張義剛 ，唐小我

（1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息工程學(xué)院，成都 610074；2.電子科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，成都 610054）

0 引言

傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)批量訂貨模型(EOQ)的一個(gè)重要假設(shè)是零售商訂貨之后立即支付供應(yīng)商貨款。而在實(shí)際商業(yè)活動(dòng)中，基于各種原因，零售商常常延遲支付(delay in payments)。Goyal[1]于1985年率先研究了延遲支付情況下的EOQ模型，之后許多學(xué)者對(duì)延遲支付下的訂貨策略進(jìn)行了研究，其中的一個(gè)研究方向是假定供應(yīng)商制定的商品批發(fā)價(jià)格與零售商的訂貨批量相關(guān)，即將延遲支付與數(shù)量折扣 (quantity discount)問題相結(jié)合。有關(guān)數(shù)量折扣下的EOQ模型，可見Das[2]、Tersine和Toelle[3]以及Goyal和Gupta[4]等的研究。結(jié)合延遲支付，Khouja和Mehrez[5]研究了4種付款方式下零售商的訂貨策略，其中一種為零售商的訂貨批量必須達(dá)到一定閾值才能享受延遲支付。Chung和Liao[6]研究了有訂貨批量閾值的延遲支付問題，考慮的是易逝商品。Huang[7]假設(shè)只有訂貨批量達(dá)到閾值才能享受全部商品的延遲支付，否則只有部分商品能夠延遲支付。Shinn和 Hwang[8]從另外的角度研究了數(shù)量折扣問題，他們假定延遲支付期的長(zhǎng)短與訂貨批量相關(guān)。

在已有的延遲支付和數(shù)量折扣結(jié)合的研究中，隱含了一個(gè)重要假設(shè)，即不管訂貨批量是多少，零售商在延遲支付期結(jié)束時(shí)總是有足夠的資金支付給供應(yīng)商。而事實(shí)上，零售商的決策會(huì)受到資金的影響。當(dāng)訂貨周期大于延遲支付期時(shí)，零售商有可能在延遲支付期結(jié)束時(shí)無足夠的資金支付供應(yīng)商。也就是說，對(duì)于那些自有資金不充裕而且融資困難的零售商而言，其訂貨行為存在著資金約束。當(dāng)數(shù)量折扣存在時(shí)，零售商有加大訂貨批量以獲得較高折扣的需要，這時(shí)不能不考慮資金約束。

本文擬研究在資金約束、數(shù)量折扣和延遲支付均存在的情況下，零售商的最優(yōu)訂貨策略。

1 模型假設(shè)及符號(hào)

1.1 問題描述及假設(shè)

供應(yīng)商允許零售商延遲支付貨款。對(duì)于不同大小的訂貨批量，供應(yīng)商制定了不同的批發(fā)價(jià)格，但延遲支付期均一樣。零售商訂購商品的市場(chǎng)需求率恒定，不允許缺貨，每一周期結(jié)束時(shí)零售商的庫存為零，即零售商的訂貨環(huán)境符合EOQ模型的基本假設(shè)，零售商采用EOQ模型來訂貨。

零售商存在資金約束。盡管每一周期結(jié)束之后，零售商可以用獲得的銷售利潤(rùn)追加訂貨資金，但是，對(duì)于適合使用EOQ模型來訂貨的商品而言，其需求率是恒定的，其零售價(jià)格也波動(dòng)不大，零售商在該項(xiàng)商品上可以獲得的利潤(rùn)也相對(duì)有限。而且，零售商在另外的領(lǐng)域也可能需要資金。因此對(duì)于適合EOQ模型訂貨的商品，可以假定在每一個(gè)周期中，零售商存在著一個(gè)固定大小的投入資金限額，在需要向供應(yīng)商支付時(shí)，零售商在該商品上投入的自有資金總額不能超過該限額，其余資金則通過該項(xiàng)商品的銷售解決。

1.2 符號(hào)

D：商品的需求率(件/年)；

S：每次訂貨的訂貨費(fèi)；

h：?jiǎn)挝簧唐穯挝粫r(shí)間內(nèi)的持有費(fèi)；

T：訂貨周期；T*：最優(yōu)訂貨周期；

Q：訂貨批量，Q＝DT；Q*：最優(yōu)訂貨批量；

M：延遲支付期；

I：零售商單位資金的年利息收入；

c：商品的批發(fā)價(jià)。供應(yīng)商實(shí)行數(shù)量折扣策略，即Q∈[qi,qi+1)時(shí)，c=ci(i=1,2,…,n；c1＞c2＞…cn)；

p：商品的零售價(jià)(p＞c)；

Y：零售商在該項(xiàng)商品訂貨中的資金限額；

Z：零售商的年總費(fèi)用。

2 模型

零售商的年總費(fèi)用=年貨款+年訂貨費(fèi)+年持有費(fèi)-年利息收入

年貨款=cD；年訂貨費(fèi)=S/T

年持有費(fèi)=hDT/2

年利息收入依賴于零售商訂貨周期和供應(yīng)商給定的延遲支付期之間的關(guān)系。當(dāng)訂貨周期由小變大時(shí)，會(huì)經(jīng)歷圖1和圖2所示意的兩種情況。

