張 旭

天津市財(cái)貿(mào)管理干部學(xué)院，天津 300170

挖掘數(shù)學(xué)美因，以美引趣，用美的實(shí)例體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

張 旭

天津市財(cái)貿(mào)管理干部學(xué)院，天津 300170

高等數(shù)學(xué)課程中蘊(yùn)含著豐富的應(yīng)用價(jià)值和美學(xué)價(jià)值。在教學(xué)過程中，將二者結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從應(yīng)用的角度審視高等數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的美的元素。從而使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解、獲得心智的啟迪、提高數(shù)學(xué)審美能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)美；應(yīng)用

眾所周知，由于高等數(shù)學(xué)本身的嚴(yán)密性，常使得一些學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有一種強(qiáng)烈的屈從感，對(duì)公式、數(shù)據(jù)感到生疏、枯燥，學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性受到壓抑。而事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)同文學(xué)、藝術(shù)一樣具有美的形式和特點(diǎn)；而且現(xiàn)在許多發(fā)達(dá)國家已將高等數(shù)學(xué)運(yùn)用到市場(chǎng)預(yù)測(cè)、風(fēng)險(xiǎn)分析、指導(dǎo)金融投資等許多領(lǐng)域。在教學(xué)中，我們應(yīng)以此為切入點(diǎn)，嘗試將數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)的應(yīng)用相互結(jié)合，通過深入挖掘知識(shí)的直觀背景和歷史背景，將數(shù)學(xué)美適時(shí)地傳授給學(xué)生，從他們最熟悉、最感興趣的方面入手，逐步引入教學(xué)內(nèi)容、邏輯推演，將學(xué)生思維引入數(shù)學(xué)美的境界，使得抽象概念得以具體說明，深?yuàn)W理論得到通俗解釋，最終以數(shù)學(xué)整體美作為結(jié)局。通過下面幾個(gè)教學(xué)案例的嘗試，我們體會(huì)到用數(shù)學(xué)自身的魅力去引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，完全可以使學(xué)生更好地了解到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

一、旋轉(zhuǎn)體中的視覺美

在講旋轉(zhuǎn)體時(shí)，為了讓學(xué)生對(duì)抽象的圖形有更直觀的了解，可以讓學(xué)生們拿一張矩形紙，沿著紙的對(duì)角線旋轉(zhuǎn)，要求他們想一想這是什么圖形，并試著畫出來。開始時(shí)，同學(xué)們畫的千奇百怪，但有少數(shù)同學(xué)畫出了非常好看的立體圖形。這時(shí)教師把圖形也畫在了黑板上，它是由兩個(gè)圓錐和兩個(gè)圓臺(tái)組成的。接著，教師再用視頻給學(xué)生們播放一段曾經(jīng)獲獎(jiǎng)的關(guān)于某礦泉水的廣告，內(nèi)容首先是若干個(gè)細(xì)腰美女，身穿潔白的紗裙，由慢變快，以致于越來越快不停的旋轉(zhuǎn)，在不知不覺中，美女們一個(gè)個(gè)都變成“細(xì)腰”旋轉(zhuǎn)體(礦泉水瓶)了，看著廣告，在對(duì)學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的視覺沖擊的時(shí)候，是否發(fā)現(xiàn)，美女的“極限狀態(tài)”是一個(gè)“旋轉(zhuǎn)體”，而旋轉(zhuǎn)體的問題，屬于典型的數(shù)學(xué)范疇。當(dāng)學(xué)生擁有這種興趣時(shí)，再讓他們探索計(jì)算各圖形的表面積和體積，一個(gè)原本內(nèi)容枯燥的課題就在愉悅的氛圍中得到解決。至此，讓學(xué)生切身體會(huì)，數(shù)學(xué)中是不是也存在“美”呢?

二、蜂房中的建筑美

在講解如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的用料最省，體積最大以及經(jīng)濟(jì)理論中的最大利潤、最小成本、邊際、彈性分析等問題時(shí)，我們可以向?qū)W生介紹蜜蜂房的故事。十八世紀(jì)初，法國學(xué)者馬拉爾奇測(cè)量了蜂房，發(fā)現(xiàn)蜂房的正面看上去是鑲嵌得天衣無縫的正六邊形組成的，蜂房的底是由三個(gè)全等的菱形組成的，菱形的鈍角都是 109°28′，銳角都是 70°32′，每個(gè)蜂房的容積幾乎都是0.25立方厘米，蜂房壁的厚度為0.073毫米（如下圖）。

如此精美的蜂房造型，竟出自小小的蜜蜂之口足，實(shí)在令人難以置信。據(jù)巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格與蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克勞林的理論計(jì)算，這種結(jié)構(gòu)消耗最少的材料和最少的“工時(shí)”，能以最少的材料獲得最大的居住空間，而且能以單薄的材料獲得最大的強(qiáng)度。

我們知道對(duì)于正方形、正三角形和正六邊形來說，如果面積都相等，那么正六邊形的周長最小。這意味著蜜蜂選擇建筑六角柱巢室，比建正方形或正三角形為底的棱柱巢室，可用更少的蜂蠟和做更少的工作而能圍出盡可能大的空間，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜。這里竟然符合最優(yōu)化的數(shù)學(xué)原理，真是不可思議！

小小的蜜蜂很早就按最省材料的方式建造了蜂房，公元后300年才為人們所研究，研究過程延續(xù)到千年以上。其間，竟然還有科學(xué)院院士參與計(jì)算，還用上了牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立的微積分，而且由于對(duì)數(shù)表引起的問題達(dá)不到蜜蜂所達(dá)到的精度，最后才由一位赫赫有名的英國數(shù)學(xué)家計(jì)算清楚。這確實(shí)是自然界中美妙現(xiàn)象里面的美妙數(shù)學(xué)問題。

三、無限世界中的神秘美

進(jìn)入到無限世界，就像登上了一座座山峰，你可以看到在有限世界里看不到的許多現(xiàn)象。

例1．對(duì)于下面這個(gè)無限和，我們將看到一些異樣的風(fēng)光。

通過微積分的知識(shí)我們很容易得知：

在該式中每一項(xiàng)都是有理數(shù)，而其和卻成了無理數(shù)ln2，有理數(shù)的無限和卻不有理了!

