魏鋒濤， 宋 俐， 李 言， 石 坤， 趙建峰

（西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048）

WEI Feng-tao, SONG Li, LI Yan, SHI Kun, ZHAO Jian-feng( School of Mechanical and Instrumental Engineering，Xi’an University of Technology , Xi’an Shaanxi 710048，China )

基于模糊理論的機(jī)械多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

魏鋒濤， 宋 俐， 李 言， 石 坤， 趙建峰

（西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048）

多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)各分目標(biāo)間的矛盾性和不可公度性增加了解決問題的難度，常規(guī)求解多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法一般只能求出問題的有效解，而得不到設(shè)計(jì)的最優(yōu)結(jié)果。該文以蝸桿傳動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，采用改進(jìn)的遺傳算法求得若干有效解后，根據(jù)模糊理論中的相似優(yōu)先比法從中確定出最有效解，即最優(yōu)解，并可排出它們的優(yōu)劣順序。

機(jī)械設(shè)計(jì)；多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；模糊理論；相似優(yōu)先比法

工程中常常遇到期望一個(gè)設(shè)計(jì)方案的多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)均達(dá)到最優(yōu)的問題。例如，設(shè)計(jì)一種機(jī)械傳動(dòng)裝置，希望它的重量最輕、承載能力最高，同時(shí)它的性能又最可靠；設(shè)計(jì)一種高速凸輪機(jī)構(gòu)，不僅要求體積最小，而且還要求其柔性誤差最小，動(dòng)力學(xué)性能最好等。使多于一個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的問題，就是多目標(biāo)優(yōu)化問題。在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，各分目標(biāo)之間常常是互相矛盾的，一個(gè)分目標(biāo)值的最優(yōu)往往會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)或幾個(gè)分目標(biāo)值的最劣。要使幾個(gè)分目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，一般來說是非常困難的，有時(shí)甚至是不可能的。因此，用常規(guī)的方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，得到的是問題的若干個(gè)有效解。如何從這些有效解中選擇出最有效解作為最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，是實(shí)際應(yīng)用必須解決的問題[1]。

文中采用改進(jìn)遺傳算法求得機(jī)械多目標(biāo)優(yōu)化問題的理想解和若干有效解，然后根據(jù)模糊數(shù)學(xué)中的相似優(yōu)先比法確定最有效解，即問題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，并可同時(shí)排列出有效解的優(yōu)劣次序。

1 模糊相似優(yōu)先比法

應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)中的相似優(yōu)先比法[2]確定多目標(biāo)最優(yōu)解的基本思想是：首先求出各單目標(biāo)的最優(yōu)解，以此構(gòu)成多目標(biāo)的理想解；再根據(jù)相似優(yōu)先比法找出各種有效解與理想解的相似（或接近）的程度；與理想解相似（或接近）的程度最高的有效解即為多目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)解。

1.1 建立相似優(yōu)先矩陣

（3） 建立每一個(gè)目標(biāo)的相似優(yōu)先矩陣 Rj

以相似優(yōu)先比 rjst為元素組成的矩陣 Rj叫相似優(yōu)先矩陣，其中

1.2 作 Rj (j= 1,2)的λ截矩陣，確定優(yōu)先序號(hào)和最優(yōu)解

（3） 確定所有目標(biāo)的絕對(duì)優(yōu)先序號(hào)，得出最優(yōu)解。對(duì)所有 Rj( j =1,2)作完 Njr后，按每行所得的序號(hào) Njr( j = 1 ,2; r = 1 ,2,3)，按行求和，便得所有目標(biāo)的絕對(duì)優(yōu)先序號(hào) Nr(r = 1 ,2,3)，序號(hào)和最小的一個(gè)（即min Nr）所對(duì)應(yīng)的有效解便是多目標(biāo)的最優(yōu)解。

2 機(jī)械多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例及計(jì)算過程

2.1 蝸桿傳動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型[3-4]