2.1 T＜M

一個(gè)周期中的利息收入=IYT+IpDT2/2+IpDT(M-T)

年利息收入=IY+IpDT/2+IpD(M-T)

零售商的年總費(fèi)用為

由?2Z1/?T2＞0，得在?Z1/?T=0 時(shí)年總費(fèi)用最少。 因此最優(yōu)訂貨周期為

最優(yōu)訂貨批量為

2.2 T≥M

在一個(gè)周期中

|OM|時(shí)段利息收入=IYM+IpDM2/2

在M點(diǎn)，零售商必須支付貨款cDT(包含的約束條件是Y≥cDT-pDM)，零售商的資金減少cDT，因此

|MT|時(shí)段利息收入=I(Y+pDM-cDT)(T-M)+IpD(T-M)2/2

年利息收入=(|OM|時(shí)段利息收入+|MT|時(shí)段利息收入)/T

=IY+IcDM+(Ip-2Ic)DT/2

因此年總費(fèi)用

由?2Z2/?T2＞0，得在?Z2/?T=0 時(shí)年總費(fèi)用最少，因此批發(fā)價(jià)為c時(shí)的最優(yōu)訂貨周期為

最優(yōu)訂貨批量為

圖1 T＜M

圖2 T≥M

圖3 情形①

圖4 情形②

2.3 零售商的最優(yōu)訂貨策略

年總費(fèi)用最少時(shí)，零售商的訂貨策略最優(yōu)。因此零售商最優(yōu)訂貨策略的確定，即是求解下面的規(guī)劃問題。

其中，式(10)為供應(yīng)商的訂貨批量約束，式(11)為零售商的資金約束。

3 模型求解

3.1 模型討論

下面，討論零售商年總費(fèi)用函數(shù)Z(c,T)的一些性質(zhì)?；舅悸肥?，將Z(c,T)看成是區(qū)間T＜M和T≥M上的分段函數(shù)，通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論來分析比較駐點(diǎn)和T=M處函數(shù)值的大小，進(jìn)而尋找符合約束條件的最小總費(fèi)用。

性質(zhì)1 對(duì)于任意c，Z(c,T)在T=M處是連續(xù)的。

證明：對(duì)于任意c

證明：由式(2)和(6)，有

由 c＜p，得 2Ic-Ip＜Ip

由于?2Z1/?T2＞0 和?2Z2/?T2＞0，性質(zhì) 2 意味著對(duì)于任意 c，Z1和Z2的組合只有3種情形(參見圖3、圖4和圖5)。這就引出了下面的性質(zhì)3。為了敘述的方便，在(12)和(13)式中，令

△1=(h+Ip)/DM2-2S；△2=(h+2Ic-Ip)/DM2-2S

由于分母為正，△1和△2分別決定了式(12)和式(13)與零的大小關(guān)系。

性質(zhì) 3 ①當(dāng)△1＞0，△2≥0 時(shí)，T*=

②當(dāng)△1＞0，△2＜0 時(shí)， T*為和中與 min{Z1(c,),Z2(c,T2*)}對(duì)應(yīng)者；

③當(dāng)△1≤0，△2＜0 時(shí)，T*=。

證明：①△1＞0，△2≥0時(shí)的情形由圖 3示意，因此最優(yōu)訂貨周期T*=

②△1＞0，△2＜0時(shí)的情形由圖 4 示意，因此最優(yōu)訂貨周期T*為和中與min{Z1(c,),Z2(c,)}對(duì)應(yīng)者。

③△1≤0，△2＜0時(shí)的情形由圖 5示意，因此最優(yōu)訂貨周期T*=

圖5 情形③

圖6 算例中的年總費(fèi)用曲線

3.2 圖解法確定最優(yōu)訂貨策略

年總費(fèi)用函數(shù)Z(c,T)的3條性質(zhì)，為確定最優(yōu)訂貨策略打下了基礎(chǔ)。但是，由于Z的組合情形有3種，供應(yīng)商又根據(jù)訂貨批量的不同提供了多個(gè)批發(fā)價(jià)格，加上零售商存在資金約束，具體的情形將變得復(fù)雜。在本文假設(shè)的情況下，盡管用文字和公式來描述確定最優(yōu)訂貨策略的一般步驟是可行的，但將非常繁瑣(參見文獻(xiàn)[4]中EOQ模型下考慮數(shù)量折扣時(shí)最優(yōu)訂貨策略的確定步驟)。

另一方面，在實(shí)際的商業(yè)活動(dòng)中，供應(yīng)商根據(jù)零售商的訂貨批量設(shè)置的批發(fā)價(jià)格一般不會(huì)很多。而且，批量約束和資金約束在Z-Q關(guān)系圖中都可以簡(jiǎn)單地表示出來。這使得可以利用具體的參數(shù)，通過計(jì)算機(jī)軟件來畫出Z(c,T)的函數(shù)曲線，并結(jié)合約束條件來確定最優(yōu)訂貨策略。

