孫 宇,薛斌黨

摘 要:針對目標(biāo)作轉(zhuǎn)彎機動時產(chǎn)生運動模式的不確定性和運動模型的非線性問題,提出基于Unscented卡爾曼濾波器的交互多模型算法。該算法采用帶有極坐標(biāo)系速度的轉(zhuǎn)彎模型和二維Singer模型作為模型集,將Unscented卡爾曼濾波取帶傳統(tǒng)的擴展卡爾曼濾波解決轉(zhuǎn)彎模型的非線性,同時在模型交互時使用Unscented變換取代雅可比矩陣解決目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)換時的非線性。通過Monte-carlo仿真表明,與標(biāo)準(zhǔn)交互多模型方法相比,基于Unscented卡爾曼濾波器的跟蹤算法具有很好的跟蹤性能。

關(guān)鍵詞:Unscented卡爾曼濾波;交互多模型;目標(biāo)跟蹤;非線性

中圖分類號:TN953文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)12-081-04

Maneuvering Target Tracking with Coordinated Turn Motion Based on IMM-UKF

SUN Yu1,XUE Bindang2

(1.School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering,Beihang University,Beijing,100083,China;

2.School of Astronautics,Beihang University,Beijing,100083,China)

Abstract: Aiming at the target motion uncertainty and dynamic model nonlinear when target has a coordinated turn maneuver,Interacting Multiple Model(IMM)algorithm based on Unscented Kalman filter is proposed.The coordinate turn model with polar velocity and the 2D Singer model are chosen as the model set,and the Unscented Kalman filter is proposed to handle nonlinear of the state model.Meanwhile,Unscented transform,instead of Jacobi Matrix is taken in model interaction to solve the linearized loss problem when the states are transformed between the different models.The result of Monte-Carlo simulation indicates that this algorithm works better than the traditional IMM.

Keywords:Unscented Kalman filter;interacting multiple models;target tracking;nonlinear

0 引 言

轉(zhuǎn)彎模型是機動目標(biāo)運動模型中的重要模型之一。目前已提出了多種轉(zhuǎn)彎模型,在未知角速度的模型中通常為帶有直角坐標(biāo)系速度的轉(zhuǎn)彎模型(CT)和帶有極坐標(biāo)速度的轉(zhuǎn)彎模型(HT)[1]。這兩種模型均為非線性模型,一般認(rèn)為后者的性能要強于前者,但是非線性程度也較高[2]。交互多模型(Interacting Multiple Mode,IMM)方法是一種有效跟蹤轉(zhuǎn)彎機動目標(biāo)的方法 [3],該方法的性能在很大程度上取決于所選的模型集是否能描述不同的運動狀態(tài)。由于轉(zhuǎn)彎模型中目標(biāo)的狀態(tài)為位置、速度和角速度,與其他的模型,例如Singer模型的狀態(tài)不同,所以基于IMM的轉(zhuǎn)彎機動目標(biāo)跟蹤算法中,模型狀態(tài)之間必須要進(jìn)行轉(zhuǎn)換,例如角速度轉(zhuǎn)換為加速度等,通常轉(zhuǎn)換函數(shù)都為非線性函數(shù)。傳統(tǒng)轉(zhuǎn)換方法為計算轉(zhuǎn)換函數(shù)的雅可比矩陣(ET)[4],而雅可比矩陣的計算量較大,同時精度只能達(dá)到一階的精度。針對上述問題,這里采用基于Unscented卡爾曼濾波器與IMM相結(jié)合的方法,利用Unscented變換實現(xiàn)單個模型的濾波以及各個模型之間的轉(zhuǎn)換。Unscented卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)算法是一種基于Unscented變換(Unscented Transform,UT)的新型濾波算法[5]。UKF通過設(shè)計少量的σ點,由σ點經(jīng)由非線性函數(shù)的傳播,計算出均值和協(xié)方差矩陣。它的計算復(fù)雜度與EKF相似,而精度可達(dá)到二階濾波器的精度。

1 IMM系統(tǒng)

1.1 模型

在IMM方法中,選擇兩種模型作為IMM的模型集。第一種模型是Singer模型,該模型是應(yīng)用最廣的一類模型,是一種通用的模型。它的狀態(tài)分量為XTs=[xvxaxyvyay]。第二種使用的模型為HT模型,該模型的狀態(tài)向量為:

XTct=xyvhω

式中:v為速度的大小;h為速度方向;ω為角速度。離散時間狀態(tài)方程得非線性函數(shù)為:

