姜忻良，王 菲

(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)

動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法是近年來對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值分析的常用方法．它通過將整體結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)子結(jié)構(gòu)，再充分利用各子結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性最大限度地縮減自由度數(shù)，以簡便計(jì)算過程，最終獲得可靠的原系統(tǒng)動(dòng)力特性參數(shù)或動(dòng)態(tài)響應(yīng)[1]，無疑是大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震響應(yīng)分析的有效方法．動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法按照子結(jié)構(gòu)連接方式的不同，可以分為約束模態(tài)綜合法[2-3]、自由界面模態(tài)綜合法[4]和混合界面模態(tài)綜合法等．其中，約束模態(tài)綜合法由于概念清晰，易于理解，不會(huì)出現(xiàn)懸浮子結(jié)構(gòu)[5]，并且計(jì)算過程中自由度較少，具有較高的計(jì)算效率，因此，應(yīng)用較為廣泛．然而，從理論上講，動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法僅適合于求解線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力問題，這就使得動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)體系的進(jìn)一步應(yīng)用受到了限制．

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)[5]，在許多實(shí)際工程中，整體結(jié)構(gòu)在荷載作用下，并非全部構(gòu)件都進(jìn)入非線性階段，而是僅僅在某些位置才出現(xiàn)非線性特征，這就說明了結(jié)構(gòu)存在局部塑性區(qū)域的特點(diǎn)．例如橋墩在地震作用下，墩底首先進(jìn)入非線性階段；懸臂梁在自由端作用一豎向荷載后，固定端會(huì)很快出現(xiàn)非線性特征直至破壞等等．而這其中，土與結(jié)構(gòu)相互作用問題也是一個(gè)典型的例子，在地震響應(yīng)分析問題中，僅僅與上部結(jié)構(gòu)鄰近的地基土區(qū)域會(huì)產(chǎn)生塑性應(yīng)變，出現(xiàn)非線性特征，而遠(yuǎn)離上部結(jié)構(gòu)的地基土區(qū)域在整個(gè)加載過程中卻始終處于線性階段．據(jù)此若能將局部非線性區(qū)域單獨(dú)劃分子結(jié)構(gòu)，并與縮減后的線性子結(jié)構(gòu)綜合，將會(huì)更大程度上縮減非線性體系的自由度，降低計(jì)算本．

基于上述考慮，筆者提出了線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法，并在理論上論證了該方法的可行性．此外，還提出了基于勢能判據(jù)的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的截?cái)鄿?zhǔn)則，利用勢能判據(jù)的收斂性得出了子結(jié)構(gòu)主模態(tài)最佳截?cái)嚯A數(shù)．最后將線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法以及基于勢能判據(jù)的截?cái)鄿?zhǔn)則應(yīng)用到高層建筑-地基土非線性地震響應(yīng)分析問題中，并與有限元直接法進(jìn)行了對(duì)比分析，以驗(yàn)證所提出方法的有效性．

1 線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法

對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析問題，若以局部非線性來代替整體結(jié)構(gòu)的非線性，而對(duì)局部非線性以外的線性部分采用約束模態(tài)綜合法，那么首先就需要證明約束模態(tài)綜合法是否能夠解決僅對(duì)線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由度的縮減，而對(duì)其余非線性子結(jié)構(gòu)不進(jìn)行縮減的混合問題，即能否同時(shí)在物理坐標(biāo)和廣義坐標(biāo)下進(jìn)行綜合求解的問題．為了論證這一線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法在原理上的正確性和可行性，下面以一個(gè)懸臂梁(見圖1)為例，來進(jìn)行公式推導(dǎo)．

圖1 懸臂梁示意Fig.1 Diagram of cantilever beam

該懸臂梁由4個(gè)單元組成，分為2個(gè)子結(jié)構(gòu)：靠近固端的非線性子結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu) 1)和自由端的線性子結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu) 2)．對(duì)于非線性子結(jié)構(gòu)，不做自由度的縮減，而直接采用物理坐標(biāo)來表示其運(yùn)動(dòng)方程，即

