毛 宏

人身傷害賠償動(dòng)態(tài)模型的研究

毛 宏

（上海第二工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海201209）

在法庭審理賠償案時(shí)，如何準(zhǔn)確合理地確定人身傷害賠償金額是一個(gè)很重要的問(wèn)題。運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程理論，通過(guò)建立預(yù)期工資折現(xiàn)方程，并運(yùn)用隨機(jī)模擬來(lái)定量確定人身傷害死亡賠償金額。這一方法可以很容易地被推廣用于人身傷害致殘賠償金額的計(jì)算。

人身傷害；賠償金額；隨機(jī)過(guò)程

0 引言

在法庭審理人身傷害致死或致殘賠償案時(shí)，一個(gè)很重要的問(wèn)題是如何合理地確定賠償金額。我國(guó)民法理論和實(shí)務(wù)認(rèn)為，人身傷害賠償?shù)囊话阍瓌t是賠償因人身傷害而造成的財(cái)產(chǎn)損失。屈茂輝[1]認(rèn)為對(duì)這一原則很有重新思考的必要，并指出對(duì)受害致殘者應(yīng)采用賠償受害人收入喪失代替生活補(bǔ)助費(fèi)和間接受害人的撫養(yǎng)費(fèi)，對(duì)受害致死者應(yīng)采用收入損失的補(bǔ)償和生命價(jià)值的補(bǔ)償。由于人的生命具有貨幣價(jià)值，人的生命價(jià)值理論的倡導(dǎo)者主張把財(cái)產(chǎn)管理的原理和做法應(yīng)用到對(duì)生命價(jià)值的管理。人的生命價(jià)值在數(shù)量上可以定義為一個(gè)人的預(yù)期凈收入的資本化價(jià)值，因此，估計(jì)死者或傷殘者的生命價(jià)值需要預(yù)測(cè)其工作預(yù)期壽命中的收入。收入的大小取決于職業(yè)、年齡、教育等因素，而且死者或傷殘者的收入損失是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概念，即是隨時(shí)間的變化而變化的，必須綜合考慮利率、工資收入的動(dòng)態(tài)變化因素。本文從定量分析的角度出發(fā)，通過(guò)建立人身傷害賠償?shù)膭?dòng)態(tài)模型來(lái)確定賠償金額。這里需要注意的是，分析工資率隨時(shí)間變化的規(guī)律，預(yù)測(cè)應(yīng)該補(bǔ)償?shù)氖杖霌p失是一項(xiàng)很重要的工作。國(guó)外已有很多這方面的研究。Carriere 和Shand[2]提出了薪金函數(shù)的參數(shù)模型。Mincer[3]提出了log工資方程。Hosek[4]調(diào)查了自相關(guān)的收入模型Y( t)=a+bY( t?1)+et，其中，Y( t)是收入，a, b為常數(shù)，et是時(shí)刻t的隨機(jī)誤差，并指出由于很多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是非穩(wěn)態(tài)的，自相關(guān)模型具有其局限性。他對(duì)若干行業(yè)工資率序列數(shù)據(jù)逐年相關(guān)改變的分析結(jié)果支持了隨機(jī)游走模型的假設(shè)。類(lèi)似的研究由Horvitz[5]討論，他調(diào)查了由以下模型描述的幾何布朗運(yùn)動(dòng)：Y( t)=Y(0)exp[(a?b2/2)t+bz( t )]，其中z(t)～N(0,t)。在預(yù)測(cè)工資收入隨時(shí)間變化規(guī)律的基礎(chǔ)上還有一項(xiàng)很重要的工作是工資額折現(xiàn)的問(wèn)題。本文分別假定利息率為常數(shù)和一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，建立人身傷害死亡賠償模型。人身傷害殘疾賠償費(fèi)用的計(jì)算模型可以參照本文作類(lèi)似考慮。本文的探討對(duì)于人身傷害賠償提供了準(zhǔn)確可靠的定量分析方法，為法庭審理人身傷害賠償提供了科學(xué)合理的依據(jù)。

1 一次支付型人身傷害死亡賠償模型的建立

1.1 假定利息率為一常數(shù)

假定某人在x年齡死于人身傷害，則在不考慮精神損失的前提下支付給其繼承人的賠償金額應(yīng)等于死者從死亡之日起到退休時(shí)為止累積工資支付額的現(xiàn)值（即被致害人剝奪的死者的生命價(jià)值），在此期間還必須考慮他死于其他意外或生病死亡的概率。

假定工資增長(zhǎng)率可寫(xiě)成如下形式[6]

其中μW為平均工資率，σWt為工資率的標(biāo)準(zhǔn)差，zWt為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程，則有

t

其中W0為發(fā)生人身傷害時(shí)被害者的工資水平。

設(shè)隨機(jī)變量Tx表示x歲的受害人如果不死于人身傷害的剩余壽命期限，設(shè)px+t=P( t≤Tx＜t +1)表示x歲的人存活t年的概率。px+t可以通過(guò)查生命表獲得。這里我們還假設(shè)Tx為獨(dú)立于工資和利率的隨機(jī)變量。

假定退休年齡為m，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r ，則用連續(xù)利率計(jì)算的折現(xiàn)因子可表示為exp(?rt)。設(shè)一次支付死亡賠償金的現(xiàn)在值記為P1，則