F(X)=x+(2/ω)vsin(ωT/2)cos(h+ωT/2)

y-(2/ω)vsin(ωT/2)sin(h+ωT/2)

vh+ωTω(1)

Q=cq00000

00000

00Tσ200

000σ2T3/3σ2T2/2

000σ2T2/2Tσ2(2)

式中:σ,σ分別為加速度的大小和角加速度的方差。這個函數(shù)為非線性函數(shù),使用EKF會帶來線性化誤差。使用UKF代替EKF,就可以得到更好的精度,在IMM計算中可以得到更好的效果。

1.2 模型交互計算

在這兩個模型進(jìn)行交互計算時,要進(jìn)行狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換,需要計算狀態(tài)向量和協(xié)方差矩陣。CT模型轉(zhuǎn)換為Singer模型的轉(zhuǎn)換函數(shù)為:

Xs=x

y

=x

vcos(h)

-vwsin(h)

y

vsin(h)

vwcos(h)=f(XhT)(3)

Singer模型轉(zhuǎn)換為CT模型的轉(zhuǎn)換函數(shù)為:

XhT= x

y

v

h

ω = x

yv2x + v2y

arctan(vy/vx)

(vxay-vyax)/(v2x + v2y)]

=g(Xs)(4)

可以看到這兩個函數(shù)都為非線性函數(shù),模型之間的轉(zhuǎn)換不僅需要計算轉(zhuǎn)換后的狀態(tài),同時需要計算它的概率分布。在應(yīng)用Unscented卡爾曼濾波時,概率分布只是需要狀態(tài)的均值和協(xié)方差矩陣。均值的計算可以直接代入式(3),式(4)得到,而協(xié)方差矩陣則需要其他的方法。傳統(tǒng)的計算協(xié)方差矩陣的方法為計算這兩個函數(shù)的雅可比矩陣,即計算:F=礷/礨hT和G=礸/礨s,則轉(zhuǎn)換后的協(xié)方差矩陣就是:Rs=FRhTFT;RhT=GRsGTRs,RhT分別表示Singer模型狀態(tài)和CT模型狀態(tài)的協(xié)方差矩陣。這種方法不僅運算量較大,而且精度只能達(dá)到一階的精度。

這里采用Unscented變換實現(xiàn)模型轉(zhuǎn)換的過程,從而避免了計算協(xié)方差矩陣,且能得到更為準(zhǔn)確的結(jié)果。以CT模型轉(zhuǎn)換為Singer模型的過程為例:

已知CT模型狀態(tài)向量XhT的均值hT和協(xié)方差矩陣RhT:

利用Unscented變換可以計算出狀態(tài)向量XhT經(jīng)過非線性函數(shù)f(XhT)之后的均值和協(xié)方差矩陣fhT,RfhT;fhT,RfhT即為轉(zhuǎn)換為Singer模型狀態(tài)向量的均值和協(xié)方差矩陣。

2 Unscented卡爾曼濾波

2.1 Unscented變換

Unscented變換的基本原理是精確的選擇較少的點來代表已知分布的高斯隨機變量。當(dāng)這些點通過任意非線性函數(shù)的計算后,其描述的分布的均值和協(xié)方差矩陣仍能達(dá)到二階的精度(泰勒級數(shù))。其具體過程為:

設(shè)非線性函數(shù):

y=f(x)

式中:x為L維隨機變量;為x的均值;Px為x的協(xié)方差矩陣;χ為由x生成,由2L+1個列向量組成的矩陣χ。

χ0=

χi=+[(L+λ)Px]i,i=1,2,…,L

χi=-[(L+λ)Px]i,i=L+1,…,2(5)

λ=α2(L+κ)-L

式中:α通常為小量;通常κ=0,3-L;[(L+λ)Px]i為該矩陣平方根(可選擇喬雷斯基分解)的第i列。

權(quán)重:

W(m)0=λ/(L+λ);W(c)0=λ/(L+λ)+(1-α2+β)

W(m)i=W(c)i=1/2(L+λ),i=1,…,2L(6)

通過非線性過程后:

Yi=f(χi),i=0,1,…,2L(7)

臁2Li=0WmiYi(8)

Py臁2Li=0Wci(Yi-)(Yi-)T(9)

