吳珞

一類修正Navier-Stokes方程解衰減速率的上下界估計

吳珞

（上海第二工業(yè)大學理學院，上海 201209）

Navier-Stokes方程描述了具有小速度梯度的不可壓縮粘性流體運動規(guī)律，在流體動力學研究中有著重要的應(yīng)用。1966年，Ladyzhenskaya O. A. 放棄了速度梯度很小的限制，提出了幾種描述不可壓縮粘性流體運動規(guī)律的修正Navier-Stokes方程。為估計整個三維空間上一類修正Navier-Stokes方程解衰減速率的上下界，使用改進的Fourier分解方法得到當初值模衰減速率上界為；對某些初值時，解的模衰減速率下界為(t+1)?34。

修正Navier-Stokes；大時間行為；衰減率；上界；下界

0 引言

文獻[1]和[2]獨立研究了不可壓縮粘性流體運動規(guī)律，提出了描述速度梯度較小的流體運動規(guī)律的經(jīng)典Navier-Stokes方程。1966年，文獻[3]和[4]放棄了流體速度梯度較小的限制，給出了幾種修正Navier-Stokes方程，其中之一形式如下

的修正Navier-Stokes方程問題。當初值滿足一定條件，n≤3時，該問題存在整體唯一解[5-8]。

文獻[9]首先提出了經(jīng)典Navier-Stokes方程解的衰減估計問題。文獻[10]討論了小初值解的衰減估計問題。1985年和1986年，文獻[11-13]利用Fourier分解方法給出整個空間經(jīng)典Navier-Stokes方程解的衰減估計，證明當初始值u∈L2∩Lq(1≤q ＜2)時，解的L2模，并且給出了解的衰減下界估計。1991年，文獻[14]討論了帶權(quán)空間上解的衰減下界估計。之后，有一系列這方面的研究成果出現(xiàn)，例如文獻[15-23]。

有關(guān)修正Navier-Stokes方程解的衰減估計問題研究不多。文獻[24,25]使用Fourier分解方法研究了文獻[3]和[4]提出的另一類修正Navier-Stokes方程解的衰減估計問題，其方程為

其中?u(τ)為?u(τ)的L2模。本文將使用Fourier分解方法研究三維空間上一類修正Navier-Stokes方程(1)～(4)解的衰減估計，將證明當初值（1≤p＜2）時，問題(1)～(4)解的L2模，對某些初值。

本文的第1節(jié)將回顧記號、定義和結(jié)論。在第2節(jié)，我們將討論修正Navier-Stokes方程問題解的衰減上界。在第3節(jié)，我們將給出解的衰減下界估計。

在本文中，我們假設(shè)n=3且f=0。為了書寫方便，取μ0=1，μ1=1。

1 記號、定義和結(jié)論

2 解的衰減上界估計

為證明上述定理，我們給出以下兩個引理：

引理2.2[12]設(shè)，1≤p＜2，r( t)＞0，則

引理2.3設(shè)u是問題(1)～(4)的解，則

證明在(1)兩邊做Fourier變換得到

證畢。

證明定理2.1由(1)和(2)知

3 解的衰減下界估計

為了估計修正Navier-Stokes方程問題(1)～(4)解的衰減下界，我們記w=u?v=u?，則

證明證明與引理2.3相似。

成立。

證明定理3.1由(18)，使用(5)和(6)知

與證明(15)相似，我們可證：對任取r( t)＞0，

為估計(20)，我們回顧文獻[13]中的一個不等式

在(20)中應(yīng)用引理3.2，定理3.1，(7)和(21)，我們可推出

4 結(jié)論

當外力f=0時，三維空間上一類修正Navier-Stokes方程解衰減速率有上下界。當初值(1≤p＜2)時，解的L2模的衰減速率上界為；對某些初值)時，解的L2模的衰減速率下界為。當外力隨時間無限增大時有一定衰減速率，應(yīng)用本文方法易知修正Navier-Stokes方程解有相同的上下界。

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Upper and Lower Bounds of Decay Rates for a Solution of a Modified Navier-Stokes Equations

WULuo
（School of Science,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China）

The Navier-Stokes equations have many important application in fluid dynamic,which describe motion characteristics of viscous incompressible fluids for small gradients of the velocities．In 1966,Ladyzhenskaya O．A．suggested several variants of modified Navier-Stokes equations to a determinate description of the nonstationary flows of viscous incompressible fluids for large gradients of the velocities．Forestimating upper and lower bounds of decay rates for a modified Navier-Stokes equations in the whole three-dimensional space,by improving the Fourier splitting methods，the paper proves that upper bounds of decay rates of L2norm to the solution arefor initial value(1≤p＜2) and lower bounds of ones arefor some initial value

modified Navier-Stokes equations；large time behavior；decay rate；upper bounds；lower bounds

O175.2

A

1001-4543(2010)03-0173-05

2010-06-03;

2010-06-29

吳珞(1963—)，男，遼寧遼陽人，教授，博士，主要研究領(lǐng)域為應(yīng)用數(shù)學，電子郵件：wuluo@sspu.cn

上海市自然科學基金(No.09ZR1412800)；上海市教育委員會科研創(chuàng)新項目基金(No.10ZZ131)