姚洪興，王娜娜

（江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

房地產(chǎn)是一高風(fēng)險(xiǎn)、高投入、高回報(bào)的行業(yè)，房地產(chǎn)投資在給投資者帶來收益的同時(shí)，也可能給投資者帶來風(fēng)險(xiǎn)并遭受損失。由于房地產(chǎn)商品受自然因素以及社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、行政、心理等其他因素的影響，投資面臨較多的不確定性。投資房地產(chǎn)時(shí)，由于房地產(chǎn)開發(fā)建設(shè)周期較長，所需投資額大，開發(fā)成本受土地費(fèi)用、稅費(fèi)等不確定因素影響較大，所以具有一定的風(fēng)險(xiǎn)性。房地產(chǎn)開發(fā)需要較長的開發(fā)周期，加之土地資源有限，房地產(chǎn)供給呈現(xiàn)出低彈性，而市場(chǎng)對(duì)房地產(chǎn)的需求及需求變化卻非常大，房地產(chǎn)需求呈高彈性，供給的低彈性和需求的高彈性注定了房地產(chǎn)只能預(yù)先生產(chǎn)，導(dǎo)致房地產(chǎn)的供給滯后。而房地產(chǎn)開發(fā)在某階段的投資開發(fā)量和許多因素有關(guān)，例如市場(chǎng)上原有的房產(chǎn)數(shù)量，需求量，其他投資商本期的投資開發(fā)量，房產(chǎn)的售價(jià)以及前期市場(chǎng)上房產(chǎn)的價(jià)格都有一定的關(guān)系。

許多文獻(xiàn)對(duì)房地產(chǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了相應(yīng)的研究,阮萍[1],張建旭[2]等從理論上進(jìn)行了房地產(chǎn)投資風(fēng)險(xiǎn)研究；Osama Ahmed Jannadi[3]等從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度對(duì)房地產(chǎn)投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行描述,并構(gòu)造了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)模型,用計(jì)算機(jī)對(duì)一項(xiàng)具體實(shí)例進(jìn)行分析并針對(duì)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)特征提出改進(jìn)措施；Choi Hyun-ho[4]運(yùn)用模糊理論并借助一款風(fēng)險(xiǎn)分析軟件從參數(shù)估計(jì)和主觀判斷方面對(duì)建筑工程的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行識(shí)別鑒定、分析、評(píng)價(jià)和管理。然而由于房地產(chǎn)有一定的建設(shè)周期,即具有時(shí)滯效應(yīng)，上一期的某些因素也會(huì)影響到本期的投資。文獻(xiàn)[5]中談到t-τ時(shí)物資價(jià)格和后期t時(shí)刻的物資供應(yīng)量變化率滿足一定的關(guān)系。

本文考慮到房地產(chǎn)投資開發(fā)量與本期及上期房產(chǎn)價(jià)格的關(guān)系，擬把時(shí)滯因素引入房地產(chǎn)投資開發(fā)中,建立一類含時(shí)滯的房地產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)投資模型，將時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用到房地產(chǎn)投資中，研究該模型平衡點(diǎn)存在的唯一性以得到平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

1 模型的建立

假設(shè)市場(chǎng)上有n個(gè)房地產(chǎn)投資開發(fā)商，xi(t)為第i個(gè)開發(fā)商在t時(shí)刻投資開發(fā)的數(shù)量；xi(t-τ)為第i個(gè)開發(fā)商在t-τ時(shí)刻投資開發(fā)的數(shù)量（i=1，2，3，…，n）；f代表價(jià)格函數(shù)，那么 f是x的函數(shù)，f當(dāng)然也是t的函數(shù)；τ為房子的建設(shè)周期即時(shí)滯；fi(x(t))，fi(x(t-τ))分別為第 i個(gè)投資商在 t和 t-τ時(shí)刻所建設(shè)房子的價(jià)格。由于t時(shí)刻的投資開發(fā)量對(duì)t-τ時(shí)刻房產(chǎn)價(jià)格的反映是滯后的，因此我們用下面的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來描述房地產(chǎn)的投資開發(fā)量：

