顧燕紅

(深圳大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 深圳 518060）

0 引言

本文把注意力集中在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)極值與凸函數(shù)的關系上。學生如能學習到這些內容，將對他們以后掌握運籌學相關內容有不少幫助，這樣的處理在許多微積分教科書及參考書上(如[1]－[5])都還沒有出現(xiàn)。

1 問題

定義 1：把[a ,b]上連續(xù)函數(shù)在(a ,b)內僅有一個最小點 x0的函數(shù)記為M(x)，并且若M(x)滿足條件：(A)在[a,x0) 上單調遞減，在(x0,b]上單調遞增，則稱此函數(shù)為單谷函數(shù)，記為S(x)，如圖1所示。

能夠看出M(x) 是一種相對容易求得最小點的函數(shù)類。事實上，在運籌學的規(guī)劃理論與算法研究中， 一個重要的思想就是把一些性質不太好的函數(shù)經(jīng)過巧妙的變換，使之成為有類似于或比M(x) 有更良好特性的函數(shù)，然后再來求解最小值。

圖1 單谷函數(shù)S(x)Fig.1 Unique valley function S(x)

現(xiàn)在的問題是，如果一個 M(x)不是 S(x)，那么它會出現(xiàn)怎樣的情況呢？我們將用一個實例來說明這樣一個現(xiàn)象：存在非 S(x)的 M(x)，其在 x0點的任何鄰域內都不會單調(小于x0時單減，大于x0時單增)。此現(xiàn)象指出如果沒有條件(A)， M(x)可能無法成為一個“單谷”。那么有沒有較好的判別(A)是否成立的法則呢？

2 分析

首先來看一個函數(shù)，記為E(x)。此函數(shù)定義在[?1,1]上，這里僅描述它的[?1,0]部分，而(0,1]這一部分與[?1,0)部分關于坐標縱軸對稱(如圖2所示)。

圖2 函數(shù)E(x)的圖形Fig.2 Figure of function E(x)

很明顯，E(x)在[1,1]?上連續(xù)，且當00x=時，達到唯一最小值0。同時此函數(shù)在0點的任何鄰域內都不是單調的，所以它是一個M(x)，但不是單谷函數(shù)S(x)。那么S(x)定義中的條件(A)何時會成立呢?下面是一個重要的判別準則。

性質：M(x)是S(x)的一個充分條件是M(x)為凸函數(shù)。

有趣的是，如果M(x)的定義中要求是在[a ,b]上一階連續(xù)可導，則上述性質仍成立，并且也就可以構造出類似于E(x)的例子(這是一道很好的習題)。另外，還可以和學生討論凸函數(shù)是否是連續(xù)的、可導的這些較難的問題，讓他們意識到函數(shù)極值與凸性之間的密切關系，這對學生以后學習運籌學的重要分支非線性規(guī)劃是很有好處的。

3 結論

通過上節(jié)內容的論述，我們把凸函數(shù)性質在微積分學中強調了一下。鑒于對函數(shù)凸性的應用在設計求各類非線性函數(shù)極值的算法中的重要性[6-7]，這種新的處理對學生今后學習優(yōu)化理論與算法是很有實際意義的。

[1]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學.4版[M].北京:高等教育出版社, 1996.

[2]趙樹嫄.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎(一) 微積分[M].北京:中國人民大學出版社, 1988.

[3]韓云瑞.高等數(shù)學典型題精講[M].大連:大連理工大學出版社, 2001.

[4]陳傳璋, 金福臨, 朱學炎, 等.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社, 1983.

[5]斐禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[6]DIMITRI P B , ANGELIA N, ASUMAN E O.Convex Analysis and Optimization[M].Belmont, Mass:Athena Scientific, 2003.

[7]DIMITRI P B.Nonlinear Programming[M].Belmont, Mass:Athena Scientific, 1999.