2.1.1 選擇設(shè)計(jì)變量

選擇蝸桿頭數(shù) z1、模數(shù)m和蝸桿特性系數(shù)q為蝸桿傳動(dòng)的設(shè)計(jì)變量，即

2.1.2 建立目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)蝸桿傳動(dòng)的工作特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)要求和生產(chǎn)成本，將蝸輪齒冠體積最小、傳動(dòng)效率最高、中心距最小作為該優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。

（1） 蝸輪齒冠體積最小

為了降低生產(chǎn)成本，節(jié)省較貴重的有色金屬材料，以蝸輪有色合金齒冠體積最小為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)之一，即

式中 i為傳動(dòng)比；m為模數(shù)；q為蝸桿特性系數(shù)；當(dāng)蝸桿頭數(shù) z1= 1 或 z1= 2 時(shí)， φ = 0 .75；當(dāng)蝸桿頭數(shù) z1= 3 或 z1= 4 時(shí)， φ = 0 .67。

（2） 蝸桿傳動(dòng)效率最高

分析蝸桿傳動(dòng)的工作情況可知，其總效率主要取決于嚙合摩擦損耗效率η1，而嚙合面間的相對(duì)滑動(dòng)速度 vs則對(duì)η1影響很大，成反比關(guān)系。為了提高蝸桿傳動(dòng)效率，就應(yīng)減小相對(duì)滑動(dòng)速度 vs，即

式中 n1為蝸桿轉(zhuǎn)速。

（3） 中心距最小

為了使蝸桿傳動(dòng)結(jié)構(gòu)更湊緊，在滿足使用要求的前提下，應(yīng)使中心距趨于最小，即

2.1.3 確定約束條件

蝸桿傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)滿足下列限制條件：

（1） 蝸桿頭數(shù) z1的限制

對(duì)于動(dòng)力傳動(dòng)，一般取 z1= 2 ～4，即

（2） 蝸輪齒數(shù) z2的限制

常取 z2= i z1= 3 0～80，即

（3） 模數(shù)m的限制

常取2 ≤ m ≤ 1 8，即

（4） 蝸桿特性系數(shù)q的限制

常取 8 ≤ q ≤ 1 6，即

（5） 蝸輪齒面接觸強(qiáng)度的限制

式中 K為載荷系數(shù)。

（6） 蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度的限制

式中 YF2為齒形系數(shù)；K為載荷系數(shù)。

（7） 蝸桿剛度的限制

2.1.4 數(shù)學(xué)模型

綜上所述，蝸桿傳動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型表示為

s.t. gi(X ) ≥ 0 (i = 1 ,2,L ,11)

2.2 設(shè)計(jì)實(shí)例

某減速器中的蝸桿傳動(dòng)，輸入功率 P = 1 0kW，蝸桿轉(zhuǎn)速n1= 1 460min，兩班工作，載荷平穩(wěn)，傳動(dòng)比 i = 2 0，蝸輪齒冠材料為ZCuSn10P1。最優(yōu)地設(shè)計(jì)該蝸桿傳動(dòng)，使蝸桿傳動(dòng)在滿足承載能力及強(qiáng)度要求條件下，蝸輪齒冠體積最小、傳動(dòng)效率最高和中心距最小。

2.2.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的理想解和有效解

文中采用改進(jìn)遺傳算法求解得到該優(yōu)化問題的理想解和有效解。該算法在標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了實(shí)數(shù)編碼策略、聯(lián)賽選擇機(jī)制及動(dòng)態(tài)調(diào)整交叉概率和變異概率引入自適應(yīng)算子等方面的改進(jìn)，參數(shù)設(shè)置為：群體規(guī)模 N = 8 0，采用終止代數(shù)為200代與連續(xù)10代平均目標(biāo)函數(shù)值不大于最小目標(biāo)函數(shù)值的0.001相結(jié)合的方法來判斷是否結(jié)束程序運(yùn)行[5-7]。

（1） 理想解

用改進(jìn)遺傳算法分別求出該問題中各單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，即理想解及相應(yīng)的函數(shù)值為