其中 n 代表開發(fā)商的數(shù)量，xi(t)、xi(t-τ)分別代表 t、t-τ時(shí)刻市場(chǎng)上房地產(chǎn)開發(fā)的數(shù)量，fj(xj(t))、fj(xj(t-τ))分別代表 t、t-τ時(shí)刻市場(chǎng)上房子的售價(jià)，aij、bij分別代表 t、t-τ時(shí)刻第 j個(gè)開發(fā)商房產(chǎn)售價(jià)對(duì)第i個(gè)投資商開發(fā)商的影響因子，0＜aij＜1，0＜bij＜1。房地產(chǎn)投資開發(fā)量的變化率可以用開發(fā)數(shù)量和房子價(jià)格來表示，因此，模型（1）可以表示房地產(chǎn)投資開發(fā)量的變化率。這里假設(shè)

C=dig(c1，c2，c3，…，cn)，A=(aij)n×n，B=(bij)n×n

2 預(yù)備知識(shí)

定義 1 稱函數(shù) x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))為方程（1）滿足初值條件 x(s)=φ(s)，φ=C([-τ,0]，Rn)的解，如果 x(t)連續(xù)，當(dāng) t≥0 時(shí)，滿足方程（1）。 特別地，稱點(diǎn) x*∈Rn為方程（1）的平衡點(diǎn)，如果 x(t)=x*是（1）的解。

定義2 一個(gè)實(shí)矩陣A(aij)n×n稱為一個(gè)M矩陣，若下列條件滿足：

（1）aii＞0；aij＜0；i≠j；i，j=1，2，3，…，n

下列條件與定義2等價(jià)

（3）aii＞0；aij≤0；i≠j；i，j=1，2，3，…，n

A-1≥0，即A-1是一個(gè)非負(fù)矩陣。

定義3 假設(shè)f滿足利普希茲條件，即存在一個(gè)Lipschitz常數(shù) Li＞0 使得

|fi(x)-fi(y)|≤Li|x-y|成立。

定義 4 設(shè) V:R+×Rn→R+，V∈V0，如果

（2）V滿足局部利普希茲條件。

定義5 假設(shè)V∈V0，定義沿方程（1）的解的右導(dǎo)數(shù)為：

c為一常數(shù)且c＞0，則（1）的零解全局指數(shù)穩(wěn)定。

引理[6]若存在 V（t，x），滿足

（1）||x||≤V(t，x)≤k(α)||x||，x∈Sα={x:||x||≤α}

3 模型穩(wěn)定性分析

定理1 假設(shè)f滿足利普希茲條件，并且存在一正數(shù)λ和向量 z=(z1，z2，z3，…zn)T＞0，使(λE-A+(A+B)Leλτ)z＜0，則（1）的平衡點(diǎn)是唯一存在的。

證明：系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)滿足方程-(x+Af(x)+Bf(x)+I)=0定義算子T(x)=C-1((A+B)f(x)+I)

因?yàn)?C-|A+B|L)z≥(C-λE-|A+B|Leλτ)z＞0

所以必有一足夠大的數(shù)r使得

(|A+B||f(0)+|I|)≤(C-|A+B|L)rz

從而C-1(|A+B||f(0)+|I||)≤(E-C-1|A+B|L)rz

即 C-1(|A+B|Lrz+|A+B||f(0)|+|I|)≤rz

設(shè) Ω={x∈Rn，|x|≤rz}

?x∈Ω有

|T(x)|∈C-1||A+B||f(x)|+|I||≤C-1||A+B|L|x|+|A+B||f(0)|+|I||≤rz

因此算子是有界閉集上的自映射。利用不動(dòng)點(diǎn)定理，至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它是（1）的平衡點(diǎn)x*。下面證明此平衡點(diǎn)是唯一的。