供應(yīng)商是根據(jù)訂貨批量來設(shè)置批發(fā)價(jià)格的，為了作圖的方便，利用T=Q/D將Z(c,T)轉(zhuǎn)換為

盡管實(shí)際應(yīng)用中具體的參數(shù)各有差異，但用圖解法來確定最優(yōu)訂貨策略，其步驟是一致的。

步驟1：根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)置合適的坐標(biāo)計(jì)量單位。

步驟2：根據(jù)延遲支付期M畫出DM線。

步驟3：根據(jù)式(14)和相關(guān)參數(shù)，用軟件畫出各批發(fā)價(jià)對(duì)應(yīng)的Z(c,Q)曲線，以DM線作為Z1和Z2的分界線。

步驟4：畫出各批發(fā)價(jià)要求的最低訂貨批量線。

步驟5：將資金約束Y≥cDT-pDM轉(zhuǎn)換為Q≤(Y+pDM)/c，畫出資金約束線Y。

步驟6：按照從低價(jià)到高價(jià)的順序，在各Z(c,Q)曲線上找出符合約束條件的Z值最小點(diǎn)，然后進(jìn)行比較，Z值最小的即為最優(yōu)策略點(diǎn)。在不易分辨時(shí)，可以結(jié)合△1和△2的值判斷Z曲線的構(gòu)成，必要時(shí)可根據(jù)公式具體計(jì)算。Z值明顯都高的曲線可以不參與比較。

4 算例

假設(shè)商品需求率D=10000(件/年)；每次訂貨的訂貨費(fèi)S=1000(元)；持有費(fèi) h=50(元/年·件)；資金收益利率 I=0.1(1/年)；商品零售價(jià) p=250(元/件)；延遲支付期 M=0.1(年)；零售商在該項(xiàng)商品交易中的投入資金限額Y=100000(元)；商品批發(fā)價(jià)由下式確定，單位：元。

這時(shí)△1＞0，△2＞0，即相當(dāng)于性質(zhì) 3 中①的情形。

圖解法確定最優(yōu)訂貨策略的步驟為：首先，結(jié)合此算例的實(shí)際，將縱坐標(biāo)Z的計(jì)量單位設(shè)置為“萬元”，橫坐標(biāo)Q的計(jì)量單位設(shè)置為“×250件”；然后，用軟件畫出各曲線和約束線(在本算例中DM線和批發(fā)價(jià)c3的訂貨批量約束線q3恰好重合)；最后，按照從低價(jià)到高價(jià)的順序，在各曲線上尋找關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行比較。

曲線c4中，點(diǎn)①為符合批量約束的Z值最小點(diǎn)，但不符合資金約束；曲線c3中，點(diǎn)②為符合批量約束的Z值最小點(diǎn)，而且符合資金約束；曲線c2中，點(diǎn)③為既符合批量約束又符合資金約束的Z值最小點(diǎn)，但Z值明顯大于點(diǎn)②；曲線c1中所有點(diǎn)的Z值都明顯偏高，不予考慮。所以，點(diǎn)②即為最優(yōu)策略點(diǎn)。此時(shí)，

最優(yōu)訂貨周期T*=M=0.1(年)

最優(yōu)訂貨批量Q*=1000(件)

5 小結(jié)

針對(duì)供應(yīng)商給予固定期限的延遲支付期，并根據(jù)訂貨批量的不同設(shè)置多個(gè)批發(fā)價(jià)格的情況，假定零售商投入的資金有一固定的最大限額，存在資金約束，本文建立了確定零售商最優(yōu)訂貨策略時(shí)需要的模型。通過對(duì)模型的討論，在分析年總費(fèi)用函數(shù)特征的基礎(chǔ)上，給出了使用圖解法來確定最優(yōu)訂貨策略的步驟。最后，進(jìn)行了算例分析。

[1]Goyal S K.Economic Order Quantity under Conditions of Permissible Delay in Payments[J].Journal of the Operational Research Society,1985,36(4).

[2]Das C.A Unified Approach to the Price-break Economic Order Quantity(EOQ)Problem[J].Decision Science,1984,15.

[3]Tersine R J,Toelle R A.Lot Size Determination with Quantity Discounts[J].Production and Inventory Management,1985,27(3).

[4]Goyal S K,Gupta O K.A Simple Approach to the Discount Purchase Problem[J].The Journalofthe OperationalResearch Society,1990,41.

[5]Khouja M,Mehrez A.Optimal Inventory Policy under Different Supplier Credit Policies[J].Journal of Manufacturing Systems,1996,15.

[6]Chung K J,Liao J J.Lot-sizing Decisions under Trade Credit Depending on the Ordering Quantity[J].Computers&Operations Research,2004,31.

[7]Huang Y F.Economic Order Quantity underConditionally Permissible Delay in Payments[J].European Journal of Operational Research,2007,16.

[8]Shinn S W,Hwang H.Optimal Pricing and Ordering Policies for Retailers under Order-size-d ependentDelay in Payments[J].Computers and Operations Research,2003,30.