將非線性子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和荷載矩陣按照內(nèi)部節(jié)點(diǎn)(用 I表示)和邊界節(jié)點(diǎn)(用 B表示)的形式分塊表示，則式(1)寫為

式(3)即為非線性子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程．

對(duì)于線性子結(jié)構(gòu)，可用約束模態(tài)綜合法進(jìn)行自由度的縮減，同樣將其特性矩陣、荷載矩陣和位移向量等按照內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊處理，則有

約束模態(tài)綜合法的子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)變換矩陣由 2部分組成，一是邊界約束的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)矩陣KΦ；二是約束模態(tài)矩陣CΦ[6]，且有

對(duì)于綜合后含有非線性子結(jié)構(gòu)的非線性運(yùn)動(dòng)方程(12)，只需采用常用的非線性方程求解方法(如Newmark-β法、Wilson-θ法等)，即可得到體系的動(dòng)力響應(yīng)，求得的位移響應(yīng)中既包括線性子結(jié)構(gòu)在廣義坐標(biāo)下的位移解也包括非線性子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的位移解，即通過式(14)，即可返回各子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下表示的位移解

由上述推導(dǎo)可見，線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法在理論上是合理可行的，它將原本不易進(jìn)入非線性階段的部分劃分成線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由度縮減，而不必在整體非線性模型中反復(fù)進(jìn)行迭代計(jì)算，最終通過與非線性子結(jié)構(gòu)的綜合來求解整體非線性方程，這樣就可以極小的計(jì)算成本，獲得非線性體系的動(dòng)力解，極大程度地降低了計(jì)算成本、提高了計(jì)算效率．

2 基于勢能判據(jù)的截?cái)鄿?zhǔn)則

在上述求解過程中，對(duì)于線性子結(jié)構(gòu)，一個(gè)突出的問題就是如何從完備的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)nφ(n為完備的子結(jié)構(gòu)模態(tài)總階數(shù))中截取kφ(kn＜)用以形成坐標(biāo)變換矩陣，使得既能大幅度的縮減自由度，又能盡量減小因丟棄高階模態(tài)所引起的截?cái)嗾`差．很多文獻(xiàn)針對(duì)這一問題提出了模態(tài)截?cái)鄿?zhǔn)則，然而，這些模態(tài)截?cái)鄿?zhǔn)則往往存在不確定性．有些準(zhǔn)則依靠經(jīng)驗(yàn)來確立，但隨著研究對(duì)象的不同，會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來誤差；有些則依靠基本的動(dòng)力學(xué)理論來確立，大都需要一定試算后才可確定截?cái)鄶?shù)量．因此，尋找有效的截?cái)鄿?zhǔn)則仍是迫切需要解決的問題，本文根據(jù)勢能判據(jù)提出了一種新的模態(tài)截?cái)鄿?zhǔn)則．

3 高層建筑-地基土非線性地震響應(yīng)分析

在高層建筑-地基土非線性地震響應(yīng)分析問題中，土體是半無限系統(tǒng)，在利用有限元分析時(shí)，需要將半無限空間的土體有限化，當(dāng)有限化的土體取到一定范圍時(shí)，可以忽略側(cè)向入射波和散射波的影響[10]．但是，當(dāng)考慮了土體的非線性特性時(shí)，有限元計(jì)算也會(huì)帶來龐大的計(jì)算量．然而研究表明，在地震作用下，僅與建筑物鄰近的地基土?xí)S著加載而逐漸進(jìn)入非線性階段，而遠(yuǎn)離建筑物的土體區(qū)域仍會(huì)保持線性特征．這樣，就可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)劃分出非線性區(qū)域，采用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法，來達(dá)到降低計(jì)算成本的目的．

