的。例如，當(dāng)討論公司利潤(rùn)與若干解釋變量的線性回歸模型時(shí)，大規(guī)模公司的利潤(rùn)顯然比小規(guī)模公司的利潤(rùn)有更大的波動(dòng)性，又如，當(dāng)研究家庭收入(解釋變量)和儲(chǔ)蓄(因變量)之間的線性回歸關(guān)系時(shí)，由于高收入家庭除了必要的家庭支出外剩余較多，隨意支配部分較大，因而，他們儲(chǔ)蓄多少的隨意性也較大，即儲(chǔ)蓄額的差異較大。

如果對(duì)異方差模型進(jìn)行最小二乘估計(jì)(OLS估計(jì))，就會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的錯(cuò)誤[3]：參數(shù)估計(jì)量的方差不具有最小方差性；估計(jì)與預(yù)測(cè)的精度降低。因此，異方差性的檢驗(yàn)具有重要的經(jīng)濟(jì)意義。

2 異方差性的檢驗(yàn)

常用的檢驗(yàn)異方差的方法有很多。如果在同一條件下，存在重復(fù)試驗(yàn)或重復(fù)觀察的話，統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)提出了不少方差齊性的檢驗(yàn)方法。譬如，巴特列特(Bartlett)檢驗(yàn)等[4]。但是，在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，很少存在這種數(shù)據(jù)，為此，經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)家又提出了許多不同的方法，譬如圖示法、斯皮爾曼(Spearman)的秩相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)法等等，文獻(xiàn)[4]甚至還給出了一種不依賴于殘差的異方差檢驗(yàn)方法。其中，戈德菲爾德-匡特檢驗(yàn)法（簡(jiǎn)稱“G-Q檢驗(yàn)法”）是最為常用的方法之一。由于戈德菲爾德-匡特檢驗(yàn)方法只適用于一個(gè)自變量[3]，因此，本文給出了一種適用于多變量的異方差檢驗(yàn)法，該法實(shí)質(zhì)上就是一種推廣的G-Q檢驗(yàn)法，它只需要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行若干次單變量G-Q檢驗(yàn)，即可得到是否有“方差齊性”的推斷。

2.1 單變量戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)

戈德菲爾德-匡特檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱G-Q檢驗(yàn)，這種檢驗(yàn)適用于大樣本。這種檢驗(yàn)要求隨機(jī)項(xiàng)εi服從正態(tài)分布且εi無(wú)序列相關(guān)。檢驗(yàn)的方法以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，它把隨機(jī)樣本分為三段，去掉中間一段。假定低樣本組的數(shù)據(jù)具有同方差性，設(shè)方差為，高樣本組的數(shù)據(jù)也具有同方差性，設(shè)方差為。然后比較高樣本組與低樣本組的方差是否相同。若方差相同，說(shuō)明數(shù)據(jù)中不存在異方差；若方差不同，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在異方差。

設(shè) x為所考慮的解釋變量，檢驗(yàn)原假設(shè) H0：，備擇假設(shè) H1：。

G-Q檢驗(yàn)的步驟為：

(1)把觀察值按照解釋變量x由小到大的順序排列，對(duì)應(yīng)的被解釋變量與解釋變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系不變。

(2)略去c個(gè)中心觀察值，c的大小約為樣本容量n的四分之一到三分之一，為了計(jì)算上的方便最好使n-c為偶數(shù)。

(3)剩下n-c個(gè)樣本觀察值分為大小相等的兩個(gè)樣本，第一個(gè)樣本包含的觀察值相應(yīng)于解釋變量x的較小部分第二個(gè)樣本包含的觀察值相應(yīng)于解釋變量x的較大部分。