式中:為經(jīng)過非線性過程后的狀態(tài)向量的均值,Py為協(xié)方差矩陣。

2.2 Unscented卡爾曼濾波器

UKF和EKF一樣,使用的是標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器的框架,但是實現(xiàn)原理不同。EKF是利用泰勒級數(shù)的一階展開項線性化非線性函數(shù),從而得到經(jīng)過非線性過程后的均值和協(xié)方差矩陣。而UKF是通過Unscented變換計算通過非線性過程后的狀態(tài)向量的均值和協(xié)方差矩陣,使非線性函數(shù)適用于線性假設(shè)下的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波體系。UKF相比于EKF,由于經(jīng)過Unscented變換后得到的均值和協(xié)方差精度達(dá)到了二階,所以具有更高的精度,而其計算復(fù)雜度與EKF相當(dāng)。

3 仿真分析

3.1 運動軌跡

運動軌跡的生成見參考文獻(xiàn)[7],初始位置及速度為:x=10 000 m;y=15 000 m;=-300 m/s;=0 m/s。

運動情況分為7個階段:

(1) 勻速直線運動至x=3 000 m(t為0~23 s);

(2) 勻速圓周運動,旋轉(zhuǎn)+3 rad,加速度為70 m/s(t為23~38 s);

(3) 勻速直線運動至x=9 000 m(t為38~60 s);

(4) 勻速圓周運動,旋轉(zhuǎn)-3 rad,加速度為70 m/s(t為60~75 s);

(5) 勻速直線運動(t為75~90 s);

(6) 勻速圓周運動,旋轉(zhuǎn)+3 rad,加速度為70 m/s(t為90~147 s);

(7) 勻速直線運動至t=147 s。

圖1 運動軌跡

3.2 觀測模型

觀測方程為:

Z=h(X)+V(10)

式中:

Z=rθ=h(X)=x2+y2

arctan(y/x)(11)

R=cov(V)=diag[σ2r,σ2θ](12)

式中:σ2r,σ2θ分別為距離和方位角的測量方差。

3.3 參數(shù)選擇

第一組參數(shù):

HT模型:σ=5 m/s2,σ=0.04 rad,cq=1。

測量數(shù)據(jù):σr=50 m,σθ=0.0 035 rad。

第二組參數(shù):

HT模型:σ=5m/s2,σ=0.001rad,cq=1。

測量數(shù)據(jù):σr=50 m,σθ=0.003 5 rad

馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣:

Π=0.80.2

0.20.8

3.4 結(jié)果分析

Singer模型和IMM的方法如圖2所示。

圖2 Singer模型和IMM方法的位置均方根誤差

圖2和圖 3為基于第一組參數(shù)得到的位置的均方根誤差曲線?？梢钥闯?IMM算法要比使用單一模型的算法效果好。Singer模型在轉(zhuǎn)彎運動時的性能較差,而HT模型在直線運動時性能較差,IMM算法可以結(jié)合這里兩者的優(yōu)缺點,從而得到較好的效果。

圖3 HT和IMM方法位置的均方根誤差

圖4和圖 5是基于第一參數(shù)得到的位置和方位角的均方根誤差曲線?？梢钥闯?使用UT作為狀態(tài)間轉(zhuǎn)換的方法,跟蹤精度比計算雅可比矩陣的精度高。其原因是因為UT可以達(dá)到二階濾波器的精度。

圖4 在IMM方法中使用UT和ET的轉(zhuǎn)換方法

方位角的均方根誤差

圖6為第二組參數(shù)得到的方位角的均方根誤差曲線。IMM-UKF的精度和數(shù)值穩(wěn)定性要略優(yōu)于IMM-EKF。IMM-UKF的效果和仿真時參數(shù)選擇有很大的關(guān)系。非線性模型的參數(shù),觀測數(shù)據(jù)的參數(shù),以及UT本身的一些參數(shù)都會對最后的結(jié)果產(chǎn)生影響。

圖5 在IMM方法中使用UT和ET的轉(zhuǎn)換方法

位置的均方根誤差

圖6 IMM-EKF和IMM-UKF的方位角均方根誤差

4 結(jié) 語

UKF方法基于UT變換,其精度和數(shù)值穩(wěn)定性都要好于EKF。對于非線性系統(tǒng),有廣泛的應(yīng)用。對于IMM方法,UT不僅可以替代傳統(tǒng)的EKF,而且可以用于計算狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換。在IMM方法中,由于在選擇模型時,并不都選擇非線性模型,應(yīng)用UKF的效果沒有應(yīng)用于單一非線性系統(tǒng)時明顯,但跟蹤精度和數(shù)值穩(wěn)定性都有所提高。同時,運動模型的參數(shù),觀測模型的參數(shù),以及UT本身的參數(shù)選擇都沒有的到完全解決,這也正是對該算法進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)的地方。

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