若 y*也是（1）的平衡點(diǎn)，則

-C(x*-y*)+(A+B)[f(x*)-f(y*)]=0

即C|x*-y*|=|C(x*-y*)|=|(A+B)||f(x*)-f(y*)|≤|(A+B)|L|x*-y*|

亦即(C-|A+B|L)|x*-y*|≤0

從(C-|A+B|L)z＞0 知 C-|A-B|L∈M

所以(C-|A+B|L)-1≥0，從而|x*-y*|=0，即 x*=y*

所以（1）的平衡點(diǎn)存在且唯一。

定理2 假設(shè)f滿足利普希茲條件，并且有

那么系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

顯然 V 正定，所以存在 φ1，φ2∈K，使得 φ1(||x||)≤V≤φ2(||x||)。

V沿系統(tǒng)（2）的Dini導(dǎo)數(shù)為：

當(dāng) t-τ≤s≤t，V∈V0時(shí)，有 V（s,x(s)）＜V(t,x(t))

所以 D+V(t，y(t))≤-(k1-k2)V(t,x(t))

存在 α＞0使得 k1-k2≥α

即 D+V(t,y(t))≤-αV(t,y(t))

所以系統(tǒng)（3）的零點(diǎn)即系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

這里的穩(wěn)定是指從狀態(tài)空間的任意有限非0初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)x(t)=x(t，t0，x0)是有界的,且運(yùn)動(dòng)軌跡最終收斂于系統(tǒng)的某個(gè)平衡點(diǎn)x*,且該平衡點(diǎn)存在唯一性。系統(tǒng)(1)實(shí)質(zhì)上是用一個(gè)帶時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型反映房地產(chǎn)投資開發(fā)量的變化情況。定理2說明第i個(gè)投資開發(fā)商開發(fā)數(shù)量的變化率與市場(chǎng)上其他投資開發(fā)商無論在本期還是上期房產(chǎn)的售價(jià)有關(guān),當(dāng)滿足(3)式時(shí),系統(tǒng)(1)是全局指數(shù)穩(wěn)定的,也就是說,此時(shí),市場(chǎng)上房地產(chǎn)投資開發(fā)量趨于穩(wěn)定，與市場(chǎng)需求相一致，投資的風(fēng)險(xiǎn)小,可以進(jìn)行投資開發(fā)。相反，如果（3）式不滿足，那么市場(chǎng)上房地產(chǎn)開發(fā)量與市場(chǎng)需求不一致，進(jìn)行投資時(shí)風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較大，可能給投資者造成損失。

4 結(jié)語

房地產(chǎn)投資本身是一項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)投資，加之投資開發(fā)周期較長，供給具有一定的滯后性，所以在房地產(chǎn)投資開發(fā)時(shí)把時(shí)滯因素考慮進(jìn)去才更加符合實(shí)際情況。本文將時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型引入房地產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)投資中，基于本期開發(fā)量與上期開發(fā)量、價(jià)格的關(guān)系，建立了一類含時(shí)滯的房地產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)投資模型，分析了模型平衡點(diǎn)存在的唯一性和全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。當(dāng)條件滿足時(shí)，房地產(chǎn)投資風(fēng)險(xiǎn)較小，條件不滿足時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較大。這為房地產(chǎn)投資開發(fā)提供了一些依據(jù)。然而，當(dāng)房地產(chǎn)投資開發(fā)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象時(shí)，如何通過制定切實(shí)可行的宏觀調(diào)控政策以消除系統(tǒng)混沌是一個(gè)有待于進(jìn)一步研究的熱點(diǎn)問題。這方面研究的深入展開必將對(duì)房地產(chǎn)業(yè)的健康、穩(wěn)定發(fā)展產(chǎn)生積極、深遠(yuǎn)的影響。

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