(4)應(yīng)用普通最小二乘法對(duì)每個(gè)樣本分別進(jìn)行回歸，并計(jì)算出相應(yīng)的殘差平方和ESS1和ESS2。

(5)選擇統(tǒng)計(jì)量

在H0為真時(shí)，F(xiàn)服從自由度為r1=(n-c-2k)/2，r2=(n-c-2k)/2的F分布。這里的k為回歸模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)。如果選定顯著性水平α，那么可利用F分布的臨界值Fα(上側(cè)α分位點(diǎn))進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。當(dāng)F＞Fα?xí)r，拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為存在異方差性，當(dāng) F≤Fα?xí)r，接受原假設(shè) H0，認(rèn)為 εi方差齊性。

G-Q檢驗(yàn)法對(duì)單個(gè)解釋變量來(lái)說(shuō)，是一種方便、快捷檢測(cè)異方差存在性的方法。但對(duì)于多個(gè)解釋變量，這種方法在使用上有一定的困難。因此，本文對(duì)這種方法作進(jìn)一步的推廣。

2.2 適用于多變量的推廣的G-Q檢驗(yàn)

由于多元線性回歸模型的異方差檢驗(yàn)實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)每個(gè)解釋變量對(duì)應(yīng)被解釋變量的一元線性回歸模型的異方差檢驗(yàn)，若所有一元線性回歸模型都不存在異方差，則可近似認(rèn)為多元線性回歸模型或數(shù)據(jù)不存在異方差，反之，若出現(xiàn)有一個(gè)一元線性回歸模型存在異方差，則就認(rèn)為原多元線性回歸模型或數(shù)據(jù)存在異方差。從而我們可以得到一種針對(duì)多變量的推廣的G-Q檢驗(yàn)方法，即對(duì)每一個(gè)解釋變量采用單變量的G-Q檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)是否存在異方差。若其中有一個(gè)一元線性回歸模型存在異方差，則就認(rèn)為原多元線性回歸模型或數(shù)據(jù)存在異方差。具體步驟如下：

(1)把觀察值按照解釋變量xi(i=1，2，…，n)由小到大的順序排列，對(duì)應(yīng)的被解釋變量與解釋變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系不變。

(2)略去c個(gè)中心觀察值，c的大小約為樣本容量n的四分之一到三分之一，為了計(jì)算上的方便最好使n-c為偶數(shù)。

(3)剩下n-c個(gè)樣本觀察值分為大小相等的兩個(gè)樣本，第一個(gè)樣本包含的觀察值相應(yīng)于解釋變量xi的較小部分第二個(gè)樣本包含的觀察值相應(yīng)于解釋變量xi的較大部分。

(4)應(yīng)用普通最小二乘法對(duì)每個(gè)樣本分別進(jìn)行回歸，并計(jì)算出相應(yīng)的殘差平方和ESS1i和ESS2i。

(5)選擇統(tǒng)計(jì)量

在 H0為真時(shí)，F(xiàn)i(i=1，2，…，n)服從自由度為 r1=(n-c-2k)/2，r2=(n-c-2k)/2的F分布。這里的k為回歸模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)。如果選定顯著性水平α，那么可利用F分布的臨界值Fα(上α側(cè)分位點(diǎn))進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。當(dāng)存在Fi＞Fα?xí)r，拒絕原假設(shè) H0，認(rèn)為存在異方差性，當(dāng)所有 Fi≤Fα(i=1，2，…，n)時(shí)，接受原假設(shè)H0，認(rèn)為εi方差齊性。

表1 31個(gè)地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭全年人均經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)

3 應(yīng)用舉例

下面，我們以一個(gè)實(shí)例來(lái)驗(yàn)證以上方法的可行性和有效性。考慮消費(fèi)性支出(y)與收入(x1)、食品支出(x2)及娛樂(lè)教育文化服務(wù)支出(x3)的關(guān)系模型。收集2007年我國(guó)31個(gè)地區(qū)的城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年的消費(fèi)性支出包括食品支出及娛樂(lè)教育文化服務(wù)支出，各地區(qū)城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭實(shí)際收入數(shù)據(jù)（單位：千元）如表1所示。

