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        均勻分布和密度與正態(tài)密度的逼近速度及應(yīng)用

        2010-05-18 08:04:58李瑞閣萬冰蓉許洪范
        統(tǒng)計(jì)與決策 2010年11期

        李瑞閣,萬冰蓉,許洪范

        (1.南陽理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,河南 南陽 473006;2.南昌工程學(xué)院 理學(xué)系,南昌 330099)

        1 IID均勻分布和密度函數(shù)一般公式及期望方差公式

        (1)設(shè) X1,X2,…,Xniid~U(0,1)當(dāng) x∈[k,k+1]時,

        對于其他x上式等于0。

        2 IID均勻分布和密度與正態(tài)密度擬合圖,兩者差的絕對值圖,絕對值最大值表及趨勢圖

        (1)在數(shù)學(xué)上,數(shù)形結(jié)合的思想,不僅能從直覺上給我們以啟示,常常能借助變化的趨勢,發(fā)現(xiàn)事物的客觀規(guī)律性。

        用正態(tài)分布去擬合fn(x)主要有兩種方法:

        ②用曲線擬合最小二乘法,用數(shù)學(xué)軟件編程實(shí)現(xiàn):如n=5,N(2.5,0.4489)。

        這里用第二種方法。用Matlab分別畫出當(dāng)n=2,3,4,5時的和分布密度圖及相應(yīng)的正態(tài)分布圖 (見圖1,圖2,圖 3,圖 4)。

        ③用Matlab分別畫出當(dāng)n=2,3,4,5時的相應(yīng)和分布密度與正態(tài)密度的差的絕對值在 [0,3],[0,5],[0,6],[0,8]內(nèi),依次取 100,100,150,200 個等分點(diǎn)的差值圖(見圖 5,圖 6,圖 7,圖 8),并計(jì)算出對區(qū)間盡可能細(xì)分情況下,和密度函數(shù)與相應(yīng)正態(tài)分布函數(shù)的差的絕對值的最大值。

        其中,當(dāng) x∈[k,k+1]時,

        當(dāng) n=2,3,…,31 時,an在[0,n+2]上的最大值(見表 1),并畫出前24個值對應(yīng)的差的絕對值最大值趨勢圖(見圖9)。

        3 正態(tài)分布擬合結(jié)論

        (1)由圖1,圖2,圖3,圖4可觀察到:隨著服從均勻分布的多個獨(dú)立隨機(jī)變量個數(shù)n不斷增大,這些變量和的密度函數(shù)與對應(yīng)的正態(tài)分布的擬合程度愈來愈好。

        (2)由圖5,圖6,圖7,圖8觀察發(fā)現(xiàn),和密度函數(shù)與正態(tài)分布密度函數(shù)差的絕對值最大值,分別在和密度函數(shù)不為零的區(qū)間[0,2],[0,3],[0,4],[0,5]上達(dá)到,且從右端點(diǎn)開始,在擴(kuò)大的區(qū)間[0,3],[0,5],[0,6],[0,8]上,隨著自變量的增大,差的絕對值越來越小,這個趨勢可隨區(qū)間的繼續(xù)增大而無限趨近于0;同理,由正態(tài)分布的對稱性,在左端點(diǎn)以外,和密度函數(shù)為零區(qū)間上,可以預(yù)見,隨著自變量的減小,差的絕對值越來越小,無限趨近于0。

        (3)由圖9,表1很清楚的看到隨著變量個數(shù)的增加,分段函數(shù)在放大區(qū)間上,和密度函數(shù)與正態(tài)密度函數(shù)的差絕對值的最大值,隨著n增大,逐漸減小,越來越趨近于零,分布密度與正態(tài)分布密度隨著n的增大,逼近速度越來越快。

        表1 差絕對值的最大值數(shù)據(jù)

        (4)利用Matlab考察和密度函數(shù)與正態(tài)分布密度函數(shù)差絕對值的最大值an隨n的變化趨勢。利用逐步回歸法,并根據(jù)常識確定an與及n-1的關(guān)系為