以一個(gè)15層三跨框架結(jié)構(gòu)為例，分別采用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法和有限元直接法進(jìn)行非線性動(dòng)力時(shí)程分析．該框架層高3.2,m，跨度6,m．柱截面尺寸為 600,mm×600,mm，梁截面為300,mm×600,mm，各層樓面質(zhì)量 19,600,kg．承臺(tái)高2,m，寬 18,m，E = 3.25× 1 010N/m2．土體區(qū)域沿承臺(tái)兩側(cè)寬度各取 91,m，沿深度方向取 40,m．地基土地質(zhì)參數(shù)見表 1．在水平方向輸入地面波，采用天津地區(qū)地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線，如圖 2所示，采樣頻率為0.02,s，地震動(dòng)加速度峰值為3.10 m/s2．

表1 地基土地質(zhì)參數(shù)Tab.1 Geologic parameters of soil

圖2 輸入地震動(dòng)加速度時(shí)程Fig.2 Time history acceleration of earthquake ground motion

采用線性-非線性混合的約束模態(tài)法分析過程中，計(jì)算模型的子結(jié)構(gòu)劃分方法如圖 3所示，與框架結(jié)構(gòu)相鄰的地基土為非線性子結(jié)構(gòu)．在計(jì)算中，對(duì)非線性子結(jié)構(gòu)直接引入非線性 DP本構(gòu)模型，按照非線性模式進(jìn)行求解．而對(duì)于周圍土體區(qū)域則應(yīng)采用線性本構(gòu)模型．對(duì)于非線性區(qū)域的劃分，經(jīng)過試算，可取計(jì)算區(qū)域中心至人工邊界的距離為 5倍的非線性土層深度，且計(jì)算區(qū)域中心至非線性區(qū)域邊界的寬度與其土層深度之比大于 1.5[10]．經(jīng)過試算可以確定，對(duì)于上述算例，承臺(tái)中心至人工邊界取可為 100,m，承臺(tái)中心位置至非線性區(qū)域的邊界的寬度 D可取為60,m，非線性土體深度H可取為23.5,m．

圖3 子結(jié)構(gòu)示意Fig.3 Diagram of substructure

按照線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法的基本原理，需對(duì)線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行縮減，采用基于勢能判據(jù)的截?cái)鄿?zhǔn)則，可得到各個(gè)線性子結(jié)構(gòu)的勢能隨截取主模態(tài)階數(shù)的變化曲線，如圖 4所示．由此可確定，線性子結(jié)構(gòu) 1、2、3分別需截取其各自主模態(tài)的前 48、48和108階投入綜合．

計(jì)算得到的框架頂層位移、速度、加速度時(shí)程曲線，以及最大層間位移時(shí)程曲線如圖 5所示．從圖中可以看出，考慮局部非線性后所得的結(jié)果與未作該假定時(shí)的結(jié)果之間的相對(duì)誤差很?。?種方法得到的結(jié)果曲線基本吻合，然而采用線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法后卻節(jié)省了大量機(jī)時(shí)，2種方法(均采用Intel 3.20 GHz，16 GB內(nèi)存的計(jì)算站進(jìn)行計(jì)算)所消耗的計(jì)算時(shí)間對(duì)比如表 2所示．可以看出，它僅以直接法耗時(shí)的 0.66%就達(dá)到了與其同樣的計(jì)算精度，無疑是解決非線性土-結(jié)相互作用問題的有效手段．

圖 6給出了采用有限元直接法計(jì)算得到的塑性應(yīng)變云圖，可以清晰地看出，僅框架結(jié)構(gòu)下方的土體進(jìn)入了非線性階段，產(chǎn)生了塑性應(yīng)變，而遠(yuǎn)離建筑物的周圍土體仍然保持在線性階段．因此進(jìn)一步證明了采用本文所提出的線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法是合理、有效的．

圖4 勢能隨截取主模態(tài)階數(shù)的變化曲線Fig.4 Variation of potential energy with mode cutoff number