（2） 有效解

用改進(jìn)遺傳算法分別根據(jù)理想點(diǎn)法、線性加權(quán)法和平方加權(quán)法三種多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理方法進(jìn)行求解得到三組有效解

2.2.2 用模糊相似優(yōu)先比法求最有效解

（1） 建立相似優(yōu)先矩陣

該優(yōu)化問題有3個(gè)目標(biāo)和3個(gè)有效解，即可得到3個(gè)相似優(yōu)先矩陣

（2） 作λ截矩陣，確定優(yōu)先序號(hào)和最優(yōu)解

各 有 效 解 的 優(yōu) 先 序 號(hào) Njr( j =1,2; r= 1 ,2,3)和序號(hào) Nr(r = 1 ,2,3)如表 1所示。

表1 有效解的行序號(hào)和絕對(duì)優(yōu)先序號(hào)

由表1知，序號(hào)和最小的有效解是 F2。因此，F(xiàn)2是該多目標(biāo)優(yōu)化問題的最有效解，即其次為F1、 F3。

與常規(guī)設(shè)計(jì)方案（ Z1= 2 , m = 9 , q = 1 0）比較，蝸輪齒冠體積減少了33.8%，傳動(dòng)效率提高了26.1%、傳動(dòng)中心距減少了6.7%?？梢?，采用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，得到了比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)更為合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，使蝸輪和蝸桿傳動(dòng)在滿足承載能力及強(qiáng)度要求的條件下，蝸輪齒冠體積最小、傳動(dòng)效率最高、中心距最小，從而使整體設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)更為緊湊。與蝸桿傳動(dòng)的單目標(biāo)設(shè)計(jì)相比，運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化方法使蝸桿傳動(dòng)設(shè)計(jì)得到了整體最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案，結(jié)果合理、符合工程實(shí)際。

3 結(jié) 論

本文利用改進(jìn)遺傳算法對(duì)機(jī)械多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的理想解和有效解進(jìn)行了求解，并根據(jù)模糊數(shù)學(xué)中的相似優(yōu)先比法，從若干個(gè)有效解中選擇出最有效解并排列出它們的優(yōu)劣次序。整個(gè)求解過程表明，這種方法大大降低了人為因素對(duì)解決此類優(yōu)化問題的影響，使最終得到的優(yōu)化結(jié)果更科學(xué)、更符合實(shí)際情況。由于這種多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理方法不受目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)的限制，因此隨著目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)的增加且有效解的個(gè)數(shù)增多時(shí)，更能顯出該方法的優(yōu)越性。

[1] 劉惟信. 機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1994. 230-236.

[2] 王彩華, 宋連天. 模糊論方法學(xué)[M]. 北京: 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 1988. 304-309.

[3] 濮良貴, 紀(jì)名剛. 機(jī)械設(shè)計(jì)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. 239-259.

[4] 王文博. 機(jī)構(gòu)和機(jī)械零部件優(yōu)化設(shè)計(jì)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 1990. 240-244.

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Mechanical Multi-Object Optimization Design Based on Fuzzy Theory

It is difficult to solve multi-objective optimization for inconsistency and incomparability among each single object. Multi-objective mathematical model of worm transmission is established. Effective solutions are obtained by general optimal arithmetic, such as improved genetic algorithm. The optimal solution is chosen from these available effective solutions and then ranked by the similarity priority ratio method of fuzzy theory.

machine design; multi-objective optimization design; fuzzy theory; similarity priority ratio method

TH 122

A

1003-0158(2010)02-0009-04

WEI Feng-tao, SONG Li, LI Yan, SHI Kun, ZHAO Jian-feng
( School of Mechanical and Instrumental Engineering，Xi’an University of Technology , Xi’an Shaanxi 710048，China )

2008-09-09

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2006E108）；西安理工大學(xué)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（102-210710）

魏鋒濤（1976-），男，陜西合陽(yáng)人，講師，博士研究生，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。