        復(fù)相關(guān)系數(shù)R為0.997,且以此方程預(yù)測an的值與實(shí)際值差趨近于0,因此認(rèn)為該方程適合統(tǒng)計(jì)學(xué)理論Edgeworth展開理論。不僅有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,且有實(shí)際意義。當(dāng)n→∞,an→0。

        綜上,當(dāng)服從均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量個數(shù)很多時,均勻分布和分布無限逼近正態(tài)分布,它們和的分布可近似看成正態(tài)分布,這個結(jié)論符合中心極限定理。

        4 和分布密度逼近正態(tài)分布密度函數(shù)的結(jié)論,用于正態(tài)隨機(jī)數(shù)生成

        由于上述的特性以及下面理論上的原因,均勻分布U(0,1)在隨機(jī)模擬中起著特殊的作用。通過產(chǎn)生大量相互獨(dú)立的U(0,1)的隨機(jī)數(shù),經(jīng)過一些相應(yīng)的變換可得到其他形式(正態(tài)分布、指數(shù)分布、Gamma分布等)的隨機(jī)數(shù)。

        命題1:若隨機(jī)變量Y有嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù)F(y),X=F(Y),則 X 為隨機(jī)變量。

        證明:∵Y為隨機(jī)變量,

        ∴?一維β集,及σ代數(shù)F,使得 Y-1(-∞,w)∈F

        ∴對于一維 β 集(-∞,η)有

        X-1((-∞,η))=(F(Y))-1(-∞,η)=Y-1(F-1(-∞,η))∈F (F-1(-∞,η)∈β)

        ∴X為隨機(jī)變量。

        命題2 若隨機(jī)變量Y有嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù) F(y),X=F(Y)則 X~U(0,1), 反 之 ,若 Z~U(0,1),F為任一嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù),F(xiàn)-1為它的反函數(shù),則 W=F-1(Z)的分布函數(shù)為 F(w)。

        表2 均勻分布隨機(jī)數(shù)

        證明:對任一 0≤x≤1有

        P(X≤x)=P(F(Y)≤x)=P(Y≤F-1(x))=F(F-1(x))=x

        ∴X~U(0,1)

        反之,若Z~(0,1),F(xiàn)為任一嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù),F(xiàn)-1為它的反函數(shù),則W=F-1(Z)的分布函數(shù)為F(w)。

        P(W≤w)=P(F-1(Z)≤w)=P(Z≤F(w))=F(w)

        ∴W的分布函數(shù)為F(w)。

        利用上述關(guān)系,可以產(chǎn)生各種常見分布F(x)的隨機(jī)數(shù)。所謂某個分布F(x)的隨機(jī)數(shù),是指從分布F(x)的總體中隨機(jī)地抽取一個大樣本的數(shù)值,借助適當(dāng)運(yùn)算得到。

        用機(jī)器來模擬抽樣比實(shí)際抽樣不僅成本低,而且可以有效地防止一些不必要的干擾,從而廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域中。

        5 產(chǎn)生正態(tài)隨機(jī)數(shù)的方法

        在(0,1)中產(chǎn)生n個均勻分布的隨機(jī)數(shù)X1,X2,…,Xn即設(shè)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布,由于

        由中心極限定理知

        故Y為所求的N(0,1)的隨機(jī)數(shù)。

        例:今用Matlab軟件,取得的均勻分布隨機(jī)數(shù)(見表2)。進(jìn)而計(jì)算正態(tài)隨機(jī)數(shù)為

        [1]李瑞閣,黃堯.服從均勻分布的多個獨(dú)立隨機(jī)變量和的密度函數(shù)公式[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,(6)3.

        [2]梁之舜,鄧集賢,楊維權(quán)等.中山大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [3]沈鴻.一類U統(tǒng)計(jì)量函數(shù)的Edgeworth展開[J].中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào),2005,16(2).

        [4]高惠璇.統(tǒng)計(jì)計(jì)算[M].北京:北京大學(xué)出版社,2005.[5]方開泰等.統(tǒng)計(jì)分布[M].北京:科學(xué)出版社,1987.

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