圖5 框架地震響應(yīng)時(shí)程曲線Fig.5 Time history curves of displacement，velocity and acceleration of frame

表2 計(jì)算效率對(duì)比Tab.2 Comparison of computational efficiency

圖6 塑性應(yīng)變云圖Fig.6 Plastic strain contour plot

5 結(jié) 論

(1)本文根據(jù)結(jié)構(gòu)存在局部塑性區(qū)域的特點(diǎn)，提出了線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法．即將整體體系中未進(jìn)入非線性階段的部件，將其劃分為線性子結(jié)構(gòu)，而將進(jìn)入塑性變形階段的局部部件獨(dú)立劃分為非線性子結(jié)構(gòu)，通過坐標(biāo)變換來縮減線性子結(jié)構(gòu)的自由度，并最終與非線性子結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合求解，使動(dòng)力子結(jié)構(gòu)方法得以擴(kuò)充，在降低計(jì)算成本的同時(shí)，又能夠合理的對(duì)結(jié)構(gòu)的材料非線性特征加以考慮，為求解大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力問題開辟了新的途徑．

(2)針對(duì)約束模態(tài)綜合法，定義了由不同主模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)產(chǎn)生的位移向量組成的線性空間，建立了該空間上的范數(shù)，并以該范數(shù)的最大值定義勢能判據(jù)，據(jù)此提出了一種基于勢能判據(jù)的子結(jié)構(gòu)主模態(tài)截?cái)鄿?zhǔn)則——?jiǎng)菽芘袚?jù)截?cái)鄿?zhǔn)則，計(jì)算表明截?cái)鄿?zhǔn)則適用于線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法．

(3)通過高層建筑-地基土相互作用的地震響應(yīng)分析算例，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提出的線性-非線性混合的約束模態(tài)綜合法的可行性與精確性．

［1］ 樓夢麟. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的子結(jié)構(gòu)方法[M]. 上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1997.

Lou Menglin.Substructure Methods of Structural Dynamic Analysis[M]. Shanghai：Tongji University Press，1997(in Chinese).

［2］ Tran D M. Dynamic analysis of structural systems using component mode[J]. Computers and Structures，2001，79：209-222.

［3］ Craig R R J. A review of time-domain and frequencydomain component mode synthesis method[J]..Int JAnalytical Exp Modal Analysis，1987，2(2)：59-72.

［4］ Bucher C U A. A modal synthesis method employing physical coordinates，free component modes and residual flexibilities[J]. Computers and Structures，1986，22(4)：559-564.

［5］ 白建方. 復(fù)雜場地土層地震反應(yīng)分析的并行有限元方法[D]. 上海：同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，2007.

Bai Jianfang. Parallel Finite Element Method for Seismic Response Analysis of Irregular Site[D]. Shanghai：College of Civil Engineering，Tongji University，2007(in Chinese).

［6］ Craig R R Jr，Chang C J. A review of substructure coupling methods for dynamic analysis [J]. Advances in Engineering Science，1976，2(2)：393-408.

［7］ Wamsler M. On the selection of the mode cut-off number in component mode reduction[J].Engineering with Computers，2009，25：139-146.

［8］ Craig R R Jr. Substructure method in vibration[J].Journal of Mechanical Design，1995，117(B)：207-213.

［9］ 熊洪允，曾紹標(biāo)，毛云英. 應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M]. 天津：天津大學(xué)出版社，2004.Xiong Hongyun，Zeng Shaobiao，Mao Yunying.Applied Mathematics[M]. Tianjin：Tianjin University Press，2004(in Chinese).

［10］ 白建方，樓夢麟. 基于動(dòng)力子結(jié)構(gòu)方法的場地地震反應(yīng)分析方法[J]. 震災(zāi)防御技術(shù)，2008，3(2)：145-154.

Bai Jianfang，Lou Menglin. The dynamic substructure method for seismic response of irregular topography[J].Technology for Earthquake Disaster Prevention，2008，3(2)：145-154(in Chinese).