首先我們采用文獻(xiàn)[3]給出的方法，經(jīng)過(guò)計(jì)算，可知表1中數(shù)據(jù)不存在異方差，這似乎有悖經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的理論。下面我們使用本文提出的方法，再次對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

對(duì)解釋變量x1按照從小到大的順序進(jìn)行排序，對(duì)應(yīng)的被解釋變量與解釋變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系不變。去掉排序后的中間9組數(shù)據(jù)，即c=9，n=31，k=2，就可得到兩個(gè)樣本，其樣本個(gè)數(shù)都是11，且第一個(gè)樣本包含的觀察值相應(yīng)于解釋變量x1的較小部分第二個(gè)樣本包含的觀察值相應(yīng)于解釋變量x1的較大部分。

對(duì)前11組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸得到

其殘差平方和為1.2383。

對(duì)后11組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸得到

其殘差平方和為5.7738。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

類似地，我們對(duì)解釋變量x2和x3進(jìn)行以上處理，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F2=4.87，F(xiàn)3=4.12。

查 F 分布表，得臨界值 F0.05(9，9)=3.18。 由于 Fi＞3.18，i=1，2，3，所以接受備擇假設(shè)，即認(rèn)為數(shù)據(jù)中存在異方差。

事實(shí)上，用本文中所給的方法對(duì)文獻(xiàn)[3]中的例子進(jìn)行檢驗(yàn)，也可以得到相同的結(jié)論。

4 結(jié)語(yǔ)

在某些有關(guān)計(jì)量經(jīng)濟(jì)的回歸模型中，假設(shè)誤差項(xiàng)具有方差齊性是不合理的。異方差的情況在截面數(shù)據(jù)中常常出現(xiàn).。對(duì)這種異方差模型進(jìn)行最小二乘估計(jì)，會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的錯(cuò)誤，因此研究異方差的檢驗(yàn)方法具有重要意義。

由于戈德菲爾德-匡特檢驗(yàn)方法只適用于一個(gè)自變量，因此，本文給出針對(duì)多變量的G-Q檢驗(yàn)方法，即對(duì)每個(gè)解釋變量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，從而判斷原模型的異方差性。通過(guò)實(shí)例我們還看出，本文所給的方法比文獻(xiàn)[3]中的方法適用更廣，也更簡(jiǎn)便易行，即只要進(jìn)行若干次的單變量G-Q檢驗(yàn)就行了。

當(dāng)然，異方差的檢驗(yàn)除了上述敘述的方法外，還有很多的方法。文獻(xiàn)[3]給出了一種基于樣本主成分的推廣的G-Q檢驗(yàn)方法，文獻(xiàn)[4]則給出了一種基于分組的異方差檢驗(yàn)方法。如何根據(jù)實(shí)際情況選擇最好的檢驗(yàn)方法是值得研究的。當(dāng)然，最優(yōu)檢驗(yàn)方法的選擇不是固定的，George G.Jude[7]等人認(rèn)為，最優(yōu)檢驗(yàn)方法的選擇還依賴于人們對(duì)可能的異方差形式的先驗(yàn)認(rèn)識(shí)。

[1]White H.A.Heteroscedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and Direct Test for Heteroscedasticity[J].Econometrica,1980,(48).

[2]Park R.E.Estimation With Heteroscedastic Error Terms[J].E-conometrica,1966,(34).

[3]龔秀芳.戈德菲爾德-匡特檢驗(yàn)的推廣[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2005，24.

[4]張荷觀.基于分組的異方差檢驗(yàn)和兩階段估計(jì)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2006，(1).

[5]白雪梅.異方差性的檢驗(yàn)方法及評(píng)述[J].東北財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，(11).

[6]王正林等.精通MATLAB科學(xué)計(jì)算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[7]姜詩(shī)章，王錦功.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教程[M].吉林：吉林大學(xué)出版社，1989.