其中E(·)表示期望值算子。

令

其中k1為利率是常數(shù)時(shí)的一次支付型的死亡賠償因子，則

1.2 假定利息率為一隨機(jī)過(guò)程

由于死亡賠償金的累積計(jì)算年限經(jīng)常會(huì)很長(zhǎng)，故考慮利息率的不確定性是很重要的方面，會(huì)影響賠償金的折現(xiàn)值?，F(xiàn)假定實(shí)際利息率可寫(xiě)成如下形式[7]

其中dzr為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程，σr為利息率的變異，μr為長(zhǎng)期均衡利率，β為實(shí)際利息率r恢復(fù)到長(zhǎng)期均衡利率的速度。用連續(xù)利率計(jì)算的隨機(jī)折現(xiàn)因子可表示為

假定工資增長(zhǎng)率滿(mǎn)足方程(3)，工資與利息率的瞬時(shí)相關(guān)系數(shù)為ρrW，其余的假定同1.1，則死亡賠付金額的現(xiàn)在值為

Vasicek[8]表明，如果隨機(jī)利率r(t)遵從式(7)給定的隨機(jī)過(guò)程，則隨機(jī)折現(xiàn)因子

其中A(t), B(t)見(jiàn)式（9）。

將(3)式代入(10)式得

令

其中k2稱(chēng)之為利率為隨機(jī)過(guò)程時(shí)的一次支付型的死亡賠償因子，則

借助于Monte Carlo 模擬方法可以求得(6)式和(13)式的解。

2 n年內(nèi)分期等額支付型人身傷害死亡賠償模型的建立

由于一次給付的方式需責(zé)任人一次支付大量的金錢(qián)，有時(shí)很難兌現(xiàn)。一種有效的解決辦法是采用分期支付的形式。假定責(zé)任人的期初支付年齡為y,ytp+表示責(zé)任人存活t年的概率，設(shè)責(zé)任人每年初等額支付的金額為AP，則存在下列兩種情況。

2.1 利息率為一常數(shù)

根據(jù)精算原理，責(zé)任人每年初等額支付的金額應(yīng)等于期初一次躉付的金額除以n年內(nèi)每年初支付一元的現(xiàn)值之和，即

令

其中k3為利率為常數(shù)時(shí)的分期等額支付型的死亡賠償因子，則

2.2 利息率為以(7)式表示的隨機(jī)過(guò)程

令

其中，k4稱(chēng)之為利率是隨機(jī)過(guò)程時(shí)的分期等額支付型的死亡賠償因子，則

3 人身傷害死亡賠償金的計(jì)算

假定β=0.1,σr=0.015,σW=0.01,μr=0.035,μW=0.01,ρrW=0.2,y =50, m =60，當(dāng)利率為常數(shù)時(shí)，r =0.035，當(dāng)利率為隨機(jī)變量時(shí)，初始利率水平r0=0.03。x歲的人和y歲的人存活t年的概率可通過(guò)查1993年生命表獲得。表1和圖1是借助于Monte Carlo模擬和公式(5), (12), (16) , (20)計(jì)算的死亡年齡x = 45 ~ 55所對(duì)應(yīng)的死亡賠償因子k1, k2, k3和k4。將死亡時(shí)的初始工資水平W0分別乘以死亡賠償因子k1, k2, k3和k4即得死亡賠償金額P1，P2，AP,1和AP,2，其中k1, k2, k3和k4的含義見(jiàn)表2。圖2是死亡賠償因子計(jì)算的隨機(jī)模擬過(guò)程描述。類(lèi)似地，可以計(jì)算出各參數(shù)取其他不同值時(shí)，不同初始工資水平下一次支付和n年內(nèi)分期等額支付的死亡賠償金額。

表1 x取不同值時(shí)所對(duì)應(yīng)的死亡賠償因子k1, k2,k3和k4的值Tab.1 The values of factors of death claim k1, k2,k3and k4when x takes different values

圖1 x取不同值時(shí)所對(duì)應(yīng)的死亡賠償因子k1, k2,k3和k4的值Fig.1 The values of factors of death claim k1, k2, k3and k4when x takes different values

表2 不同假定條件下的死亡賠付因子的符號(hào)表示Tab.2 The symbols of factors of death claim under different assumption

圖2 死亡賠付因子k2的隨機(jī)模擬Fig.2 The stochastic simulation of the factor of death claim k2

4 結(jié)論

運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程理論，分別建立了期初一次躉繳和n年內(nèi)分期等額支付的人身傷害死亡賠付計(jì)算的隨機(jī)模型，并計(jì)算了不同假設(shè)前提下的死亡賠償因子k1, k2, k3和k4的值。將死亡賠償因子乘以死者初始工資水平即可計(jì)算出死亡賠償金額。以上建模和計(jì)算過(guò)程可以很容易地推廣用于人身傷害致殘賠償金額的計(jì)算。

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Approach on Dynamic Models of Wrongful Death Payment

MAOHong
(School of Economic and Management, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, P. R. China)

One of most important problems is to estimate loss in wrongful death and injury in trying loss cases. In this paper, theory of stochastic processes is applied.Discounting equations of future salary are established and stochastic simulation is applied so as to determine loss of wrongful death. It can be easily extended to the wrongful injury cases.

wrongful death and injury; claim loss;stochastic processes

F840

A

1001-4543(2010)03-0178-06

2010-04-28;

2010-06-09

毛宏（1959－），女，副教授，主要研究方向?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)管理與保險(xiǎn)，電子郵件：hmaoi@126.com