是一常數(shù)，c＝0.5772156649…。這是一個(gè)神奇的數(shù)——?dú)W拉常數(shù)，其很多性質(zhì)至今數(shù)學(xué)家們還不能完全確定。

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們直覺感到的幾乎全是有限的對(duì)象，而能夠靠近或把握無限且把握得越多，則生活越充實(shí)，意味越深長，越富于理想的色彩。

數(shù)學(xué)中更普遍地涉及有限與無限的關(guān)系，它并不是上面那種精神的移植。數(shù)學(xué)更嚴(yán)密地研究著有限與無限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識(shí)無限的能力。而人們?cè)谶@一研究中欣喜的心情，尤其是在獲得了對(duì)于似乎難以捉摸的無限世界的越來越多、越來越深刻的認(rèn)識(shí)的時(shí)候所表現(xiàn)的驚嘆和欣喜，也充分代表了人類精神的重要方面。如果這樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且充滿樂趣。

四、漢字中的數(shù)學(xué)美

眾多人酷愛欣賞書法家展現(xiàn)的漢字的體形美，也有眾多人贊嘆數(shù)學(xué)公式之美，而把漢字的筆畫數(shù)與該筆畫的漢字的數(shù)量聯(lián)系在一起竟然是一個(gè)可以用解析式表達(dá)的數(shù)學(xué)公式，這便是漢字的數(shù)學(xué)之美了。

五、小概率事件中的希望美

概率隨機(jī)過程中有大概率事件和小概率事件，還有不可能事件。在人們的生活中千百萬次遇到的都是大概率事件，即所謂開門七件事，柴米油鹽醬醋茶之類的小事，可以說大概率事件是平淡平庸，是大部分人都能做到的，是枯燥平凡的。而小概率事件經(jīng)常都有傳奇性，有無限的吸引力。如中彩票頭獎(jiǎng)之類的大好事，但這畢竟是極少的。

在現(xiàn)實(shí)生活中人們希望這個(gè)，又夢(mèng)想那個(gè)。我們可以看到文學(xué)和藝術(shù)可以使這個(gè)“夢(mèng)想成真”。如果，外行人用“概率論”來劃分文學(xué)藝術(shù)，則似乎可以說：主要描述大概率事件的是現(xiàn)實(shí)主義，而描寫小概率事件的則是浪漫主義，描寫(目前)不可能事件的是幻想主義。這真是一個(gè)概率的世界！

“巧”在數(shù)學(xué)上可以稱為小概率的，是很難發(fā)生或者幾乎不可能發(fā)生的。但是在文學(xué)藝術(shù)作品中正是利用這個(gè)“巧”構(gòu)成了文學(xué)藝術(shù)的美。電影《一江春水向東流》中白楊飾演的素芬，在抗戰(zhàn)后重慶的茫茫人海中，竟能遇見丈夫張忠良；《秋海棠》中讓受傷殘廢的秋海棠再次看到自己的女兒；《英雄兒女》中王芳是政治部主任的親生女兒，失散多年的父女被編劇安排在一個(gè)單位。文學(xué)藝術(shù)作品中的這些情節(jié)盡管在現(xiàn)實(shí)生活中幾乎是不可能的，但是，因?yàn)槿藗兿Ｍ赡?，于是通過希望之手，“點(diǎn)石成金”，使之成為可能，成就了希望之美。

讓數(shù)學(xué)課堂充滿美感，突顯數(shù)學(xué)課堂的獨(dú)特魅力，應(yīng)該作為我們每個(gè)數(shù)學(xué)教師的追求。在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)上我們要注意展現(xiàn)美的內(nèi)容與形式，讓學(xué)生感到美的氣息撲面而來，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，激起濃厚的學(xué)習(xí)熱情。讓學(xué)生在欣賞美、發(fā)現(xiàn)美的基礎(chǔ)上，去分析解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題，從而達(dá)到數(shù)學(xué)審美的最高境界——應(yīng)用數(shù)學(xué)美和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。

［1］王樹禾．?dāng)?shù)學(xué)聊齋（第二版）［M］．北京：科學(xué)出版社，2004．

［2］易南軒.數(shù)學(xué)美拾取［M］.北京：科學(xué)出版社,2004.

［3］孫榮恒.趣味隨機(jī)問題［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

Dig the Beauty of Mathematics,Arouse the Interests by the Beauty,Practice Mathematics Application through Beauty Examples

ZHANG Xu
（Tianjin Institute of Commercial and Financial Management，Tianjin 300170）

The mathematics lessons rich in practical value and aesthetic value.In the teaching process,we should combine the two parts tagether and lead the students from the view of practice of the beauty elements of mathematics in order to deepen the understanding and give intellectual guidance of the students,and to improve their taste and quality of mathematics.

Mathematics;the Beauty of Mathematics;practice

G642.4

A

1008-9055（2010）04-0064-02

2010-05-08

張旭（1975—），女，漢族，天津市人，天津市財(cái)貿(mào)管理干部學(xué)院副教授。研究方向：金融數(shù)學(xué)。

責(zé)任編輯：周曉華 陳 巖